2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.正四棱台的上、下底面边长分别是和，高是，则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是( )
A. 点必在平面内
B. 点必在平面内
C. 点必在直线上
D. 直线与直线为异面直线
5.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知均为单位向量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，满足，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.数列满足，则下列结论正确的是( )
A. 若，则前项和为
B.
C. 数列的前项和为
D. 数列最大项为第项
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 在中，若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若在线段上，且，则的面积为
D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知数列的前项和为，且，则 ______．
14.若函数的图象上存在两点，关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”点对与视为同一个“比肩点对”若函数恰有个“比肩点对”，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ求的零点个数．
16.本小题分
已知函数，且．
求的值；
求的对称中心和单调递减区间；
若，求的值．
17.本小题分
已知数列对于任意都有．
求数列的通项公式．
设数列前项和为求．
证明：．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求取值的范围；
若，求周长的最大值；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知函数，．
若在处取得极值，讨论的单调性；
设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；
设，证明：．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
又因为的图象的对称中心为，
所以，
即，解得
Ⅱ由Ⅰ知，，
所以，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 单调递减 单调递增
所以的极大值为，极小值为，
又，，
所以有个零点．
16.解：，
又，
；
，
令，得，
的对称中心为；
令，
解得，
的单调递减区间为；
若，又，
，
，
．
17.解：因为，
所以，，
得：，即，，
当时，，解得，满足上式，
所以的通项公式为；
由题意，
从而，
所以，
所以；
证明：，，
当时，，
当时，，
当时，
，故得证．
18.解：由，
可得，
整理可得：，
又，则，
根据正弦定理可得：，则，
又由余弦定理可得：，可得：，
即，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，
可得；
，由可得，又，
又，可得，则，
所以，即，解得，当且仅当取等号，
所以周长的最大值为；
由，，
又因为，
所以，而，
，因为，，
可得，
可得，，
可得，，，
由，而，
可得，
所以，
因为，
所以．
19.解：，，
，
由在处取得极值，得，
解得．
当时，，
设，则在上单调递减，且，
则当时，，即，故在单调递增，
当时，，即，故在单调递减，
故在处取到极大值，满足题意，
所以在单调递增，在单调递减．
证明：，，，
曲线在点处的切线的斜率为，．
故切线方程为，即，
构造函数，，
即，其中，
则，，
设，其中，
则，
令，得，
当时，，故G在单调递减，
当时，，故G在单调递增，
所以在单调递减，且，．
故当时，，即，则在单调递增，
当时，，即，则在单调递减，
故F在处取极大值，且极大值为，
当且仅当时，，
所以当时，恒成立．即恒成立，
故除点外，曲线段总在的下方，命题得证．
证明：由结论，任意，，恒成立．
又由可知，单调递减，
则，故恒成立，
令，则恒成立．
又由
所以
．
故，
故
．
即成立，命题得证．
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