云南省昆明十中教育集团2024-2025学年高一（上）期中考试数学试题（PDF版，含答案）

云南省昆明十中教育集团 2024-2025 学年高一（上）期中考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∣ 2 < ≤ 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0} B. {0} C. { 2, 1,0,1} D. { 1,0,1}
2.命题“ ∈ (2, +∞)， 2 2 > 0”的否定是( )
A. ∈ (2, +∞)， 2 2 ≤ 0 B. ∈ (2, +∞)， 2 2 ≤ 0
C. ∈ ( ∞, 2)， 2 2 ≤ 0 D. ∈ ( ∞, 2), 2 2 > 0
3 2
3.已知10 = 2，10 = 3，则10 2 =( )
1 4 √ 2 2√ 2
A. B. C. D.
2 9 2 3
5
4.幂函数 ( ) = ( 2 + 2) 在区间(0, +∞)上单调递增，则下列说法正确的是( )
2
1 1
A. = B. = 或 = 2
2 2
1
C. = 2 D. = 或 = 2
2
( )
2 5, ≤ 2
5.若函数 = { 的值域是 ，则 的取值范围是( )
2 + 1, > 2
1 1 3 3
A. [ , 0) B. ( ∞, ] C. [ , 0) D. ( ∞, ]
2 2 2 2

6.函数 = 的图像所经过的象限是( )
+1
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、
四象限
7.已知函数 ( 3)的定义域是[ 2,4]，则函数 (2 1)的定义域是( )
1 5
A. [ , ] B. [ 5,7] C. [ 9,1] D. [ 2,1]
2 2
8.设函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + .若 (0) +
9
(3) = 6，则 ( ) =( )
2
5 3 7 9
A. B. C. D.
2 2 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.“ < < 2”的一个必要不充分条件可以是( )
2
1 1
A. 4 < < 3 B. 0 < < 1 C. < < D. < 2
2 2
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10. = 18， = 2 ， = 2，则( )
4
A. > B. > 2 C. > D. > 2
2
11.已知实数 ， 满足 + 2 = 1( ≠ 0)，下列判断正确的是( )
4
A. + 2 有最大值2√ 2 B. + 2 有最小值 2√ 2
C. 有最大值√ 2 D. 有最小值1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算： 0 + ln2 (lg25 + 2lg2) = ．
13.函数 = 3 2(常数 > 0且 ≠ 1)图象恒过定点 ，则 的坐标为 ．
14.我们知道，函数 = ( )的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图像关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 =
( + ) 为奇函数，则函数 = 3 + 2的图像的对称中心为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = + ．

(1)写出函数 ( )的定义域及奇偶性；
(2)请判断函数 ( )在(1, +∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)当 ∈ [2,4]时， 2 + 1 ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 ，函数 ( ) = + 3， ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较大者，记为 ( ) =
max{ ( ), ( )}．
(1)用解析法表示函数 ( )，并画出函数 ( )的图像；
(2)根据图像写出函数 ( )的单调区间，值域；
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(3)解不等式 [ ( )] ≥ 1．
17.(本小题15分)
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗
器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生
产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，年最大产能为100台.每生产 台，需另投入成本 ( )万
元，且╔╔G(x)= \ begin{cases}2x^{2}+80x,0
(1)写出年利润 ( )万元关于年产量 台的函数解析式(利润=销售收入 成本);
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
18.(本小题17分)
2 +
已知定义在 上的函数 ( ) =
2 +1
是奇函数，
+
(1)求 ，
(2)若 ∈ [ 1,3]，有 ( 2 2 ) + (2 2 12) < 0成立，求 的范围．
19.(本小题17分)
定义在 上的函数 ( )满足：对任意 1 ∈ [ , +∞)，都存在唯一 2 ∈ ( ∞, )，使得 ( 1) = ( 2)，则称函数
( )是“ ( )型函数”(其中 ∈ ).
(1)判断 ( ) = 2 2 是否为“ (0)型函数”？并说明理由；
(2)是否存在实数 ，使得函数 ( ) = √ 2 + 1是“ ( )型函数”，若存在，求出 的取值范围；若不
存在，请说明理由；

+ + 1, ≥ 1,
(3)若函数 ( ) = { 是“ (1)型函数”，求实数 的取值范围．
2| |, < 1,
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】(3, 1)
1 2
14.【答案】( , )
3 27
15.【答案】【小问1详解】
1
定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，因为 ( ) = = ( )，所以 ( )为奇函数．

【小问2详解】
单调递增，证明：任取1 < 1 < 2，
1 1 1 1
( 1) ( 2) = 1 + ( 2 + ) = 1 2 + 1 2 1 2
1 ( )( 1)
= ( 1 2) (1 ) =
1 2 1 2 ，因为1 < < ，所以 > 0， < 0， 1 > 0，所
1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2
2
( 1 2)( 以 1
2 1) < 0，即 ( 1) < ( 2
)，所以函数 ( )在(1, +∞)上单调递增．
1 2
【小问3详解】
1
因为 ∈ [2,4]， 2 + 1 ≥ 0变形为 + ≥ ，即 ( ) ≥ ，

5 5
由(2)知， ( )在(1, +∞)上单调递增，所以 ( )min = (2) = ，所以 ≤ ． 2 2
16.【答案】【小问1详解】
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函数 ( ) = 2 在 上单调递增，函数 ( ) = + 3在 上单调递减，
又 (1) = 2 = (1)，所以 < 1时， + 3 > 2 ， > 1时，2 > + 3，
+ 3, ≤ 1
所以 ( ) = { ,
2 , > 1
作图如下：
【小问2详解】
由图象可知函数 ( )在区间( ∞, 1]单调递减；在[1, +∞)单调递增，值域为[2, +∞)；
【小问3详解】
令 = ( )，则 ( ) ≥ 1，所以 + 3 ≥ 1，解得 ≤ 4，所以 ( ) ≤ 4，
当 ≤ 1时， ( ) = + 3 ≤ 4，解得 1 ≤ ≤ 1；
当 > 1时， ( ) = 2 ≤ 4，解得1 < ≤ 2，
综上：不等式 [ ( )] ≥ 1的解集为{ | 1 ≤ ≤ 2}．
17.【答案】解：(1)当0 < ≤ 40时， ( ) = 200 (2 2 + 80 ) 300 = 2 2 + 120 300;
3600 3600
当40 < 100时， ( ) = 200 (201 + 2100) 300 = ( + ) + 1800，

2 2 + 120 300,0 < ≤ 40,
所以 ( ) = { 3600
( + ) + 1800,40 < ≤ 100.

(2)若0 < 40， ( ) = 2( 30)2 + 1500，
当 = 30时， ( )max = 1500万元．
3600
若40 < 100， ( ) = ( + ) + 1800 ≤ 120 + 1800 = 1680，

3600
当且仅当 = 时，即 = 60时， ( )max = 1680万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．
18.【答案】【小问1详解】
由 (0) = 0可以得到： = 1，由 (1) = ( 1)得到： = 2，
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2 +1 2 +1 2 1 2 1
此时 ( ) = +1 ， ( ) =2 +2 2 +1
= = = ( )，
+2 2(2
+1) 2 +1+2
所以 = 1， = 2；
【小问2详解】
2 +1 1 2 +1 1 2
由于 ( ) = +1 = ( ) = ( 1 + )，所以 ( )单调递减， 2 +2 2 2 +1 2 2
+1
所以 ( 2 2 ) + (2 2 12) < 0变形为： ( 2 2 ) < (2 2 12)，
因为 ( )是奇函数，所以 ( 2 2 ) < (12 2 2)，
所以 2 2 > 12 2 2，即 2 2 12 > 0，
令 ( ) = 2 2 12，则只需要 ∈ [ 1,3]时， ( )max > 0即可，
1
当 ≤ 1时， ( )max = (3) = 3 6 > 0，得到： < ； 2
11
当 > 1时， ( )max = ( 1) = 11 + 2 > 0，得到： > ， 2
1 11
所以 ∈ ( ∞, ) ∪ ( , +∞)．
2 2
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 2 = ( 1)2 1，
当 ≥ 0时， ≥ 1，当 < 0时， < 0，
当 1 = 1时， = 1，不存在 2 ∈ ( ∞, 0)，使 ( 1) = ( 2) = 1，
所以 ( )不是“ (0)型函数”；
(2)首先函数 ( )的定义域为 ，则 = 2 4 ≤ 0，得 2 ≤ ≤ 2，

由复合函数的单调性可知，函数 ( )在( ∞, )上单调递减，在区间( , +∞)上单调递增，
2 2

所以只需 > 对任意 ∈ [ 2,2]恒成立即可，
2
所以 > 1，
即 的取值范围为(1, +∞)．

+ + 1, ≥ 1,
(3)函数 ( ) = { 是“ (1)型函数”，
2| |, < 1,
当 < 1时， ( )在[1, +∞)上单调递增， ( 1) ∈ [ + 2, +∞),
+ 2 ≥ 0
而 ( 2) ∈ [0, +∞)，要使 2存在且唯一，则有{ ，解得： ≥ 0， 2(1 ) ≤ + 2
所以0 ≤ < 1，
当 ≥ 1时， ( )在[1, √ )上单调递减，在(√ , +∞)上单调递增，
所以 ( 1) ∈ [2√ + 1, +∞),
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而 ( 2) ∈ (2( 1), +∞)，要使 2存在且唯一，则有2( 1) < 2√ + 1，
1+√ 7
设√ = ≥ 1，即2 2 2 3 < 0，解得1 ≤ < ，
2
4+√ 7
解得：1 ≤ <
2
4+√ 7
所以实数 的取值范围为[0, )．
2
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