2024-2025学年山西省大同市高三（上）统考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省大同市高三（上）统考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.记无穷等差数列的公差为，前项和为设甲：且；乙：有最小值，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.已知且，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，满足，，，且与的夹角为，则，( )
A. B. C. D.
7.已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知四面体的顶点均在半径为的球面上，若，则四面体体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为空间内的一条直线，，为空间内两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，若，，则( )
A. B. 是偶函数 C. 以为周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是奇函数，则的值为______．
13.已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ______．
14.对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
Ⅰ求；
Ⅱ求在区间上的最大值参考数据：
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ如图，为内一点，且，，证明：．
17.本小题分
如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，，，，．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和；
Ⅲ记，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
帕德逼近是法国数学家亨利帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是次多项式，分母是次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，，．
注：，，，．
已知函数在处的阶帕德逼近为．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ当时，比较与的大小；
Ⅲ证明：当时，．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ由题意得．
由函数的图象在点处的切线与直线平行，
可得，即，所以．
Ⅱ由Ⅰ知．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以在区间上的最大值为和中的较大者．
因为，
所以，即，
故在区间上的最大值为．
16.Ⅰ解：，
根据正弦定理，可得，整理得．
由余弦定理得，结合，可知；
Ⅱ证明：在中，由余弦定理得，
设，结合，，整理得，
中，，
，整理得．
在中，，可得，即，
，可知，
方程的两根之积，
方程有一正、一负的实数根，由，
结合，可得该方程的正根为，即．
17.解Ⅰ平面平面，平面平面，，
平面，
又平面，
，
Ⅱ如图，过作交于点，作于点，
由Ⅰ得平面，
，平面，
，，两两垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由条件可得，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
可取，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ设等差数列的公差为，
由，，得，解得，
；
设等比数列的公比为，
由，，
解得，；
Ⅱ数列的公差，
，
则当为偶数时，
；
当为奇数时，．
；
Ⅲ，，
，，
则．
令，
则，
当时，有，即，
当时，有，即，
数列的最大项为，
由恒成立，得．
即实数的取值范围为．
19.解：Ⅰ由题意知，，，，
，，，
即解得
所以．
Ⅱ设，，则，
记，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，仅当时，，故F在上单调递减．
又因为，
所以当时，，
当时，，
当时，．
即当时，，
当时，，
当时，．
Ⅲ证明：要证当时，，需证，
设，则，
令，得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
要证，只需证，需证，
记，易知在上单调递增．
由知，当时，，即，
取，则有，
所以结论成立．
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