2024年黑龙江省大庆市高考数学第三次质检试卷（含答案）

2024年黑龙江省大庆市高考数学第三次质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.小明希望自己的高考数学成绩能超过分，为了激励自己，他记录了近次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这次成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知盒子中有个大小相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是双曲线：上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
C. D. 的面积为
10.设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 设与所成的角为，则的最大值为
D. 当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为
11.如图，函数的图象与直线相交，，，是相邻的三个交点，若，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若的最大值为，则
C. 若，函数在上单调递减，则
D. 若是偶函数，则的一个可能取值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在：的展开式中，含项的系数是______．
13.在中，，，，若，边上的两条中线，相交于点，则 ______； ______．
14.已知二次函数有两个不相等的零点，，其中在函数图象上横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到：一直继续下去，得到，，，，其中若，则前项的和是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，函数，且．
求的单调区间；
若恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试面试环节要求应聘者回答个问题，第一题考查对公司的了解，答对得分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得分，答错不得分．
根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标现有人参加应聘，求进入面试环节的人数结果四舍五入保留整数
某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．
附：若，则，，
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，且是的中点．
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为，动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设点是圆：上的动点，曲线上有四个点，，，，其中是的中点，是的中点，记的中点为．
求直线的斜率；
求面积的最大值．
19.本小题分
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且．
求；
若，求的最大值；
若，求实数的最小值．
参考答案
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15.解：函数，定义域为，
则，
又因为，所以，
解得，
令，
解得舍，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值，
因为在上只有一个极值，
所以，
因为恒成立，
所以，即，得，
所以的取值范围是．
16.解：服从正态分布，，．
，，
．
因此，进入面试的人数约为．
由题意可知，的可能取值为，，，，，．
，；
；
；
；
．
的分布列为：
．
17.解：证明：，
由余弦定理得，
，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，所以，即，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
在平面内，过点作，交于，
平面平面，平面平面，
平面，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
由可知为二面角的平面角，即，
，由，可得，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
．
即直线与平面所成角的余弦值为．
18.解：不妨设动圆圆心为，
当时，
此时，
整理得；
当时，点的轨迹为点，满足，
综上得，点的轨迹方程为；
不妨设，，，
易知的中点，
因为点在抛物线上，
所以，
又，
所以，
同理得，
则，为方程的两根，
所以，
则直线的斜率为；
因为，
所以，
此时，
又，
所以的面积，
因为点在圆上，
所以，
则，
所以当时，的面积取得最大值，最大值为．
19.解：，
，
即，
由正弦定理得：，
．
由知，
的三个角都小于，
点为的费马点，
，
由得：
，
即，
整理得，
又，
，当且仅当时等号成立，
，
的最大值为．
由知，
设，，，，
由得，
；
；
；
，
，
即，
即，
，当且仅当时等号成立，
，整理得，
解得或者舍去，
实数的最小值为．
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