2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，且，则( )
A. B. C. D.
3.复数满足：其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. D.
6.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数和且，若两函数图像相交，则其交点的个数可能是( )
A. B. C. D.
11.定义：为集合相对常数的“余弦方差”，若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为( )
A. B. C. D.
12.设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是( )
A. 都是的周期 B. 曲线关于点对称
C. 曲线关于直线对称 D. 都是偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的图象在处的切线方程为______．
14.已知函数，若，且，则的取值范围是______．
15.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，，都有成立，则的取值范围为______．
16.设函数，若恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记是公差不为的等差数列的前项和，若，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求使成立的的最小值．
18.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的最小正周期；
在中，角，，的对边分别为，，，的角平分线交于点，若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
19.本小题分
如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
20.本小题分
一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间．
以过点且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；
在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距离水面的高度不低于米？
21.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值；
若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围．
22.本小题分
已知，．
Ⅰ求的最小值．
Ⅱ设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值．
Ⅲ当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
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17.解：Ⅰ是公差不为的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意，
故．
Ⅱ，，
，
，即，
整理可得，
当或时，成立，
因为为正整数，
故的最小正值为．
18.解：向量，，
所以，
所以函数的最小正周期．
由可知，
当，即时，取得最大值为，
则，，
因为平分，所以，
则点分别到，的距离，
由，则，
即，整理可得，，当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为．
19.证明：因为，，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以，，
由正方形知，，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，
所以平面．
解：由得，，
设平面的法向量为，则
取，则，，所以，
由知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
20.解：设，
根据函数的物理意义可知：，，
由题意可知当时，，
则，所以，
则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于米．
21.解：函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，
所以，
所以
函数的导函数．
若该函数是“跃点“函数，
则方程有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，，
当时，方程有两个相等的实数根，
此时方程的根为，，，
所以函数有两个不同的“跃点“，
当时，方程无解，
此时方程的根为，则函数有一个“跃点”，
当时，方程有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“跃点”，则其中一个实数根为，
则，解得，
综上所述，的值为或．
函数的导函数为，
若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
22.解：Ⅰ令得，，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
的最小值为；
Ⅱ依题意，，
令，则，
令，则，
当或时，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，从而作出函数的草图如下，
由图象可知，要使有三个不同的实数根，则，
的最小值为；
Ⅲ等价于，即，
，
构造函数，则，
在上单调递增，
又考虑到，则，从而，
实数的取值范围为．
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