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第14章 整式的乘除与因式分解
一、同底数幂的乘法
1．式子a2 a3的运算结果与下列运算结果一致的是（ ）
A．3个a2相乘 B．6个a相乘 C．5个a相乘 D．2个a3相乘
2．若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（ ）
A．7 B．12 C．48 D．32
3．已知ax＝6，ay＝2，则ax+y＝ ．
4．已知10a＝20，10b＝50，则a+b的值是 ．
5．我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝ ；
（2）a3 a4＝ ；
（3）计算：am an；
（4）若xm＝4，xn＝5，则求xm+n的值．
1．计算m2 m3的结果是（ ）
A．m5 B．2m5 C．m6 D．2m6
2．若xm＝4，xn＝8，则xm+n＝（ ）
A．32 B．16 C．4 D．64
3．若dm＝2，dn＝6，则dm+n＝ ．
4．已知a+2b﹣3＝0，则3a 32b＝ ．
5．已知10x＝5，10y＝6，求
（1）102x+103y；
（2）102x+3y．
二、幂的乘方与积的乘方
1．计算：（﹣2m4）3＝（ ）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
2．计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
3．已知4x＝23x﹣1，则x＝ ．
4．已知x+4y＝5，求4x 162y的值．
1．计算（﹣a3b）2的结果是（ ）
A．﹣a5b3 B．a5b3 C．﹣a6b2 D．a6b2
2．计算0.52024×（﹣2）2024的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣0.5 C．1 D．2
3．已知xm＝2，xn＝5，则x3m+2n＝ ．
4．若a+3b﹣2＝0，求3a 27b的值．
三、平方差与完全平方差公式
1．计算（﹣x+2）2的结果是（ ）
A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4
2．在进行多项式的乘法运算时，下列式子不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+2b）（﹣a﹣2b）
C．（2a+b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）
3．若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或4
4．若m2﹣n2＝﹣8，m﹣n＝2，则代数式m+n的值是 ．
5．已知a+b＝7，ab＝5，则a2+b2＝ ．
6．已知a+b＝3，ab＝1，求下列各式的值的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．
1．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（ ）
A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2
C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣1）（a+1） B．（﹣3a+b）（﹣3a﹣b）
C．（a+2）（a﹣2） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
3．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．0 B．﹣8 C．0或﹣8 D．±8
4．计算：（2x﹣5y）（2x+5y）＝ ．
5．已知a+b＝﹣5，ab＝6，则a2+b2＝ ．
6．已知a+b＝3，ab＝﹣1．求代数式下列代数式的值：
①a2+b2；
②a﹣b．
四、幂的运算
1．计算：
（1）（xy）5÷（﹣xy）；
（2）（x3）2 （x4）3÷（x2）4；
（3）（x4）3÷（x3）2 （x2）4；
（4）（ax﹣1）2 ax+1÷a2x﹣1．
2．计算：
（1）x2 x2 x+x4 x；
（2）a a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2．
3．已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3．
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
1．计算：
（1）（x2 x3）4÷（x3 x）5；
（2）x2 x4﹣x3 x4÷x．
2．计算：
（1）x7÷x3 （﹣x）5；
（2）（﹣xy）13÷（﹣xy）8；
（3）a2m+4÷am﹣2；
（4）（x﹣2y）3÷（2y﹣x）2．
3．已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求52a的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系．
五、因式分解
1．下列变形是因式分解的是（ ）
A．y（1﹣y）＝y﹣y2
B．x2y+xy2﹣4＝xy（x+y）﹣4
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．
2．在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（ ）
A．a3b B．4a3b C．4a3 D．﹣a3
3．下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（ ）
A．﹣x2﹣4 B．x2+9 C．﹣16+x2 D．x2﹣2y
4．因式分解：3a﹣12ay2＝ ．
5．分解因式：9a2﹣6ab+b2＝ ．
6．因式分解：
（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
2．把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．3m B．mn C．3mn D．mn2
3．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+4 B．﹣x2﹣2xy﹣y2
C．﹣x2+y2 D．x2﹣（y+z）2
4．因式分解：2a3﹣8a＝ ．
5．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ．
6．因式分解．
（1）6（x﹣3）+x（x﹣3）； （2）m2n﹣4mn+4n．
六、整式的乘法
1．计算：20250＝（ ）
A．0 B．1 C．2025 D．无意义
2．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（ ）
A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a
3．长方形的面积为12ab2﹣9a2b，若它的一边为3ab，则另一边长为（ ）
A．1 B．4b﹣3a C．4b﹣3 D．4﹣3a
4．若（x+m）（x﹣8）的展开式中不含x的一次项，则m的值（ ）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
5．计算：12x5y÷6xy＝ ．
6．计算：3a（5a﹣2b）＝ ．
7．计算：2x（x﹣4）﹣（2x﹣3）（x+2）．
1．计算：20+21＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．计算：x（x﹣2）﹣x2+2x＝（ ）
A．x B．x2﹣2x C．﹣2 D．0
3．已知长方形的面积为ab2﹣a2b，一边长为ab，则该长方形的另一边长为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a C．b﹣a2 D．b2﹣a
4．如果的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
5．计算：﹣5xy2÷15xy＝ ．
6．计算： ．
7．计算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．
七、乘法公式的几何背景
1．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A．4m2+12m+9 B．3m+6 C．3m2+6m D．2m2+6m+9
3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
4．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ．
5．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 ．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
②计算：．
7．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
1．如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x（x﹣2）＝x2﹣2x
2．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的小正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠也无缝隙），则该长方形的周长为（ ）
A．（4a+10）cm B．（4a﹣8）cm C．（4a+8）cm D．（4a﹣1）cm
3．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
4．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是 ．
5．如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
6．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含a、b式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
（3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是： ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．
7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026；
（3）应用所得的公式计算：．
八、因式分解的应用
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，x+1，a+b，x2﹣1，a2﹣b2分别对应下列六个字：城、爱、我、新、丽、美，现将a2（x2﹣1）﹣b2（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽新城 C．我爱新城 D．新城美
3．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则代数式x3﹣2x2+2023的值为 ．
4．发现与探索：
小明的解答： a2﹣6a+5 ＝a2﹣6a+9﹣9+5 ＝（a﹣3）2﹣4 ＝（a﹣5）（a﹣1） 小丽的思考： 代数式（a﹣3）2+4， 无论a取何值（a﹣3）2， 都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4．
（1）根据小明的解答将a2﹣12a+20因式分解；
（2）根据小丽的思考，求代数式a2﹣12a+20的最小值．
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：集，爱，我，数，学，辛，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱我辛集 C．我爱辛集 D．辛集数学
3．已知a+b＝3，则a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022的值为 ．
4．【豪豪发现】一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，m＞n且m+n＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是9的倍数．
【解决问题】
（1）用含m的代数式表示：
原来的两位数为 ，新的两位数为 ；
（2）使用因式分解的方法说明【豪豪发现】中的结论正确．
九、整式的化简求值
1．先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x），其中．
2．先化简，再求值：（x2y﹣2xy2﹣y3）÷y+（y+x）（y﹣x），其中x＝3，y＝2．
3．先化简，再求值：（a+b）（3a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab﹣a（a﹣b2），其中a＝2，b＝1．
1．先化简，后求值：（x+2）（x﹣2）+（x+2）2﹣x2，其中x＝2．
2．先化简，再求值：（3a+2b）（3a﹣2b）﹣4b（2a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
3．先化简，再求值：
[（a+2b）2﹣（2b﹣a）（a+2b）﹣2a（2a﹣b）]÷2a，其中a＝﹣1，b．
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第14章 整式的乘除与因式分解
一、同底数幂的乘法
1．式子a2 a3的运算结果与下列运算结果一致的是（ ）
A．3个a2相乘 B．6个a相乘 C．5个a相乘 D．2个a3相乘
【分析】先根据同底数幂相乘法则进行计算，然后根据乘方的意义，进行判断即可．
【解答】解：∵a2 a3＝a5，
∴式子a2 a3的运算结果是5个a相乘，
故选：C．
2．若2a＝3，2b＝4，则2a+b等于（ ）
A．7 B．12 C．48 D．32
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：2a+b＝2a×2b＝3×4＝12．
故选：B．
3．已知ax＝6，ay＝2，则ax+y＝ ．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：∵ax＝6，ay＝2，
∴ax+y＝ax ay＝6×2＝12，
故答案为：12．
4．已知10a＝20，10b＝50，则a+b的值是 ．
【分析】利用同底数幂的乘法即可得出10a 10b＝10a+b＝103，从而可求得a+b的值．
【解答】解：∵10a＝20，10b＝50，
∴10a 10b＝10a+b＝20×50＝1000＝103，
∴a+b＝3．
故答案为：3．
5．我们规定2×2＝22，2×2×2＝23，可得22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝ ；
（2）a3 a4＝ ；
（3）计算：am an；
（4）若xm＝4，xn＝5，则求xm+n的值．
【分析】（1）直接利用已知运算规律进而得出答案；
（2）直接利用已知运算规律进而得出答案；
（3）直接利用已知运算规律进而得出答案；
（4）直接利用已知运算规律进而得出答案．
【解答】解：（1）（1）53×52＝（5×5×5）×（5×5）＝55；
故答案为：5；
（2）a3 a4＝（a a a） （a a a a）＝a7；
故答案为：7；
（3）am an＝am+n；
（4）xm+n＝xm xn＝4×5＝20．
1．计算m2 m3的结果是（ ）
A．m5 B．2m5 C．m6 D．2m6
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：m2 m3＝m2+3＝m5．
故选：A．
2．若xm＝4，xn＝8，则xm+n＝（ ）
A．32 B．16 C．4 D．64
【分析】根据xm+n＝xm xn，然后代入计算即可．
【解答】解：xm+n＝xm xn＝4×8＝32，
故选：A．
3．若dm＝2，dn＝6，则dm+n＝ ．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解答】解：∵dm＝2，dn＝6，
∴dm+n＝dm dn＝2×6＝12，
故答案为：12．
4．已知a+2b﹣3＝0，则3a 32b＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：移项，得
a+2b＝3．
3a 32b＝3a+2b＝33＝27，
故答案为：27．
5．已知10x＝5，10y＝6，求
（1）102x+103y；
（2）102x+3y．
【分析】（1）根据幂的乘方计算法则求出102x＝25，103y＝216，再代值计算即可；
（2）根据102x+3y＝102x 103y进行求解即可．
【解答】解：（1）∵10y＝6，10x＝5，
∴（10y）3＝63，（10x）2＝52，
∴103y＝216，102x＝25，
∴102x+103y＝25+216＝241；
（2）∵103y＝216，102x＝25，
∴102x+3y＝102x 103y＝25×216＝5400．
二、幂的乘方与积的乘方
1．计算：（﹣2m4）3＝（ ）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，
故选：D．
2．计算的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】将原式变形为，再利用积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：
＝1
，
故选：D．
3．已知4x＝23x﹣1，则x＝ ．
【分析】将原式变形为22x＝23x﹣1，即可得出2x＝3x﹣1，从而求出x的值．
【解答】解：∵4x＝23x﹣1，
∴（22）x＝23x﹣1，
∴22x＝23x﹣1，
∴2x＝3x﹣1，
∴x＝1，
故答案为：1．
4．已知x+4y＝5，求4x 162y的值．
【分析】根据积的乘方的逆用，把4x 162y化为4x+4y，代入即可．
【解答】解：∵x+4y＝5，
∴4x 162y＝4x 44y＝4x+4y＝45＝1024．
1．计算（﹣a3b）2的结果是（ ）
A．﹣a5b3 B．a5b3 C．﹣a6b2 D．a6b2
【分析】积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．
【解答】解：（﹣a3b）2＝a6b2，
故选：D．
2．计算0.52024×（﹣2）2024的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣0.5 C．1 D．2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：0.52024×（﹣2）2024
＝0.52024×22024
＝（0.5×2）2024
＝1．
故选：C．
3．已知xm＝2，xn＝5，则x3m+2n＝ ．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．
【解答】解：当xm＝2，xn＝5时，
x3m+2n＝x3m x2n＝（xm）3 （xn）2＝23×52＝8×25＝200．
故答案为：200．
4．若a+3b﹣2＝0，求3a 27b的值．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
∴3a 27b＝3a （33）b
＝3a 33b
＝3a+3b
＝32
＝9，
∴3a 27b的值为9．
三、平方差与完全平方差公式
1．计算（﹣x+2）2的结果是（ ）
A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4，
故选：A．
2．在进行多项式的乘法运算时，下列式子不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+2b）（﹣a﹣2b）
C．（2a+b）（﹣2a+b） D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）
【分析】根据平方差公式对各选项依次判断即可．
【解答】解：A、有一项相同（a），另一项互为相反数（2b和﹣2b），能用平方差公式运算，不符合题意；
B、两项均互为相反数，不能用平方差公式运算，符合题意；
C、有一项相同（b），另一项互为相反数（2a和﹣2a），能用平方差公式运算，不符合题意；
D、有一项相同（﹣b），另一项互为相反数（2a和﹣2a），能用平方差公式运算，不符合题意．
故选：B．
3．若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或4
【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，
∴x2+mx+4＝（x±2）2，
x2+mx+4＝x2±4x+4，
∴m＝±4．
故选：D．
4．若m2﹣n2＝﹣8，m﹣n＝2，则代数式m+n的值是 ．
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵m2﹣n2＝﹣8，
∴（m+n）（m﹣n）＝﹣8，
∵m﹣n＝2，
∴m+n＝﹣4，
故答案为：﹣4．
5．已知a+b＝7，ab＝5，则a2+b2＝ ．
【分析】把已知条件a+b＝7利用完全平方公式两边平方，然后再把ab＝5代入即可求解．
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝5，
∴a2+2ab+b2＝49，
即a2+2×5+b2＝49，
解得a2+b2＝49﹣10＝39．
故答案为：39．
6．已知a+b＝3，ab＝1，求下列各式的值的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．
【分析】（1）运用完全平方公式变形为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；
（2）运用完全平方公式变形为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，即可求解．
【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝1，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×1
＝7．
（2）∵a+b＝3，ab＝1，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝32﹣4×1
＝5．
1．利用公式计算（﹣x﹣2y）2的结果为（ ）
A．﹣x2﹣2xy﹣4y2 B．﹣x2﹣4xy﹣4y2
C．x2﹣4xy+4y2 D．x2+4xy+4y2
【分析】因为本题是“括号的平方”这种形式，因此我们可以从括号里面提出一个﹣1，平方后变为1，剩下的就是（x+2y）2，展开后就能得出答案．
【解答】解：（﹣x﹣2y）2＝（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故选：D．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣1）（a+1） B．（﹣3a+b）（﹣3a﹣b）
C．（a+2）（a﹣2） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行求解即可．
【解答】解：A、符合平方差公式特征，故不符合题意；
B、符合平方差公式特征，故不符合题意；
C、符合平方差公式特征，故不符合题意；
D、（﹣3a+b）（3a﹣b）＝﹣（3a﹣b）（3a﹣b），不符合平方差公式特征，故符合题意；
故选：D．
3．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．0 B．﹣8 C．0或﹣8 D．±8
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8，
故选：D．
4．计算：（2x﹣5y）（2x+5y）＝ ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（2x﹣5y）（2x+5y）
＝ （2x）2﹣（5y）2
＝4x2﹣25y2，
故答案为：4x2﹣25y2．
5．已知a+b＝﹣5，ab＝6，则a2+b2＝ ．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝6，
∴a2+b2+12＝25，
∴a2+b2＝13．
故答案为：13．
6．已知a+b＝3，ab＝﹣1．求代数式下列代数式的值：
①a2+b2；
②a﹣b．
【分析】①由完全平方公式得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，整体代入即可求解；
②先求出（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，再开方即可．
【解答】解：①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣1）＝11；
②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11﹣2×（﹣1）＝13，
∴．
四、幂的运算
1．计算：
（1）（xy）5÷（﹣xy）；
（2）（x3）2 （x4）3÷（x2）4；
（3）（x4）3÷（x3）2 （x2）4；
（4）（ax﹣1）2 ax+1÷a2x﹣1．
【分析】（1）先将xy当作一个整体，再按照同底数幂的除法法则计算即可；
（2）先用幂的乘方法则化简，再按照同底数幂的乘除法法则计算即可；
（3）先用幂的乘方法则化简，再按照同底数幂的乘除法法则计算即可；
（4）先用幂的乘方法则化简，再按照同底数幂的乘除法法则计算即可．
【解答】解：（1）（xy）5÷（﹣xy）
＝﹣（xy）5÷xy
＝﹣（xy）4
＝﹣x4y4
（2）（x3）2 （x4）3÷（x2）4
＝x6 x12÷x8
＝x18÷x8
＝x10
（3）（x4）3÷（x3）2 （x2）4
＝x12÷x6 x8
＝x6 x8
＝x14
（4）（ax﹣1）2 ax+1÷a2x﹣1
＝a2x﹣2 ax+1÷a2x﹣1．
＝a3x﹣1÷a2x﹣1
＝ax
2．计算：
（1）x2 x2 x+x4 x；
（2）a a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2．
【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可；
（2）利用同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝x5+x5
＝2x5；
（2）原式＝a8﹣9a8+a8
＝﹣7a8．
3．已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3．
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】解：（1）∵（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a3，
∴axy＝a6，a2x﹣y＝a3，
∴xy＝6，2x﹣y＝3；
（2）由（1）得：xy＝6，2x﹣y＝3，
∴4x2+y2
＝（2x﹣y）2+4xy
＝32+4×6
＝9+24
＝33．
1．计算：
（1）（x2 x3）4÷（x3 x）5；
（2）x2 x4﹣x3 x4÷x．
【分析】（1）先用同底数幂的乘法法则化简，再按照幂的乘方法则化简，然后按照同底数幂的除法法则计算即可；
（2）先用同底数幂的乘除法法则及整式的加减法法则计算即可；
【解答】解：（1）（x2 x3）4÷（x3 x）5；
＝（x5）4÷（x4）5
＝x20÷x20
＝1
（2）x2 x4﹣x3 x4÷x
＝x6﹣x7÷x
＝x6﹣x6
＝0
2．计算：
（1）x7÷x3 （﹣x）5；
（2）（﹣xy）13÷（﹣xy）8；
（3）a2m+4÷am﹣2；
（4）（x﹣2y）3÷（2y﹣x）2．
【分析】（1）（2）（3）（4）利用同底数幂的乘法和除法法则以及幂的乘方与积的乘方法则即可求解．
【解答】解：（1）x7÷x3 （﹣x）5
＝x4 （﹣x5）
＝﹣x9；
（2）（﹣xy）13÷（﹣xy）8
＝（﹣xy）5
＝﹣x5y5；
（3）a2m+4÷am﹣2
＝a2m+4﹣（m﹣2）
＝am+6；
（4）（x﹣2y）3÷（2y﹣x）2
＝（x﹣2y）3÷（x﹣2y）2
＝x﹣2y．
3．已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求52a的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系．
【分析】（1）根据幂的乘方法则解答；
（2）逆用同底数幂的乘、除法法则解答即可；
（3）根据32×8＝72，结合幂的乘方、同底数幂的乘法法则可得结论．
【解答】解：（1）原式＝（5a）2＝32＝9；
（2）5a﹣b+c
＝5a÷5b×5c
＝3÷8×72
＝27；
（3）∵（5a）2×5b＝32×8＝72，
∴52a+b＝5c，
∴2a+b＝c．
五、因式分解
1．下列变形是因式分解的是（ ）
A．y（1﹣y）＝y﹣y2
B．x2y+xy2﹣4＝xy（x+y）﹣4
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【解答】解：A．y（1﹣y）＝y﹣y2，是整式乘法运算，不是因式分解，故选项A不符合题意；
B．，x2y+xy2﹣4＝xy（x+y）﹣4，等式右边不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意；
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），从左到右的变形是因式分解，故选项C符合题意；
D.，等式右边不是整式乘积的形式，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（ ）
A．a3b B．4a3b C．4a3 D．﹣a3
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这两项系数的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与a3bc都含有字母a和b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2﹣4a3bc中各项的公因式是4a3b，
故选：B．
3．下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（ ）
A．﹣x2﹣4 B．x2+9 C．﹣16+x2 D．x2﹣2y
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）对选项进行判断即可．
【解答】解：A．﹣x2﹣4＝﹣（x2+4），不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B．x2+9，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C．﹣16+x2＝x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
D．x2﹣2y，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．因式分解：3a﹣12ay2＝ ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（1﹣4y2）
＝3a（1+2y）（1﹣2y）．
故答案为：3a（1+2y）（1﹣2y）．
5．分解因式：9a2﹣6ab+b2＝ ．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：9a2﹣6ab+b2＝（3a﹣b）2，
故答案为：（3a﹣b）2．
6．因式分解：
（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2
＝﹣2a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣2a（a﹣b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解，符合题意；
故选：D．
2．把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．3m B．mn C．3mn D．mn2
【分析】根据9mn+6mn2的公因式是3mn，则把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是3mn，即可作答．
【解答】解：公因式是3mn，把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是3mn，
故选：C．
3．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+4 B．﹣x2﹣2xy﹣y2
C．﹣x2+y2 D．x2﹣（y+z）2
【分析】通过对各选项中多项式进行逐一因式分解进行求解．
【解答】解：∵x2﹣2x+4在实数范围内不能分解，
∴选项A符合题意；
∵﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x2+2xy+y2）＝﹣（x+y）2，
∴选项B不符合题意；
∵﹣x2+y2＝﹣（x2﹣y2）＝﹣（x+y）（x﹣y），
∴选项B不符合题意；
∵x2﹣（y+z）2＝（x+y+z）（x﹣y﹣z），
∴选项B不符合题意，
故选：A．
4．因式分解：2a3﹣8a＝ ．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
5．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
6．因式分解．
（1）6（x﹣3）+x（x﹣3）；
（2）m2n﹣4mn+4n．
【分析】（1）根据提公因式求解；
（2）先提公因式，再用完全平方公式求解；
【解答】解：（1）6（x﹣3）+x（x﹣3）＝（x﹣3）（6+x）；
（2）m2n﹣4mn+4n＝n（m2﹣4m+4）＝n（m﹣2）2．
六、整式的乘法
1．计算：20250＝（ ）
A．0 B．1 C．2025 D．无意义
【分析】根据零指数幂的运算方法，求出20250的值即可．
【解答】解：∵a0＝1（a≠0），
∴20250＝1．
故选：B．
2．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（ ）
A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a
【分析】根据单项式乘多项式去括号，再用整式的加减法则计算即可．
【解答】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a．
故选：D．
3．长方形的面积为12ab2﹣9a2b，若它的一边为3ab，则另一边长为（ ）
A．1 B．4b﹣3a C．4b﹣3 D．4﹣3a
【分析】根据长方形面积公式列出算式（12ab2﹣9a2b）÷3ab，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：根据题意得，另一边长为：（12ab2﹣9a2b）÷3ab
＝12ab2÷3ab﹣9a2b÷3ab
＝4b﹣3a，
故选：B．
4．若（x+m）（x﹣8）的展开式中不含x的一次项，则m的值（ ）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
【分析】根据多项式乘多项式法则进行化简，然后令含x的项的系数为零即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2+（m﹣8）x﹣8m，
由题意可知：m﹣8＝0，
∴m﹣8＝0，
∴m＝8，
故选：A．
5．计算：12x5y÷6xy＝ ．
【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2x4．
故答案为：2x4．
6．计算：3a（5a﹣2b）＝ ．
【分析】根据单项式乘以多项式，先用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加计算．
【解答】解：3a（5a﹣2b）＝15a2﹣6ab，
故答案为：15a2﹣6ab．
7．计算：2x（x﹣4）﹣（2x﹣3）（x+2）．
【分析】先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减．
【解答】解：2x（x﹣4）﹣（2x﹣3）（x+2）
＝（2x2﹣8x）﹣（2x2﹣3x+4x﹣6）
＝2x2﹣8x﹣2x2+3x﹣4x+6
＝﹣9x+6．
1．计算：20+21＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据20＝1，21＝2，再计算即可．
【解答】解：20+21
＝1+2
＝3．
故选：C．
2．计算：x（x﹣2）﹣x2+2x＝（ ）
A．x B．x2﹣2x C．﹣2 D．0
【分析】先根据单项式乘多项式进行计算，然后再合并同类项即可．
【解答】解：x（x﹣2）﹣x2+2x
＝x2﹣2x﹣x2+2x
＝0，
故选：D．
3．已知长方形的面积为ab2﹣a2b，一边长为ab，则该长方形的另一边长为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a C．b﹣a2 D．b2﹣a
【分析】根据长方形的面积公式可知，一边的长等于面积除以另一边，即求（ab2﹣a2b）÷ab．
【解答】解：长方形的另一边为：（ab2﹣a2b）÷ab＝ab2÷ab﹣a2b÷ab＝b﹣a，
即这个长方形的另一边为b﹣a．
故选：B．
4．如果的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．﹣5
【分析】先把多项式合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式不含x项，
∴0，
解得m．
故选：C．
5．计算：﹣5xy2÷15xy＝ ．
【分析】单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此解答即可．
【解答】解：﹣5xy2÷15xy x1﹣1 y2﹣1y．
故答案为：．
6．计算： ．
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝2a4﹣a2．
故答案为：2a4﹣a2．
7．计算：x（x+2y）﹣（y﹣3x）（x+y）．
【分析】先展开，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy﹣（xy+y2﹣3x2﹣3xy）
＝x2+2xy+2xy﹣y2+3x2
＝4x2+4xy﹣y2．
七、乘法公式的几何背景
1．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可．
【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释，
故选：A．
2．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）
A．4m2+12m+9 B．3m+6 C．3m2+6m D．2m2+6m+9
【分析】根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【解答】解：根据题意，得：
（2m+3）2﹣（m+3）2
＝[（2m+3）+（m+3）][（2m+3）﹣（m+3）]
＝（3m+6）m
＝3m2+6m
故选：C．
3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：空白部分的面积：（a﹣b）2，
还可以表示为：a2﹣2ab+b2，
所以，此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
4．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 ．
【分析】将“剩余部分”的面积通过“算两遍”的方法用代数式表示其面积即可．
【解答】解：从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
将剩余部分可以拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
5．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 ．
【分析】先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可．
【解答】解：∵两个正方形边长分别为m，n，
∴阴影部分的面积为：；
∵m+n＝mn＝5，
∴原式
＝5．
故答案为：5．
6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
②计算：．
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式；
（2）①将x2﹣9y2＝（x﹣3y）（x+3y），再整体代入计算即可；
②将原式转化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图2阴影部分的长为（a+b），宽为（a﹣b），
因此图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣9y2＝12，即（x﹣3y）（x+3y）＝12，
又x+3y＝4，
∴x﹣3y＝3；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
7．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
【分析】【类比探究】根据图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可；
【应用】（1）由【类比探究】可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可；
（2）设a＝11﹣x，b＝x﹣8，则a+b＝3，ab＝（11﹣x）（x﹣8）＝2，计算a2+b2的值即可；
【拓展】设AE＝a，EC＝b，则a+b＝AE+CE＝AC＝7，由三角形面积的计算方法可得种花区域的面积为a2+b2＝25，所以种草区域的面积为ab，根据ab代入计算即可．
【解答】解：【类比探究】
图②，图中阴影部分图形的面积和为a2+b2，也可以表示为（a+b）2﹣2ab，因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】（1）∵a+b＝10，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90；
故答案为：90；
（2）设a＝11﹣x，b＝x﹣8，则a+b＝3，ab＝（11﹣x）（x﹣8）＝2，
∴（11﹣x）2+（x﹣8）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5；
【拓展】设AE＝a，EC＝b，则a+b＝AE+CE＝AC＝7，
种花区域的面积为a2b2，即为a2+b2＝25，
所以种草区域的面积为abab＝ab12．
1．如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x（x﹣2）＝x2﹣2x
【分析】观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
【解答】解：根据题意可知，大正方形的面积为：（x+2）（x+2）＝（x+2）2，
又∵大正方形的面积＝两个长方形面积+两个正方形的面积，
故大正方形的面积为：x2+2x+2x+4＝x2+4x+4，
∴（x+2）2＝x2+4x+4．
故选：B．
2．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的小正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠也无缝隙），则该长方形的周长为（ ）
A．（4a+10）cm B．（4a﹣8）cm C．（4a+8）cm D．（4a﹣1）cm
【分析】根据题意，得到长方形的长为：（a+2）+（a﹣3）＝2a﹣1，长方形的宽为：（a+2）﹣（a﹣3）＝5，由此得到答案．
【解答】解：根据题意得：
长方形的长为：（a+2）+（a﹣3）＝（2a﹣1）cm，
长方形的宽为：（a+2）﹣（a﹣3）＝5cm，
∴长方形的周长为：2（2a﹣1）+2×5＝（4a+8）cm．
故选：C．
3．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积．
【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
4．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是 ．
【分析】阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用a、b的代数式表示后，整体代入a+b＝10，ab＝22即可．
【解答】解：两个正方形的边长分别为a和b，
＝17．
故答案为：17．
5．如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：图1中：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
图2中：矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
依题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
6．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含a、b式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
（3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是： ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）根据图示中图形的边长的关系即可求解；
（2）根据几何图形面积的计算方法即可求解；
（3）分别算出（a+b）2＝a2+2ab+b2、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即可求解；
（4）根据（3）中的结论进行计算即可求解．
【解答】解：（1）根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：a﹣b．
故答案为：a﹣b；
（2）图2中阴影部分的面积为：
方法一：（a+b）2﹣4ab；方法二：（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；
（3）（a+b）2＝a2+2ab+b2、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（4）由（3）可得，（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，且a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝62﹣4×4＝20．
7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026；
（3）应用所得的公式计算：．
【分析】（1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可；
（2）把原式先变形为20252﹣（2025﹣1）×（2025+1），再利用（1）的结论求解即可；
（2）根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）把所求式子先裂项，再计算求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
拼成的图2为长为a+b，宽为a﹣b的长方形，
∴面积为：（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B；
（2）20252﹣2024×2026
＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1）
＝20252﹣（20252﹣1）
＝20252﹣20252+1
＝1；
（3）
．
八、因式分解的应用
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】将a2+2b2+c2＝2ab+2bc，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到a＝b＝c，根据等边三角形的判定，即可求解，
【解答】解：∵a2+2b2+c2＝2ab+2bc，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即：（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，即：a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
2．乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，x+1，a+b，x2﹣1，a2﹣b2分别对应下列六个字：城、爱、我、新、丽、美，现将a2（x2﹣1）﹣b2（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽新城 C．我爱新城 D．新城美
【分析】将原式提公因式后利用平方差公式因式分解，结合已知条件即可求得答案．
【解答】解：a2（x2﹣1）﹣b2（x2﹣1）
＝（x2﹣1）（a2﹣b2）
＝（x+1）（x﹣1）（a+b）（a﹣b），
那么结果呈现的密码信息可能是我爱新城，
故选：C．
3．若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则代数式x3﹣2x2+2023的值为 ．
【分析】根据x2﹣x﹣1＝0，可得x2﹣x＝1，从而得到x﹣x2＝﹣1，再把原式变形为x（x2﹣x）﹣x2+2023，然后代入，即可求解．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴x﹣x2＝﹣1，
∴x3﹣2x2+2023
＝x3﹣x2﹣x2+2023
＝x（x2﹣x）﹣x2+2023
＝x﹣x2+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故答案为：2022．
4．发现与探索：
小明的解答： a2﹣6a+5 ＝a2﹣6a+9﹣9+5 ＝（a﹣3）2﹣4 ＝（a﹣5）（a﹣1） 小丽的思考： 代数式（a﹣3）2+4， 无论a取何值（a﹣3）2， 都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4．
（1）根据小明的解答将a2﹣12a+20因式分解；
（2）根据小丽的思考，求代数式a2﹣12a+20的最小值．
【分析】（1）首先将a2﹣12a+20转化为a2﹣12a+36﹣16，然后再利用完全平方公式得（a﹣6）2﹣42，最后在利用平方差公式进行因式分解即可．
（2）首先由（1）得a2﹣12a+20＝（a﹣6）2﹣16，然后根据（a﹣6）2≥0得（a﹣6）2﹣16≥﹣16，据此可得出答案．
【解答】解：（1）a2﹣12a+20
＝a2﹣12a+36﹣16
＝（a﹣6）2﹣42
＝（a﹣6+4）（a﹣6﹣4）
＝（a﹣2）（a﹣10）；
（2）由（1）得：a2﹣12a+20＝（a﹣6）2﹣16
∵（a﹣6）2≥0，
∴（a﹣6）2﹣16≥﹣16，
∴a2﹣12a+20≥﹣16，
∴a2﹣12a+20的最小值为﹣16．
1．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由因式分解（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，可知a﹣b＝0，可得a＝b，因而可判断的形状．
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
即△ABC的是等腰三角形．
故选：A．
2．王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：集，爱，我，数，学，辛，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱我辛集 C．我爱辛集 D．辛集数学
【分析】先利用提取公因式法分解3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1），再用平方差公式继续分解，最后根据已知条件中密码信息，求出答案即可．
【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）
＝（3a﹣3b）（x2﹣1）
＝3（a﹣b）（x+1）（x﹣1），
∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：集，爱，我，数，学，辛，
∴将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是：我爱辛集，
故选：C．
3．已知a+b＝3，则a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022的值为 ．
【分析】先把所求的代数式配方变形，再整体代入求解．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022
＝（a2+b2+2ab）﹣（a+b）+2022
＝（a+b）2﹣（a+b）+2022
＝32﹣3+2022
＝2028；
故答案为：2028．
4．【豪豪发现】一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，m＞n且m+n＝10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是9的倍数．
【解决问题】
（1）用含m的代数式表示：
原来的两位数为 ，新的两位数为 ；
（2）使用因式分解的方法说明【豪豪发现】中的结论正确．
【分析】（1）先根据已知条件m+n＝10，把n用m表示出来，然后把原来的两位数和新的两位数表示出来即可；
（2）根据（1）中所求原来的两位数和新的两位数，列出算式求出这两个数的平方差，从而进行判断即可．
【解答】解：（1）∵m+n＝10，
∴n＝10﹣m，
∴原来的两位数为：
10m+n
＝10m+10﹣m
＝9m+10；
新的两位数为：
10n+m
＝10（10﹣m）+m
＝100﹣10m+m
＝100﹣9m，
故答案为：9m+10，100﹣9m；
（2）根据题意得：（9m+10）2﹣（100﹣9m）2
＝（9m+10+100﹣9m）（9m+10﹣100+9m）
＝110（18m﹣90）
＝1980（m﹣5）
＝9×220（m﹣5）
∵m是整数，
∴（9m+10）2﹣（100﹣9m）2能被9整除，
∴豪豪发现的结论正确．
九、整式的化简求值
1．先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x），其中．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的法则先去掉括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）
＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝﹣1+3x，
当时，原式．
2．先化简，再求值：（x2y﹣2xy2﹣y3）÷y+（y+x）（y﹣x），其中x＝3，y＝2．
【分析】先去括号，化简，再代入数值计算解题即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy﹣y2+（y2﹣x2）
＝﹣2xy，
当x＝3，y＝2时，
原式＝﹣2×3×2＝﹣12．
3．先化简，再求值：（a+b）（3a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab﹣a（a﹣b2），其中a＝2，b＝1．
【分析】原式利用多项式乘单项式，多项式乘多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（a+b）（3a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab﹣a（a﹣b2）
＝3a2﹣ab+3ab﹣b2+b2﹣2ab﹣a2+ab2
＝3a2﹣a2﹣ab+3ab﹣2ab﹣b2+b2+ab2
＝2a2+ab2；
当a＝2，b＝1 时，原式＝2×22+2×12＝2×4+2×1＝8+2＝10．
1．先化简，后求值：（x+2）（x﹣2）+（x+2）2﹣x2，其中x＝2．
【分析】先用平方差、完全平方公式展开，再合并同类项，化简后将x＝2代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4+x2+4x+4﹣x2
＝x2+4x，
当x＝2时，
原式＝22+4×2
＝4+8
＝12．
2．先化简，再求值：（3a+2b）（3a﹣2b）﹣4b（2a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（3a+2b）（3a﹣2b）﹣4b（2a﹣b）
＝9a2﹣4b2﹣8ab+4b2
＝9a2﹣8ab，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝9×（﹣1）2﹣8×（﹣1）×2＝25．
3．先化简，再求值：
[（a+2b）2﹣（2b﹣a）（a+2b）﹣2a（2a﹣b）]÷2a，其中a＝﹣1，b．
【分析】先算括号里面乘法，再合并同类项，最后算除法即可化简，然后代入求值即可．
【解答】解：原式＝[a2+4ab+4b2+（a﹣2b）（a+2b）﹣4a2+2ab]÷2a
＝（a2+4ab+4b2+a2﹣4b2﹣4a2+2ab）÷2a
＝（﹣2a2+6ab）÷2a
＝﹣a+3b，
当时，原式．
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