陕西省西安市西北工业大学附中2024-2025学年高一（上）12月月考数学试题（PDF版，含答案）

陕西省西安市西北工业大学附中 2024-2025 学年高一（上）12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， + 1 > 0”的否定是( )
A. 0 ∈ ，
0 + 1 ≤ 0 B. ∈ ， + 1 ≤ 0
C. 0 ∈ ，
0 + 1 > 0 D. ∈ ， 00 + 1 < 0
2.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量 与其繁殖时间 (天)满足关系式：
= .若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要( )(lg2 ≈ 0.3，
结果四舍五入取整)
A. 20天 B. 21天 C. 22天 D. 23天
3.已知 = 0.3， = 30.22 ， = 0. 3
2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象

特征，如函数 ( ) = 4 的图象大致形状是( ) 1
A. B.
C. D.
5.下列命题正确的有个
①函数 ( ) = ln + 1的零点是(0, ).
② = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = 4 ± 1, ∈ }，则 = .
③ ( ) = lg 2与 ( ) = 2lg 是同一函数.
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1
④ ( ) = lg 是非奇非偶函数．
+1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.设函数 ( ) = + 2 4, ( ) = ln + 2 2 5，若实数 , 分别是 ( ), ( )的零点，则
A. ( ) < 0 < ( ) B. ( ) < 0 < ( ) C. 0 < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < 0
1
7.已知函数 ( )满足条件： (1) = ， ( + ) = ( ) ( )， ( )在 上是减函数，若 ∈ [1,4]，使 ( 2) ≤
2
16 ( )成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 5) B. ( ∞, 5] C. ( ∞, 4) D. ( ∞, 4]
8.记max{ , }表示 ， 二者中较大的一个，函数 ( ) = 2 7 5， ( ) = max{31 , 3( + 2)}，若
1 ∈ [ 1, + 1]， 2 ∈ [0, +∞)，使得 ( 1) = ( 2)成立，则 的取值范围是( )
9 5 11 7
A. [ 5, 2] B. [ 4, 3] C. [ , ] D. [ , ]
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )．
7
A. 是第三象限角
6
3
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
3 2
3
C. 若角 的终边过点 ( 3,4)，则cos =
5
sin +cos
D. 若tan = 2，则 = 3
sin cos
1
10.已知关于 的不等式(2 + ) 2 ( ) 1 > 0( > 0, > 0)的解集为( ∞, ) ∪ (1,+∞)，则下列
3
结论正确的是( )
25
A. 2 + = 10 B. 的最大值为
8
2 2 1 1 3+2√ 2C. + 的最小值为20 D. + 的最小值为
5
11.下列四个论断正确的是( )
A. 若 ( ) = lg( 2 2 + 1)的值域为 ，则 的取值范围是0 < ≤ 1
1+2
B. 若 ( ) = ，则 ( )为奇函数 1 2

C. ( ) = lg(10 + 1) 是偶函数
2
D. 设函数 ( ) = ( 2)| |，若函数 ( )在(0, )上单调递减，则0 < ≤ 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.函数 = 3 3( > 0且 ≠ 1)的图象必经过定点( , )，则2 + 2 = ．
2 +5
13.已知函数 ( )满足： ( ) = ( + 2)3 + 2， ( ) = ，则方程 ( ) = ( )所有实根之和为 ．
+2
|2 +2 1|{ , ≤ 0,14.已知函数 ( ) = 若关于 的方程[ ( )]2 + ( ) + 2 = 0恰有6个不同的实数根，则
| 2 |, > 0,
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
(1)计算：83 + sin cos2 + 31+ 3√ 5 + lg5 + lg20；
2
1 1 + 1 1
(2)若 2 + 2 = √ 6，求
2+ 2
的值．
2
16.(本小题15分)
(1)若tan = 2，求4 2 3sin cos 5 2 的值；
(2)已知sin ，cos 是关于 的一元二次方程2 2 + 2 = 0的两根，若0 < < ，求sin cos 的值．
17.(本小题15分)
1 1 1
已知命题 :对任意 > 0， > 0且 + = ，不等式 2 + 30 ≤ 9 + 3 恒成立;命题 : ∈ ， 2 2
3 4
3 < ．
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围;
(2)若命题 和命题 中至少有一个为真命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
1
已知 ( ) = 是 上的奇函数． 2 +1
(1)求 ．
(2)判断 ( )的单调性(不要求证明)，并求 ( )的值域．
1
(3)设关于 的函数 ( ) = [( )22 ] + ( 1 ) , ∈ [ , 2]有两个零点，求实数 的取值范围． 2
2
19.(本小题17分)
一般地，若函数 ( )的定义域是[ , ]，值域为[ , ]，则称[ , ]为 ( )的“ 倍跟随区间”，若函数的
定义域为[ , ]，值域也为[ , ]，则称[ , ]为 ( )的“跟随区间”．
1
(1)写出二次函数 ( ) = 2的一个“跟随区间”；
2
1
(2)求证：函数 ( ) = 1 不存在“跟随区间”；

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( 2+ ) 1
(3)已知函数 ( ) = (2 ∈ , ≠ 0)有“4倍跟随区间”[4 ,4 ]，当 取得最大值时，求 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
33
12.【答案】
4
13.【答案】 4
11
14.【答案】 3 ≤ < 2√ 2或 <
3
2
15.【答案】(1)原式83 + sin cos2 + 31+ 3√ 5 + lg5 + lg20 = 4 + 1 1 + 3√ 5 + 2 = 6 + 3√ 5；
2
1 1 1 1
(2)若 + 2 2 = √ 6，则 + 1 = (

2 + 2)2 2 = (√ 6)2 2 = 4，
2 + 2 = ( + 1)2 2 = 42 2 = 14，
+ 1 1 4 1 1
故 2 = = + 2 2 14 2 4
2 2 4
2 3sin cos 5 2
16.【答案】(1)4 3sin cos 5 =
2 + 2
4 2 3tan 5 4×22 3×2 5
=
2
= = 1；
+1 22+1
(2)由sin ，cos 是关于 的一元二次方程2 2 + 2 = 0的两根，
1 1
故sin + cos = ，sin cos = ，且 = 1 8( ) ≥ 0, ≥ ，
2 8
1 3
故(sin + cos )2 = 1 + 2sin cos = 1 2 = ，则 = ，则sin cos = < 0，
4 8

因为0 < < ，所以sin > 0,cos < 0，所以 < < ，
2
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1 3 √ 7
所以sin cos = √ (sin + cos )2 4sin cos = √ + = ．
4 2 2
1 1 3 3
17.【答案】解：(1)由题意，9 + 3 = 4(9 + 3 )( + ) = 4( + + 10) ≥ 4 × (6 + 10) = 64，
3
3 3 16
当且仅当 = ，即 = = 时，等号成立，
3
要使得命题 为真命题，只需要 2 + 30 ≤ 64，解得 32 ≤ ≤ 2，
所以实数 的取值范围是：{ | 32 ≤ ≤ 2}；
(2)令 = 2 2 3， ∈ ，易得当 = 1时， = 4，
要使得命题 为真命题，只需要 < ，故 > 4，
若命题 和命题 都是假命题，
{ < 32此时 或{
> 2
，可得 < 32，
≤ 4 ≤ 4
所以命题 和命题 中至少有一个为真命题时，实数 的取值范围是：{ | ≥ 32}．
1
18.【答案】(1) (0) = 0有 = ，
2
1 1 1 2 1 1 1
此时 ( ) = = ( ) = ( )是奇函数(2) ( )是 上的增函数， ( ) ∈ ( , )方法一：∵2 2 +1 2 2 +1 2 2
1 < 2
1 1 1 1 1 1
+ 1 ∴ 0 < < 1 ∴ 1 < < ∴值域为( , ) 2 +1 2 2 +1 2 2 2
1 2 1 2 +1 1 1
方法二：由 = 2 = > 0 < < (3)由 ( ) = 0 [( )22 ] = ( 2 )由(2)2 2 +1 1 2 2 2
知 ( )是 上增函数∴ ( 2 )
2 = 2 ，即 = ( )
2 1
2 2 ，令 2 = ∵ ∈ [ , 2] ∴ ∈2
[ 1 1,1] 即 = 2 在 ∈ [ 1,1]上有两个不等实根∴ ∈ ( , 0]．
4
1
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 ≥ 0，所以值域为[0, +∞),
2
所以“跟随区间”[ , ] [0, +∞),
( 1又 ) = 2在[0, +∞)上单调递增，所以 ( ) = , ( ) = ，
2
1
从而 ( ) = 2 = 有两个非负根，解得
2 1
= 0或 2 = 2，
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1
所以二次函数 ( ) = 2的一个“跟随区间”为[0,2]；
2
1
(2) ( ) = 1 ( ≠ 0)，设[ , ] { | ≠ 0}，

可设[ , ] ( ∞, 0)或[ , ] (0, +∞)，
1
因为 ( ) = 1 在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，

1
若[ , ]是函数 ( ) = 1 的“跟随区间”，

1
1 =
则{ ，则 , 是 2 + 1 = 0的两个不等且同号的实根，
1
1 =

又 = ( 1)2 4 × 1 × 1 = 3 < 0，所以 2 + 1 = 0无实数根，
1
所以函数 ( ) = 1 不存在“跟随区间”；

( 2+ ) 1
(3) ( ) = (2 ∈ , ≠ 0)的定义域为{ | ≠ 0}，
因为函数 ( )有“4倍跟随区间”[4 , 4 ]，
则[ , ] { | ≠ 0}，所以[ , ] ( ∞, 0)或[ , ] (0, +∞)，
2
( ) + 1所以 = [ ]
2
2 在 , 上单调递增，
因为函数 ( )有“4倍跟随区间”[4 , 4 ]，
( ) = 4 2
则有{
+ 1
，所以 , 是方程 2 2 = 4 的两个不等且同号的实根， ( ) = 4
即4 2 2 ( 2 + ) + 1 = 0有两个不等且同号的实根，
所以 = ( 2 + )2 4 × 4 2 × 1 > 0，
2+ 1 1 1
得 + = = + ， = ，
4 2 4 4 4 2
1 1 1
所以 = √ ( )2 = √ ( + )2 4 = √ ( + )2 4 × 2 4 4 4
√ 1 1 2 1 √ 15 1 1 1 √ 15 1 2 1 15 1 1 1 1 √ 15= ( + ) 2 = · 2 + + = ( 2 ) + = √ ( )
2 + ≤ √ = ，
4 4 16 8 16 16 15 16 16 15 15 15 15
√ 15
当且仅当 = 15时， 取得最大值 ，
15
当 = 15时符合 > 0的条件，
所以 取得最大值时， 的值为15．
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