2024-2025学年江苏省泰州市靖江市高级中学高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市靖江市高级中学高三（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知锐角，满足，则( )
A. B. C. D.
4.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，，使得为正三角形，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设，，且，则下列结论正确的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知为坐标原点，抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线与交于，两点，过点作的切线与，轴分别交于，两点，则( )
A. B. C. D.
8.三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是( )
A. 在方向上的投影向量的模为
B.
C.
D. 若为外接圆上任意一点，则
10.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
D. 若函数，则在上有个零点
11.已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则的通项公式为______．
13.在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的最小角的正弦值等于______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是______；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，对应的的三边分别是，，，且．
求角的值；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知数列前项和为，满足．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，菱形的边长为，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，，得到如图所示的四棱锥．
证明：；
当时，求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，两焦点，与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点．
设内切圆的圆心为，求的最大值；
设，，证明：为定值．
19.本小题分
设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．
试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由．
已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”．
已知对任意，，函数，都满足．
证明：为“循环函数”．
若，证明：当时，．
参考答案
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15.解：根据题意，有，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
整理可得，
又，，所以，
又，因此；
由，
可得，
又，则有，
解得或，
当时，，又，
所以两角均为钝角，不合题意；
因此，，
又，可得，
同理，
由正弦定理可得，
可得，
同理
因此的面积为．
16.解：，
当时，，
两式相减得，
即，
所以，所以是常数列，
当时，，所以，所以，
所以，即．
，
所以．
17.证明：因为菱形，且，所以是等边三角形，
又是的中点，所以，
翻折后，有，，
因为，，平面，
所以平面，
而平面，
所以．
解：因为菱形的边长为，，是的中点，
所以，，
由知平面，
以为坐标原点，以为轴正方向，为轴负方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，，
由，，得，解得，即，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，
故平面与平面的夹角的正弦值为．
18.解：Ⅰ由题意得：，
解得，，所以椭圆的标准方程是．
Ⅱ因为为的内切圆圆心，则，显然是锐角，
当且仅当最大时，最大，且最大，
又，即有最小，
由椭圆的定义得，，
在中，由余弦定理得，
当且仅当时取等号，
故当，即为正三角形时，取得最大值，
此时取最大值，所以的最大值为．
证明：由Ⅰ知，由条件可知的斜率存在且不为，
设的方程为，，
令，可得，
联立方程，
得，
设，，则，，
由可得，
所以，同理，
所以，
故为定值．
19.解：函数是“循环函数”，理由如下：
当时，，；
当时，，则；
当时，，则．
故是“循环函数”．
证明：当时，，
则，
所以存在常数，使得为“循环函数”．
证明：由题意得对，恒成立，
所以存在常数，使得．
令，得，
解得，．
由，得为“循环函数”．
若，则，．
设函数，
则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
易证，则，
所以，
故当时，．
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