合肥一中 2025 届高三年级上学期阶段性诊断检测卷
数学试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2. 答题时, 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 答题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束, 务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,若满足 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D. 0
4. 已知一圆锥高为 2,母线长为 . 若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的 ,则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. 1 B. -1 C. 0 D.
6. 已知实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 96 B. 81 C. D.
7. 已知 为偶函数,且 在 上有 3 个零点,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若存在唯一的整数 ,使 ,则 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目的要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 是三个随机事件,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 互斥,则
B. 若 ,则
C.
D. 若 独立,则
10. 已知函数 ,若关于 方程 有四个不同的解 ,且 ,则 的可能取值为( )
A. 2 B. 8 C. 16 D. 32
11. 如图所示,两个正方形 的边长为 ,两个动点 分别在正方形对角线 和 上, 中点为 且 . 则 ( )
A. 运动过程中,不存在
B. 若平面 平面 ,则平面 平面
C. 当 在线段 上运动时(不包括端点),二面角 可以为直二面角
D. 当 在线段 上运动时(不包括端点),四面体 的外接球表面积的最小值为 .
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 的最小正周期为_____.
13. 函数 在(-2,2)上有两个零点,则 的取值范围是_____.
14. 已知 为正整数,有穷数列 中所有可能的乘积 的和记为 . 例如,
当 时, . 数列 的前 项和为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题,共 77 分,解答应写出必要的证明过程及验算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 锐角 中,角 对应的边为 . 满足 ,且 . (1)求角 的大小； (2)求 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 过点 ,焦距为 4,过点 斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 的面积为 ,求直线 的方程.
17. (本小题满分 15 分)
如图,四棱锥 中,底面 为矩形, , , , .
(1)求证: 平面 .
(2)若 为 上一点, ,且二面角 为 ,求 到平面 的距离.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 是 的一个极值点.
(1)求实数 的值.
(2)判断函数 在 上的零点个数,并加以证明.
(3) 证明: . 其中
19.(本小题满分 17 分)
二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理: 对于任意实数 , . 对于无穷数列 ,我们称 为数列 的生成函数. 生成函数是重要的计数工具之一. 对于给定的正整数 ,记方程 的非负整数解的个数为 ,则 为 展开式中 前的系数.
(1)写出无穷常数列 的生成函数 并化简;
(2)利用广义二项式定理证明: ,并求 的通项公式;
(3)一次体质素养测试共分为十一个大项,前十项各有三个小项,第十一项仅有两个小项.运动员需参加所有项目的测试以获取分数. 计分规则如下:通过第 大项中的每一个小项,都可获得 分; 通过第十一项中的每一个小项,可获得 1 分.
①记 表示第一大项中每一个小项获得的分数, 表示第二大项中每一个小项获得的分数, 表示第十大项中每一个小项获得的分数, 表示第十一大项中每一个小项获得的分数. 记 为获取 分的所有得分组合数. 请写出 的取值集合,并用方程解的个数描述 .
② 求 .
(
1
)合肥一中2025届高三年级上学期阶段性诊断检测卷
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合A={x|2x-4>0},B={x∈Z1≤x≤5}，则A∩B=()
A.{2,3,4,5}
B.{3,4,5}
c.(2,5]
D.[2,5]
答案：B
【解析】由题意A=(2,+∞)，B={1,2,3,4,5}.因此A∩B={3,4,5}.
2.三=1+i,则2=（)
i
A.-1-i
B.-1+ic.1+iD.1-i
答案：A
【解析】
z=-1+i
z=-1-i
3.已知1=(0,1)，b=(3,3),若满足c=a+tb,且c⊥b,则t=()
41
c-1
D.0
6
3
6
答案：C
【解析】c=(0,1)+t(3,3)=(3t,1+3t)
所以cb=0
9t+9t+3=0
所以1=
6
4.已知一圆锥高为2，母线长为2√2.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的二，则圆台的侧面积为
()
A.6√2π
B.4W2元
C.3V2元
D.√2元
答案：C
【解析】由题意：圆锥底面半径R=2.设圆台的高为h,则截去的小圆锥的高为2-h,且小圆锥的体积
是大圆锥的。，则8雀=V大熊有：8××2-)2π×(2-)=×22π×2，即(2-)=1，解得h=1.
P
3
3
合肥一中2025届高三年级上学期阶段性诊断检测卷·数学参考答案第1页（共13页)
易知圆台上底面的半径r=1,则圆台的母线1=√2，S=π(R+）=π×√2×(2+1)=32π.
5.已知0∈（交，0]，tan6
sin+cos0
,则tan28=()
sine-cose
A.1
B.-1C.0
D.、V5
2
答案：B
1+tanθ
【解析】tan0=
tan0-1
=-tm(0+3=tam(-0-7
则6=-0-T+kr,keZ
4
所以，日=-元
从而tan20=-1
8
6.已知实数5，X,X,为满足三片=1,6-12y+巧=1，则(5-》+0-，》的最小值为()
412
A.96
B.81
C.96-8V6
D.97-8√6
答案：D
【解析】设P(x,),(x2,2)注意到：P9=(:-x)2+(3-2)2
点Q在圆C:(x-12)2+y2=1上，故|P22PC|-1.
1PCVs-12)2+=Vx-12)2+(3x-12)=V4x-24x+132=√4x-3)2+96
x∈(-0，-2]U[2,+0)
∴.当x=3时，PC取最小值，为4√6
.P224V6-1
(5-y)2+(x-y)2≥(46-1)2=97-8√6
7.己知0
，w>0,f(x)=sin2(ox+p)-sin(x+p)cos(x+p)为偶函数，且
g(x)=sin(ox+p)在[0,2π]上有3个零点，则o的取值范围为()
答案：A
【解析】f)=1-cos(2@x+2p1
(2ax+2p=-2
2
nar+2p++月
所以9音
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数学试题
(考试时间：120分钟满分：150分)
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题
可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号
所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.已知集合A={x|2x-4>0},B={x∈Z|1≤x≤5}，则A∩B=()
A.2,3,4,5}
B.3,4,5}
c.(2,5]
D.[2,5]
2.名=1+i,则z=（)
i
A.-1-i
B.-1+i
c.1+i
D.1-i
3.已知a=(0,1),b=(3,3),若满足c=a+th,且c⊥b,则t=（)
B._1
c.
D.0
3
6
4.已知一圆锥高为2，母线长为2√2.若用一平面截圆锥得到的圆台体积是圆锥的二，则圆台的侧面
P
积为)
A.6V2元
B.4V2元
C.3V2π
D.√2x
.已知tan6=sin8+cos0
,则tan20=(
)
sin0-cos0
A.1
B.-1
C.0
D.-2
2
6.已知实数5,5，M,为满足至-苔-1，传-12+巧=1则6-+0以-的最小值为
412
()
A.96
B.81
C.96-8V6
D.97-8V6
合肥一中2025届高三年级上学期阶段性诊断检测卷·数学第1页（共4页）省十联考
7.已知00,f)=sin2(ox+p)-sin@x+9jcos(@x+9)为偶函数，且
g(x)=sin(ox+p)在[0,2π]上有3个零点，则o的取值范围为()
院治
B需
c器
D.(
器
8.已知函数f(x)=e(ax-1)-x+2,若存在唯一的整数x。,使f(x,)<0,则a的取值范围是()
+这文+副
B.(3e-l2e-
c.2-8u3e-2e2-
[这京+
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.设A,B,C是三个随机事件，则下列说法正确的是（)
A.若A,B互斥，则P(A)+P(B)=1
B.若A∈B,则P(A)sP(B)
C.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
D.若A,B独立，则PAB=-P(A小-P(B〗
x+2,x≤0
10.已知函数f(x)=
若关于x方程f(x)=t有四个不同的解x 2'x3'x4,且
logx>
x<名<无<，则子-x,化+)的可能取值为()
XiXA
A.2
B.8
c.16
D.32
11,如图所示，两个正方形ABCD,ABEF的边长为a,两个动点M,N分别在正方形对角线
AE和BD上，BD中点为O且ME=DN,MN=a.则(
A,M,N运动过程中，不存在MW⊥AB
B.若平面MAD∩平面BEC=I,I⊥BE,则平面ABCD⊥平面ABEF
C.当N在线段DO上运动时（不包括端点），二面角A-MN-B
可以为直二面角
D.当N在线段BO上运动时（不包括端点），四面体M-ABN的F
外接球表面积的最小值为了。元.
8
M
8
N
D
合肥一中2025届高三年级上学期阶段性诊断检测卷·数学第2页（共4页)）省寸肤考