宁夏银川一中2025届高三上学期第五次月考数学试卷（含答案）

银川一中2025届高三年级第五次月考
数 学 试 卷
命题教师：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分
的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，
方差分别为，，则（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在R上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，
且+，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. , 0) D.
6．已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ）
A． B． C． D．无最大值
7．已知P为双曲线C：上一点，，为双曲线C的左、右焦点，
若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，
，，若球O的表面积等于，则三棱锥的体积
等于（ ）
A．2 B． C． D．
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则λ
11．为函数的导函数，记为，依次类推，
，已知，数列的前项和为，
则（ ）
A．
B．
C．存在，使得在上单调递增
D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经
验回归方程，则在样本点处的残差为 .
13．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，
则的最小值为 .
14．已知函数的最小值为0，则 ．
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(13分)
在中，角所对边分别为.已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求的值.
16．(15分)
如图，正四棱柱中，为的中点，
，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．(15分)
已知函数．
(1)若，求在处的切线方程．
(2)讨论的单调性．
18．(17分)
设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.
(1)求的值，并求出的和公比；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在(2)的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
19．(17分)
已知点为坐标原点，为椭圆上任一点，直线与椭圆相交于两点.
(1)求点到点距离的最小值；
(2)求面积的最大值；
(3)当，直线斜率为1，且点在直线的上方时，△PAB的内心是否在定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由.
高三第五次月考数学参考答案
一、单选题(共8小题，满分40分，每小题5分）
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C A A B A D
7．【详解】设直线与圆相切于点，则，
取线段的中点，连接，
由于，则，
由于是的中点，所以，则，即有，
由双曲线的定义可得，即，即，所以，
化简得，即，得到，
所以双曲线的渐近线方程为，
8．【详解】由可知为球的直径，
设球的半径为，则，解得，所以，
因为∠CAB=，所以BC=BD=2，AD=AC=
取CD的中点M连接AM，BM，则AM CD，BM CD，，所以CD 平面ABM
又CD=，可得，，
可得cos∠AMB=，所以sin∠AMB=，
所以∠AMB=2
所以=
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9 10 11
BCD ABD AC
10．【答案】ABD
【详解】由题图得，，又，所以，选项A正确；
即，由，得，，
解得，，
又，所以，故，
因为，
所以函数的图象关于点对称，选项B正确；
令，，解得，，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则函数在区间上先单调递减再单调递增，选项C错误；
因为，，
由，得，
若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，
则，解得，选项正确．
11．【答案】AC
【详解】由题意可知，，，，，，，
所以数列的周期为4，，故A正确；
因为，且数列的周期为4，所以，故B错误；
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
当时，，为常数列，
所以存在时，在上单调递增，故C正确；
由C选项可知，当时，，值域为，不满足，故D错误.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．【答案】0.5
13．【答案】
14．【答案】
【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号，
即对于恒成立，且能取得等号，
函数在上单调递增，不等式为，
则，即，因此在上恒成立，且能取得等号，
设，于是是函数在上的最小值，
求导得，当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，且，
所以.
四、解答题(共5小题，满分77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(13分）
【详解】（1）在中，因为，
所以. .....................................................................................2分
结合正弦定理得，，即. .....................4 分
因为，所以，
所以.
可得； ..........................................................................................................6 分
在中，因为，则，..............7分
又因为，则. ...................................9分
所以
. .............................................................................13分
16．（15分）
【详解】（1）（法一）
因为M为DD1的中点，AB=1，AA1=2
所以MA=MC=，MB1=，AB1=CB1=
MA2+MB12=5=AB12，所以MA MB1，
同理，MC2+MB12=5=CB12，所以MC MB1
又MAMC=M，所以MB1平面AMC，
又MB1平面B1MC，所以平面B1MC平面AMC........................................................................8分
（2）取AC的中点O，连结OM，OB1，由（1）知MOAC，B1OAC，
所以是二面角M-AC-B1的平面角，
由已知可得OC=，由（1）可得OM=，OB1=，
又MB1=，所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为 .................................................................15分
（法二）
（1）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，................................................................2分
设平面的法向量为，则，取；...................4分
设平面的法向量为，则，取；.............................6分
因为，即，
所以平面平面；...........................................................................................................8分
（2）设平面的法向量为，则，取，.............10分
设平面与平面的夹角为，则，......................14分
所以平面与平面的夹角的余弦值为. ....................................................................15分
17．（15分）
【详解】（1）由题设，则， ....................................2分
所以，，故切线方程为， ......................................5分
整理得. ............................................................................6分
（2）由题设，且，......7分
当时，，故时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减；..............................................................9分
当时，时，或时，
所以在上单调递减，在上单调递增；..................................... ......11分
当时，恒成立，即在上单调递减；................................................13分
当时，时，或时，
所以在上单调递减，在上单调递增； ........................................15分
18．（17分）
【详解】（1）因为，
所以数列所以为公差的等差数列，
则，
，
因为，
所以，
所以，解得，
所以； ..................................................................................................5分
（2）由（1）得，则，
则，
，
两式相减得
，
所以；........................................................................................................12分
（3），
即，
即，
即，
即，即，
因为，所以，
所以. ...........................................................................17分
19．（17分）
【详解】（1）依题意可得得，
故
由于，故当时，，
即求点到点距离的最小值为. ..............................................................4分
（2）①当直线垂直于轴时，设直线代入椭圆得，
故面积，
当时，面积最大值为； ...........................................................................7分
②当直线不垂直于轴时，设直线，
由得，
弦长 .........................................................9分
又直线即，原点到直线的距离， .................................................10分
故面积
（当且仅当取等号）
由①②得面积最大值为. ...............................................................13分
.（3）当，直线斜率时，直线，
由（2）得两根为，
则，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
则
，
即,
故直线为的内角平分线，故的内心在定直线上. .............................17分
A
B
D
M
C
O