湖南省长沙市2025届高三新高考适应性考试针对性训练数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．240 B． C．560 D．360
6．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
8．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（ ）
A．466 B．467 C．932 D．933
二、多选题
9．北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ）
A．该组数据的极差为26
B．该组数据的众数为18
C．该组数据的75%分位数为19
D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
10．已知函数，则（ ）
A．若，则
B．若，则在上单调递增
C．若，则在上单调递减
D．若有两个零点，则
11．已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ）
A．若是的中点，则平面
B．若是的中点，则平面
C．的最大值是
D．的最小值为
三、填空题
12．已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 .
13．已知数列，，…，，其中，，…，是首项为1，公差为1的等差数列；，，…，是公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，则a30的最小值为
14．已知点是抛物线上一点，点是抛物线的焦点，为上异于的两动点，且，则的最小值为 .
四、解答题
15．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
16．已知函数在上的最大值为.
（1）求的解析式；
（2）讨论的零点的个数.
17．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，D为BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.
(1)求面积的最大值；
(2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.
19．有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.
（取）.
(1)若，，求；
(2)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.湖南省长沙市2025届高三新高考适应性考试针对性训练数学
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B B D C C BD AD
题号 11
答案 ACD
12．1
13．/7.5
14．11
15．(1)
(2)
【解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式得，，因，故得，，
由余弦定理，，因，则；·
由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；
（2）由可得，
由正弦定理，，即得，，，·
则
，
由为锐角三角形可得，，解得，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
16．（1）（2）有且仅有个零点
【解】（1）由，求导得到，根据函数在上的最大值为，利用唯一的极值点为最值点求解.
（2）由（1）得到，求导，设，分，， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解.
【解】（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
故在处有极大值，也是的最大值，
所以，∴，
故.
（2）∵，
∴，
设，
（i）当时，∴，所以单调递减.
又，，从而在上存在唯一零点.也即在上存在唯一零点.
（ii）当时，，所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，，且在上，在上，
所以为在上的最大值，
又因为，，
所以在上恒大于零，无零点.
（iii）当时，，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增.
又，，
所以在上存在唯一零点.
（iiii）当时，，
设，
∴，
所以在上单调递减，所以，即.
∴在上单调递减，
因为，所以在上单调递增，
因为，，
所以在无零点，
综上，有且仅有个零点.
【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的零点以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨论和运算求解的能力，属于难题.
17．（1）见解析（2）．
【分析】（1）连接交与点，可证得，从而得证线面平行；
（2）以DA，DC所在直线，过点D且平行于的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与法向量夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值．
【详解】（1）连接，记，连接DE，
在直三棱柱中，易知侧面为平行四边形，所以E是的中点，
又D为BC的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为，D为BC的中点，所以，
又在直三棱柱中，平面ABC，
所以可以DA，DC所在直线，过点D且平行于的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，为等腰直角三角形，
所以，，，，
故，，．
设平面的法向量为，则，即，所以，
令，得，则为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系的证明，线面角的求解，求空间可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，把空间想象问题转化为计算问题，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力．
18．(1)
(2)存在，答案见解析
【分析】（1）利用两个公共底的三角形面积差表示出所求三角形面积，再由根与系数的关系化简，化简后换元，利用均值不等式求最值；
（2）设，表示出，再利用在直线上及根与系数的关系化简，观察式子当当，时为定值，即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由，可设，
由题意，联立，消元得，
设，，
则，且，，
所以的面积，
令，则，
当且仅当，即，时（此时适合的条件）取得等号.
故面积的最大值为.
（2）设椭圆上存在满足条件的点，定值，如图，
由（1）知，，所以，，
，由，在上，
所以，，
所以，
当，，时，该等式成立与取值无关，
此时，故满足条件的椭圆上的点对应或对应.
【点睛】关键点点睛：定值问题的关键在于能够把利用直线消元即根与系数的关系化为关于及的式子，通过观察确定的取值，使得为定值，对运算能力要求很高.
19．(1)
(2)的最大值为，此时的值为.
【分析】（1）由题意可知，要摘到那颗最大的麦穗，有两种情况，最大的麦穗是第3颗和最大的麦穗是最后1颗，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再利用导数求出最值即可.
【详解】（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
故所求概率为.
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.
以给定所在位置的序号作为条件，.
当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.
当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，
此时.
由全概率公式知.
令函数，.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
所以当，时取得最大值，最大值为，此时，
即的最大值为，此时的值为.
