第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元卷（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式
姓名：___________ 班级：___________
一、单选题
1．若实数a，b，c满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列判断正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
8．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，且，
B．已知正数、满足，则的最小值为
C．若，则的最大值是
D．若，，，则的最小值是
10．对于实数、、下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，，则，
D．若，则
11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．的解集是
C． D．的解集为
三、填空题
12．已知正实数、满足，则的最小值为 ．
13．不等式的解集为 ．
14．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
15．求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
17．已知，．
(1)求最小值；
(2)若，求的最小值．
18．求下列函数的最值．
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最小值．
19．已知一元二次不等式
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)当时，求不等式的解集；
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D C B A BC ABC
题号 11
答案 AD
1．D
【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解.
【详解】对于A, 由于，，故，故A错误，
对于B, 由于，,则，故B错误，
对于C，由于，则，故C错误，
对于D，由于，则，，则，故D正确.
故选：D
2．D
【分析】根据题意结合不等式的性质运算即可.
【详解】因为，，则，
可得，所以的取值范围是.
故选：D.
3．C
【分析】用特例法或根据不等式的基本性质，判断每个选项即可.
【详解】对于选项A， 设 ，，，，则 ，，故选项A错误；
对于选项B，设，，则 ，故选项B错误；
对于选项C，由 可知，，故 ，
又因为，则有，即，
，即，
所以 成立，故选项C正确；
对于选项D，若 时，此命题并不成立，故选项D错误.
故选：C.
4．A
【分析】根据基本不等式直接求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
故选：A.
5．D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
6．C
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，取得等号，
所以，则，
所以的最大值是，
故选:C.
7．B
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，即，
解得或，则不等式的解集为或.
故选：B.
8．A
【分析】由根的判别式得到不等式，求出，由于是的真子集，满足要求，其他不合要求.
【详解】在R上恒成立，故，
解得，
由于是的真子集，故不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是，
其他选项均不是的真子集，不合要求.
故选：A
9．BC
【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件．
【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误；
对于选项，，所以，
则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确；
对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确；
对于选项，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误．
故选：．
10．ABC
【分析】利用不等式的性质即可判断AB；利用作差法即可判断C；举出反例即可判断D.
【详解】对于A，因为，由不等式的性质可知，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，由，可知，
因为，所以，于是，
又因为，所以，，故C正确；
对于D，取，，显然有，
此时，，显然，故D错误.
故选：ABC．
11．AD
【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误.
【详解】由题知，，且，
即得，，故A正确；
由可得，即，所以，故B错误；
对于C，，故C错误；
由可得，
所以，解得，故D正确.
故选：AD
12．2
【分析】利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
13．
【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零.
【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：；
两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：
解得.原不等式解集为.
故答案为：
14．
【分析】分和两种情况讨论即可得解.
【详解】当时，即时，原不等式即为恒成立；
当时，
则，解得，
综上可得，的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（3）根据分式不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1）由可得，，解得．
原不等式的解集为．
（2）因为，所以，
因为无解，所以，
即原不等式的解集为；
（3）不等式可化为，即，整理可得．
等价于，解得或．
原不等式的解集为或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先分别解不等式求出集合,再结合数轴表示，求出满足时，参数的取值范围；
（2）由（1）得集合，依题得，借助于数轴表示，即可求得参数的取值范围.
【详解】（1）由，可得，即 ,而，
故当时，有，即实数的取值范围为；
（2）由（1）已得，，，由可得,
故得，即实数的取值范围.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由，，所以，然后由基本不等式求解即可；
（2）由于，，所以，，由得，所以利用的代换结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由于，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
则最小值为3；
（2）由于，，所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
即的最小值为1.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值；
（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，故的最大值为．
（2）因为，所以．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，函数取得最小值.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可.
（2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可.
【详解】（1），所以，
所以不等式为，所以解集为.
（2）当时，不等式，即
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
【点睛】方法点睛：
利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系.
不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集.