2023-2024学年广东省深圳市云顶学校高中部高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市云顶学校高中部高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，则的增区间为( )
A. B. C. D.
5.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知是双曲线：的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量单位：，将数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 图中的值为
B. 样本的第百分位数约为
C. 样本平均数约为
D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数有两个极值点 B. 函数有个零点
C. 函数的所有极值的和为 D. 是函数图象的一条切线
11.已知是圆：上一点，是圆：上一点，则( )
A. 的最小值为
B. 圆与圆有条公切线
C. 当取得最小值时，点的坐标为
D. 当时，点到直线的距离小于
12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点与端点不重合下列说法正确的是( )
A. 从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B. 从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 不存在点，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，其中是自然对数的底数，则______．
14.在的展开式中，含项的系数为______．
15.杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配，已知射箭场馆需要名志愿者，其中名会说韩语，名会说日语，目前可供选择的志愿者中有人只会韩语，人只会日语，另外还有人既会韩语又会日语，则不同的选人方案有______种用数字作答
16.已知圆锥的外接球半径为，则该圆锥的最大体积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是以为首项，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知，，，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题在中，内角，，的对边分别为，，，并且满足_____．
求角；
若，为角的平分线，点在上，且，求的面积．
19.本小题分
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，．
证明：E.
求平面与平面的夹角的余弦值．
20.本小题分
某土特产超市为预估年元旦期间游客购买土特产的情况，对年元旦期间的位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
购买金额元
人数
根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关．
不少于元 少于元 合计
男
女
合计
为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于元可抽奖次，每次中奖概率为每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于元的频率，中奖次减元，中奖次减元，中奖次减元．若游客甲计划购买元的土特产，请列出实际付款数元的分布列并求其数学期望．
附：参考公式和数据：．
附表：
21.本小题分
已知椭圆：，为坐标原点，若椭圆与椭圆的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为．
求椭圆的方程；
已知点在椭圆上，点，在椭圆上，若，则四边形的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若函数有两个极值点，，且恒成立为自然对数的底数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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13.
14.
15.
16.
17.解：设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，又，所以，
故．
由可得，，
则．
18.解：选：因为，
所以由正弦定理得：，
因为，则，
所以，
所以；
选：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
选：由及正弦定理得：，
则，
即，
因为，所以，则，
解得，即，
因为，所以，
所以，所以；
因为为角的平分线，点在上，
所以，即，
化简得：，
由余弦定理得：，所以，
解得舍去或，
所以．
19.证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
因为，所以，
所以；
解：由知，，，
设平面的法向量为，
则，不妨取，则，
由题可得，平面，所以是平面的一个法向量，且，
设平面设与平面的夹角为，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
20.解：列联表如下：
不少于元 少于元 合计
男
女
合计
，
因此有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关．
的所有取值可能为，，，，且，
，
，
，
所以的分布列为

．
21.解：易知两椭圆焦点都在轴上，不妨设，
因为椭圆的长轴长，
所以椭圆的长轴长，
可得椭圆的离心率，
解得，
则椭圆的方程；
是定值，理由如下：
不妨设，，，
因为，，三点在椭圆上，
所以，
因为，
所以四边形是平行四边形，
因为，
即，
又，
得，
因为，
所以，
即，
易知直线的方程为，
所以点到直线的距离为，
则平行四边形的面积为，
显然面积是定值，定值为．

22.解：Ⅰ，函数的定义域是，
，
时，，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
时，
令，解得或，令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
时，，在单调递增，
时，
令，解得或，令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
综上，时，在递减，在递增，
时，在递增，在递减，在递增，
时，在单调递增，
时，在递增，在递减，在递增；
Ⅱ函数的定义域是，
，
，
令，即，
当即时，无极值，
当时，得，
当时，设的两根为，，
则且，
当时，不存在两个正根，不存在两个极值点，
当时，解得，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
故当时，有两个极值点，，且，，
，
令，，
当时，，在递减，
又，
故实数的取值范围是
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