山东省大联考2024-2025学年高一（上）模拟选课走班调考数学试题（PDF版，含答案）

山东省大联考 2024-2025 学年高一（上）模拟选课走班调考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 + + 1 = 0与直线3 + ( + 2) + 3 = 0平行，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 1
2.已知{ , , }是空间的一个基底，则可以与向量 = 2 ， = + 2 构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.直线 : = 与圆 : 2 + ( 1)2 = 4交于 ， 两点，则| | =( )
A. 2 B. √ 7 C. 2√ 7 D. √ 14
4.过点 (1,1)且与抛物线 : 2 = 只有1个公共点的直线有( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条

5.如图，二面角 的大小为3，点 ， 分别在半平面 ， 内， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 .若 = 5，
= 6， = 2√ 15.则 =( )
11
A. B. 6 C. √ 29 D. √ 30
2
6.动点 ( , )与定点 (3,0)
4 3
的距离和它到定直线 : = 的距离的比是 ，则动点 的轨迹方程为( )
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
5 4 4 5 4 9 9 5
2 2
7.已知 ， 分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点， 为 的上顶点， 为坐标原点， 为 上一
点，且位于第二象限，直线 ， 分别与 轴交于点 ， .若 为线段 的中点， 为线段 的中点．则
点 到 轴的距离为( )
√ 2 3 4
A. B. C. D.
2 2 5 5
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8.如图，正方形 1 1 1 1的棱长为4， ， 分别是 1， 的中点， 是四边形 1 1 内一动点，
3 = ，若直线 与平面 没有公共点，则线段 的最小值为( )
4
4√ 35
A. √ 35 B. 4√ 7 C. 5√ 5 D.
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间内三点 (3,2,0)， (2,1,3)， (0,2, 1)，则( )
A. | | = √ 11 B. ⊥
√ 11 √ 110
C. cos∠ = D. 的面积为
21 2
2 2
10.已知 是双曲线 : = 1的上焦点， , 是 上的两点，则下列结论正确的是( )
36 12
A. 若 是 的中点，则| | = 4
B. | |的最小值为4
C. 点 到 的两条渐近线的距离的乘积为12
3
D. 若 的中点坐标为(2,8)，则直线 的斜率为
4
11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线 : 3 + 3 = 经过点
(
3 3
, )，点 ( , )在 上，则下列结论正确的是( )
2 2 0 0
A. 直线 = 与 有3个公共点 B. 若点 在第二象限，则 0 + 0 < 0
C. 0 + 0 > 1 D. 0 + 0 ≤ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.与圆 1：
2 + ( 2)2 = 1， 2 :
2 + 2 = 1都相切的直线有 条．
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13.已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为
1.53× 108 ，1.47× 108 ，则这个椭圆的离心率为__ ___．
14.在正六棱柱 1 1 1 1 1 1中， 1 = 2 = 4， ， 分别为 1， 1的中点，平面 与
直线 1交于点 ，则 1 = ；点 到平面 的距离为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

已知点 ( 3, 1)， ( 2,2)，点 在 轴上，且 是直角三角形，∠ = ．
2
(1)求点 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)求斜边上的中线所在直线的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， = = 2 ， 为线段 上一点，
4
⊥ ，且该四棱锥的体积为 ．
3
(1)求 的长度；
(2)求二面角 的正弦值．
17.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 1 : = 1( > 0, > 0)的左顶点为 ，右焦点为 ，抛物线 :
2 = 2 ( > 0)的焦点与 重
2 2 2
合， (2,2√ 6)是 1与 2的一个公共点．
(1)求 1与 2的标准方程；
(2)过点 的直线 与 2交于 ， 两点，若 是 的中点，求直线 的斜率．
18.(本小题17分)
2 2
已知 1， 2分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的上、下焦点， (0, 2√ 3)是椭圆 的一个顶点， 是椭圆
上的动点， ， 1， 2三点不共线，当 1 2的面积最大时，其为等边三角形．
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(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 为 的中点， 为坐标原点，直线 交直线 = 4√ 3于点 ，过点 作 // 交直线 = 4√ 3于点
，证明：∠ 1 = ∠ 1．
19.(本小题17分)
空间直角坐标系 中，任意直线 由直线上一点 ( 0, 0 , 0)及直线的一个方向向量 = ( , , )唯一确
0 0
定，其标准式方程可表示为 = 0 = ( ≠ 0).若平面 以 为法向量且经过点 0，则平面 的点法
式方程可表示为 ( 0)+ ( 0) + ( 0)= 0，整理成一般式方程为 + + + = 0.特殊地，
平面 的一般式方程为 = 0，其法向量为(0,0,1).若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为
1 + 1 + 1 + 1 = 0,
{
2 + 2 + 2 + 2 = 0．
(1)若集合 = {( , , )|0 ≤ ≤ 2,0 ≤ ≤ 5,0 ≤ ≤ 2}，记集合 中所有点构成的几何体为 ，求 的体积；
4 1
(2)已知点 (3,2, 2)，直线 1： = = .若 ∈平面 ， 1 ，求 的一般式方程； 3 2
(3)已知三棱柱 1 1 1的顶点 1( 3,4,1)，平面 的方程为2 + + 6 = 0，直线 1的方程为
4 9
2 = 3 = ，平面 1 1的方程为 + + = 0.求直线 1与直线 所成角的余弦值． 2 5
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
1
13.【答案】0.02##
50
14.【答案】4 ； ；
4√ 21
；
7
15.【答案】解：(1)
( ) 设 , 0 .因为∠ = ，所以 ⊥ ，
2
显然 ≠ 2，则 = 1．
1 2 2 0 2
因为 = = 3， 3 ( 2) = = ， 2 2+
2
所以3 × ( ) = 1，解得 = 4，则 (4,0)．
2+
(2)
| | = √ 10，| | = 2√ 10，
1
的面积为 | | | | = 10．
2
(3)
(1 1记 的中点为 ，则 , )．
2 2
1
2 ( )
直线 的斜率为 21 = 1，
2
2
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直线 的方程为 = ( + 2)+ 2，即 + = 0，
所以斜边上的中线所在直线的方程为 + = 0．
16.【答案】解：(1)
1 4
设 = ，则 = = 2 ，该四棱锥的体积为 2 2 = ，
3 3
解得 = 1，即 = 1， = = 2．
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 (1,0,0)， (1,2,0)， (0,0,2)，
(0,2,0)， = (1,0,0)， = ( 1, 2,2)， = (0,2, 2)，
设 = = ( , 2 , 2 )，则 (1 , 2 2 , 2 )， = (1 , 2 2 , 2 )．
1
若 ⊥ ，则 = 4 8 = 0，解得 = ，即 为 的中点．
2
1 1 3
连接 ，在 △ 中， = = √ 2 + 2 = ；
2 2 2
(2)
1 1
由(1)得 ( , 1,1)， = ( , 1,1)， = (0,2,0)．
2 2
设平面 的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
= 0, 1 = 0,
则{ 即{1 取 = 1，得 = (0,1, 1)．
= 0, 1 + + = 0,
1
2 1 1
设平面 的法向量为 = ( 2 , 2 , 2)，
{ = 0,
2 = 0,
则 即{ 2 取 2 = 1，得 = (2,0,1)．
= 0, 2 2 2 + 2 2 = 0,
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设二面角 的大小为 ，
| | | | |
| √ 10 3√ 10则 cos = cos , = = ，所以sin = ，
| || | 10 10
3√ 10
所以二面角 的正弦值为 ．
10
17.【答案】解：(1)
2
因为 (2,2√ 6)，所以(2√ 6) = 2 2，
解得 = 6，所以 2的标准方程为
2 = 12 ．
因为抛物线 2的焦点与 重合，所以 (3,0)，
2 + 2 = 9．
2 22 (2√ 6) 2
又 2 2 = 1，解得{
= 1
2 , = 8
2
所以 21的标准方程为 = 1． 8
(2)由(1)知 ( 1,0).设直线 的方程为 = ( + 1)， ( 1 , 1)， ( 2 , 2)．
因为 是 的中点，所以2 1 = 2 1①.
= ( + 1)
联立{ 2 ，得
2 2 + (2 2 12) + 2 = 0，
= 12
2
2 12 12
则 > 0， 1 + 2 = 2 = 2 + 2 ②， 1 2 = 1．

4 8
由①②解得 1 = 1 + 2， 2 = 1 + 2，

( 4所以 1 + 2) (
8 8 2√ 6
1 + 2) = 1，解得
2 = ，即 = ± ，
3 3
2√ 6
经验证，此时满足 > 0，所以直线 的斜率为± ．
3
18.【答案】解：(1)
因为 (0, 2√ 3)是椭圆 的一个顶点，所以 = 2√ 3．
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当点 与 的左顶点或右顶点重合时， 1 2的面积最大，其为等边三角形，满足 = √ 3 ，又因为
2 = 2 +
2，所以 = 3， = √ 3．
2 2
故椭圆 的标准方程为 + = 1．
12 9
(2)
证明：设直线 的方程为 = 2√ 3,( ≠ 0)， ( 0 , 0)， ( 1, 1)．
2 2
+ = 1,
由{12 9 得(3 2 + 4) 2 12√ 3 = 0，
= 2√ 3,
12√ 3
= 432 2 > 0， 1 = 2 ，
3 +4
1+0 6√ 3 8√ 3所以 0 = = 2 ， 0 = 0 2√ 3 = 2 ， 2 3 +4 3 +4
( 6√ 3 8√ 3即点 2 , 2 )，
3 +4 3 +4
4
所以直线 的方程为 = ．
3
令 = 4√ 3，得 ( 3√ 3 , 4√ 3)．
又 // ，所以直线 的方程为 = ．
4√ 3
令 = 4√ 3，得 ( , 4√ 3)．

延长 1交 于 ，延长 1交 于 ．
由
4√ 3
1 = ( , 3√ 3) ( 3√ 3 , 4√ 3) = 0，得 1 ⊥ ，则∠

1
= 90 ．
4√ 3同理由 1 = (3√ 3 , 3√ 3) ( , 4√ 3) = 0，得 1 ⊥ ，则∠ 1
= 90 ．
因为∠ 1 = 90
∠ 1 ，∠ 1 = 90
∠ 1 ，显然∠ 1 = ∠ 1 ，
所以∠ 1 = ∠ 1．
19.【答案】解：(1)
由条件知， 是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
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则体积 = 2 × 5 × 2 = 20．
(2)
直线 1过点 (4,1,0)，方向向量为 = (3,2,1)， = ( 1,1, 2)．
设平面 的法向量为 = ( 1 , 1 , 1)，
= 0 3 1 + 2 + = 0则{ { 1 1 ，即 ，取 = 1，得 =
( 1,1,1)，
= 0 1 + 1 2 1 = 0
1
所以平面 的点法式方程为 ( 3)+ ( 2)+ ( + 2) = 0，
一般式方程为 3 = 0．
(3)
4
2 = 3 = , = 1,
联立{ 2 解得{ ( )
2 + + 6 = 0, = = 2,
即 1,2,2 ．
又 1( 3,4,1)，所以 1 = ( 4,2, 1)．
由平面 1 1的方程知，其法向量为 = (1,1, ).因为 1//平面 1 1，
所以 1 = 0，即 4+ 2 = 0，解得 = 2，
9
所以平面 1 1的方程为 + 2 = 0． 5
9 23 7
+ 2 = 0,
直线 上的点满足{ 5 化简得 = 55 =
5
1 ，
2 + + 6 = 0, 3 3
5 1
所以直线 的一个方向向量为 = (1, , )，
3 3
′
取直线 的一个方向向量为 = (3, 5, 1)．
|
′
′ 1 | √ 15 √ 15
则|cos 1 , | = = ，即直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
|
′ 5 1 5
1 || |
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