2024-2025学年福建省漳州市平和广兆中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省漳州市平和广兆中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面中，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，若，则的取值范围为( )
A. B.
C. D. ，
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为( )
A. B. 的最小正周期
C. 有个零点 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.设函数，则( )
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
11.若点，是函数图像上的两点，则( )
A. 对任意点，存在无数点，使曲线在点，处的切线的倾斜角相等
B. 当函数存在极值点时，实数的取值范围为
C. 当且在点，处的切线都过原点时，
D. 当直线的斜率恒小于时，实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等差数列，，，则 ______．
13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ______．
14.设数列满足，且对任意的，满足，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为等腰三角形且腰长为，求的底边长．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，分别是，的中点．
证明：；
设，，和平面所成的角为，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数，．
若，求的单调区间；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求椭圆的离心率；
过点的直线与椭圆交于，两点不在轴上．
若的面积为，求直线的方程；
直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
19.本小题分
已知正边形的每个顶点上有一个数定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：
记个顶点上的个数顺时针排列依次为，，，，则，为整数，，，设共个，表示次变换
若，，，求，，，；
对于正边形，若，，证明：；
设，，，证明：存在，使得不全为整数．
参考答案
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15.解：内角，，的对边分别为，，，
，
由正弦定理化简得：，
，，
，
，．
解：当为顶角，则底边，
，
当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为．
故的底边长为或．
16.解：证明：取的中点，连接，．
因为，分别是，的中点，
所以，．
又因为，，
所以，．
又，且，平面，
从而平面．
又平面，所以．
因为，，所以平面过点在平面内作，因为，所以．
故可以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
设，，，则，，从而．
因为，，所以平面，
即的长为点到平面的距离．
又因为，，所以平面，故是平面的一个法向量．
因为和平面所成的角为，所以，即．
在中，，
在中，，即，解得．
故点到平面的距离为．
17.解：当时，导函数，
所以时，导函数，
时，导函数．
所以的单调减区间为，单调增区间为．
导函数，
所以时，导函数；
时，导函数．
所以．
又因为，所以．
令．
所以导函数，显然单调递减，且，．
因此必然存在唯一使得．
当，，单调递减，
当，，单调递增．
由于时，，成立．
当时，单调递减，且，因此成立．
综上，的取值范围为．
18.解：由题可得：，解得：，
所以椭圆的离心率为；
由可知椭圆的方程为，
显然，直线的斜率不等于，
设过点的直线为，，，
联立，化简得：，则恒成立，
所以，，
所以
，
解得：，即，
所以直线的方程为：；
证明：由可知，，
，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
记以为直径的圆与轴交于，两点，
由圆的弦长公式可知，
，
解得：，为定值．
19.解：当时，的变换如下：
因此，，，．
证明：因为，所以，
所以数列成等差数列，设公差为，
又因为，
那么，因此，
那么．
证明：利用反证法，假设对任意，均为整数，
因为，为整数，所以与的奇偶性相同，
所以，，，同奇偶，，，，同奇偶，
而，
，，，中有个偶数，个奇数，
所以可不妨设，，，为奇数，设，，，为偶数．
由于，
又由于为整数，且或，
因此和除的余数相同
同理，因为，
所以和除的余数相同，
因为，
所以和除的余数相同．
所以，，，，除的余数相同．
因为，
所以和除的余数相同．
因为，
所以和除的余数相同．
因为，
所以和除的余数相同
所以，，，，，除的余数相同．
综上，，，，除以的余数都相同，而，矛盾
假设不成立，所以存在，使不全为整数．
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