2024-2025学年河南省洛阳名校高一上学期第三次阶段性考试数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省洛阳名校高一上学期第三次阶段性考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.“为偶函数”的否定是( )
A. 为奇函数 B. 不偶函数
C. 为奇函数 D. 不是偶函数
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B.
C. D.
5.函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
6.已知且，则“为质数”是“为合数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知为常数，，且的最小值为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题
B. 函数过定点
C. 函数在区间内必有零点
D. 存在实数，使得为幂函数
10.已知函数，则( )
A. 有最小值 B. 的单调递增区间为
C. 有最大值 D. 的单调递增区间为
11.已知是定义在上的偶函数，且，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 为奇函数
C. 的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为定义在上的奇函数，，当时，为增函数，则的零点个数为 ，的解集为 ．
13.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与过滤时间单位：的函数关系式为，其中都是正的常数已知在过滤的前消除了的污染物，前消除了的污染物，则 ．
14.若关于的不等式，且恰有个整数解，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用分数指数幂的形式表示．
计算：．
设，用表示．
16.本小题分
已知区间的长度均等于．
若集合，求的区间长度；
已知函数，求的值域的区间长度；
若，区间，求的区间长度的最小值．
17.本小题分
已知函数，且．
若的值域为，求的取值范围；
若，求方程的解集；
当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集．
18.本小题分
若对任意，都存在，使得成立，则称为在区间上的上层函数．
设函数．
试问是否为在区间上的上层函数？说明你的理由．
若为在区间上的上层函数，求的取值范围．
若函数，且，且为在区间上的上层函数，求的取值范围．
19.本小题分
设是正比例函数，是反比例函数，且与的图象有公共点，函数．
求的解析式；
讨论在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
若函数在上有两个零点，求的取值范围；
若关于的方程在上有个互不相等的实根，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：．
原式．
．

16.解：
因为，
所以
所以的区间长度为．
因为为减函数，
所以的值域为，即，
所以的值域的区间长度为．
的区间长度为．
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的区间长度的最小值为．

17.解：
若的值域为，则取遍所有正数，
由，且，
解得．
因为函数为增函数，，
所以．
由，得，
整理得，解得，
故方程的解集为．
当时，的定义域为．
因为，且，所以图象的对称轴方程为．
又在上单调递增，定义域为，
所以所求不等式等价于
解得或，故所求不等式的解集为

18.解：
若为在区间上的 上层函数，则在区间上，的最小值大于的最小值．因为在区间上为增函数，
所以．
又，所以不是在区间上的上层函数．
因为与在区间上均为增函数，
所以，
则，即因为，所以，
所以，即的取值范围是．
因为，且，所以在上为增函数，所以．
由对恒成立，得．
当时，在区间上单调递增，
则，
所以，则，又，所以．
当时，在区间上单调递减，
则，
所以，则，这与矛盾，所以不符合题意．
综上，的取值范围是．

19.
解：设．
由题意得，且，得，
则，故．
，且，
则，
．
当时，，
则，即，所以在上单调递减．
当时，，则，
即，
所以在上单调递增．
由，得．
设．
令，则，
由知在上单调递减，在上单调递增．
因为，
且在上有两个零点，所以，
即的取值范围是．
【小问详解】
由得．
依题意可得关于的方程在上有个不相等的实根．
设，则
解得，即的取值范围为．

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