6.3.2二项式的应用 教学设计（表格式）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式定理的应用
一、教材分析：
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主要学习二项式定理的应用，本节是在学习了二项式定理的基础上，探讨二项式定理的具体应用。对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识二项式定理、进行二项式计算和变形都有重要作用。
二、学情分析：
学生在前面已经学习了组合数的计算公式和二项式定理，了解了二项展开式的公式写法，也已经学习了函数与数列，对其中的计算也有了一定的思想。对于高二的学生，知识经验已较为丰富，他们已具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，能够运用利用放缩、数学建模等数学思想进行思考。
三、教学目标与核心素养：
课程目标 学科素养
A.能用二项式定理解决相对应的问题； B.会用放缩法与二项式定理结合求近似值、证明不等式. 1.数学抽象：二项式定理的应用思想 2.逻辑推理：运用二项式定理求解相应问题 3.数学运算：运用二项式定理解决问题 4.数学建模：通过建立合适的二项式模型解决相应问题.
四、教学重难点：
重点： 利用二项式定理求近似值，求余数或证明整除问题，以及证明不等式；
难点：求近似值或证明不等式时具体放缩的位置，确定余数的具体值.
五、教学过程：
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
课题引入 不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海。 ———荀子 ·《劝学篇》 释义：做事情不一点一点积累，就永远无法达成目的。 【模型建立】把自己的起始优秀值看成1，假设每天的努力能让自己变得比前一天优秀1%，对优秀值进行复利计算： 第1天努力后优秀值为 1+0.01 ; 第2天努力后优秀值为 (1+0.01) ; ...... 第30天努力后优秀值为 (1+0.01) ; 【问题提出】如何计算(1+0.01) ？ 新知探究 Ⅰ.利用二项式定理求近似值 例1：估算(1+0.01) 的近似值(精确到0.1) 分析：利用二项式定理的展开式估计近似值 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)； (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn (n∈N*) 【解析】 结论：我们每天努力1%，30天后，比现在优秀30% 【知识探究】提问：如果我们每天懈怠1%，结果又如何呢？ 例2、求(1 - 0.01) 的近似值（精确到0.1） 【解析】 结论：我们每天懈怠1%，30天后，优秀只有现在的70%. 方法总结：求某个数的近似值时，若所求数为一个正整数加上（或减去）一个非常小的数时，可用二项式定理展开求近似值. 题目要求到精确到哪一位，就计算到该位的后一位. Ⅱ. 利用二项式定理证明整除问题或求余数 【例3】二项式定理证明整除问题： 解： 显然上式是1000的倍数，故原式能被1000整除. [变式训练] 解：因为 因此除以7的余数为1，故天后的这一天是星期五. [变式训练] 方法总结：1.证明一个数能被另一个数整除，将被除数构造成关于除数或除数的倍数的一个二项式，利用二项式定理展开，进而证明被除数按二项式定理展开后的各项均能被除数整除，即可得证. 利用二项式定理求余数时，要注意余数的范围，余数为大于0且小于除数的整数.利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化. Ⅲ. 利用二项式定理证明不等式 例5、证明： 变式训练：请利用二项式定理证明：． ， ． 方法总结：利用二项式定理可以证明指数式与整式之间的大小关系，利用二项式定理将指数式转化为整式，根据整式的次数选择保留展开式的对应项，利用放缩法证明不等式成立 通过生活中的数学问题，从数学知识内部提出问题，引导学生观察、发现问题本质，并加以探究。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 让学生亲身经历了解决问题的探讨过程。发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养。 通过典例解析，让学生体会利用二项式定理的实际应用，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。
四、小结 1、利用二项式定理进行数值的估算； 2、利用二项式定理证明整除问题和求余数； 3、利用二项式定理证明不等式； 4、数学建模的思想和特殊到一般的思想 板书设计 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。