2024-2025学年四川省名校联盟高三（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年四川省名校联盟高三（上）联考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 命题与均为真命题 B. 命题与均为真命题
C. 命题与均为真命题 D. 命题与均为真命题
4.已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为( )
A. B. C. D.
5.设，为两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，与所成角相等，则
6.点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别 身高 合计
低于 不低于
女
男
合计
附：，其中．
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是( )
A. 依据的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B. 依据的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C. 小组成员甲、乙计算出的值相同，依据的独立性检验，他们得出的结论也相同
D. 小组成员甲、乙计算出的值不同，依据的独立性检验，他们得出的结论也不同
10.已知数列为无穷等差数列，公差为，前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则，
B. 若，，，且互不相等，则
C. 若，，，，，，则
D. 若，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 当时，函数与的图象恰有个交点
C. 当，时，函数的图象关于直线成轴对称图形
D. 当，时，记函数的最小值为，则
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且经过点，，则椭圆的标准方程为______．
13.已知棱长为的正四面体，，分别为，的中点，若以的中点为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球半径的最大值为______．
14.整数的商其中称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商其中的形式，则． ______写成的形式，与为互质的具体正整数；若，，，构成数列，令，为数列的前项和，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角；
如图，的平分线交于，，求的取值范围．
16.本小题分
已知圆：，圆经过点，且与圆相切于点．
求圆的标准方程；
已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
若，证明：．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，侧面是正三角形，侧面底面，为中点，作交于．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
在平面内是否存在点使得，若存在，求动点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，的坐标分别为，，那么称为，两点间的曼哈顿距离；为，两点间的欧几里得距离．
已知，求的最小值；
已知，，求的最大值；
已知，点在函数图象上，点在函数图象上，且，点，有的最小值为，求实数的取值．
参考答案
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15.解：由，可得，根据正弦定理化简得，
结合，整理得，即，．
因为为三角形的内角，可知，所以，可得．
平分，可得，
由，
可得，
即，结合，
可得，即，整理得．
由三角形内角平分线定理，得，
所以，．
可得．
因为，所以，可得．
所以．
由，当且仅当时，取等号．
结合，
可知的取值范围是．
16.解：圆：的圆心，半径为，
设圆的圆心坐标为，半径为，
圆经过点，且与圆相切于点．
所以，解得，
所以圆的方程为．
若直线直线斜率存在，设：，
因为弦长为，所以圆心到直线的距离，
因为：，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
若直线斜率不存在，此时：，
，解得，
此时弦长为，符合题意．
综上：直线的方程为或．
17.解：当时，，，
故对有，对有，从而在上递增，在上递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：由可得，，有，
对，有，
设，则对，有，对有．
故在上递增，在上递减，故对有；对，有．
从而对均有，即．
再设，则对有，所以在上单调递增，从而对有，即．
这就得到对，有．
而对，有．
对，有．
综上，有．
18.解：证明：由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，，故BC，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面．
依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，
令是面的一个法向量，
则，则，
令，则，
令是面的一个法向量，
则，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值．
由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使．
19.解：令，
此时，
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为，
所以点的轨迹是顶点在坐标轴上且边长为的正方形，
则；
令，
此时，
即，
所以在以原点为圆心，半径为的圆上，
因为，
令，
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为；
当，时，轨迹为，
对于点的曼哈顿距离，的轨迹为正方形，
所以只需研究在上述两种情况下，轨迹交点到的曼哈顿距离范围，
当位于圆的右上方，
此时只需确定直线与该圆相切时参数的范围，
若与相切，
可得，
解得，满足条件，
所以，
故最大值为；
令，
此时，
若，
可得，
易知的定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
作出函数与的大致图象如图所示：
由图知，在的左上方位置，
令，
当时，轨迹为；
当时，轨迹为；
当时，轨迹为；
当时，轨迹为，
此时问题转化成上仅有一点，上仅有一点，使，
首先，求平行于且与相切于点直线，
因为，
所以，
解得或舍去，
即，
所以所求切线为，
其次，需保证，即恰好与相切，
若切点，
此时，
即，
可得，
综上，，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值，最大值，
则．
综上所述，．
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