2024年12月贵州省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（PDF版，含答案）

2024 年 12 月贵州省普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一、单选题：本题共 26 小题，每小题 5 分，共 130 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 = {2,3}， = {3,4}，则 ∩ =( )
A. {2} B. {3} C. {4} D.
2.已知复数 = 2 + ( 为虚数单位)，则 的实部为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一
个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4.函数 = sin ， ∈ 的最小正周期为( )

A. B. 2 C. 3 D. 5
3
5.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 5
6.下列几何体为旋转体的是( )
A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 五棱柱 D. 圆柱
7.函数 = √ 5的定义域为( )
A. [2,+∞) B. [3,+∞) C. [4,+∞) D. [5,+∞)
8.已知向量 = (2,3)， = (1,1)，则 + =( )
A. (3,4) B. (2,3) C. (1,1) D. (0,0)
9.若 > ， ∈ ，则下列结论一定成立的是( )
1 1
A. > 0 B. > C. < D. 2 > 2

1
10. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = ， = 3，sin = ，则 =( )
6 3
1 1
A. B. C. 1 D. 2
3 2
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11.如图，已知正方体 1 1 1 1，下列棱中与 垂直的是( )
A. B. C. 1 D. 1 1
12.已知 = 3 1， = 3， = 32，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
13.命题： ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0的否定是( )
A. ∈ ， 2 + + 1 > 0 B. ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0
C. ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0 D. ∈ ， 2 + + 1 < 0
14.已知10位同学的身高(单位： )分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178，181，
则这组数据的第50百分位数为( )
A. 163 B. 165 C. 175 D. 178
15. 39 =( )
A. 7 B. 5 C. 4 D. 2
16.已知向量 = (1,1)， = (3, )，且 // ，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17.某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不
低于90分的人数为( )
A. 500 B. 300 C. 200 D. 100
18.向量 ， 的夹角为45 ，且| | = 1，| | = √ 2则 =( )
A. 5 B. 3 C. 1 D. 0
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19.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的 是( )
1
A. = ln B. = C. = √ D. = + 1

1
20.已知 > 0，则 + 的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
21.已知 : > 3， : > 4，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

22.为了得到函数 = cos ( + )的图象，只需把函数 = cos 的图象上所有的点( )
4

A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
4 4

C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
12 12
23.某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入 (单位：
1
00 2, 0 100,
万元)关于年产量 (单位：台)满足函数： = { 2 则当该公司所获年利润最大时，年产
5000, > 100.
量 为( )
A. 50 B. 80 C. 100 D. 120

24.若函数 = 3sin ( + ) ( > 0)在区间[0,2 ]上有且仅有5个零点，则 取值范围是( )
6
29 35 23 29 23 29 29 35
A. [ , ] B. [ , ) C. [ , ] D. [ , )
12 12 12 12 12 12 12 12

25.若函数 = 2sin cos + 2 2 的图象关于直线 = 对称，则 的值是( )
12
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. √ 5
26.在平面四边形 中，∠ = ∠ = 90 ， = = √ 2，则 的最小值为( )
A. 3√ 2 5 B. 3√ 3 5 C. 4√ 3 6 D. 4√ 2 6
二、解答题：本题共 2 小题，共 24 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.(本小题12分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90
， = = 2， 为 1 的中点， 1 交 1于点 ．
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(1)异面直线 1 1与 所成的角为________(填度数)；
(2)若三棱柱 1 1 1的体积为6，则棱 1的长是________；
(3)求证： //平面 ．
28.(本小题12分)

的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = ， = 2√ 3．
3

(1)若 = ，则 =________；
2

(2)若 = ，则 的面积为________；
6
(3)已知 的角平分线 交 于 ，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】
22.【答案】
23.【答案】
24.【答案】
25.【答案】
26.【答案】
27.【答案】(1)
∵ 1 1// ，
∴异面直线 1 1与 所成的角为∠ = 90
，
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故答案为：90
(2)
由直三棱柱的体积公式可得：
1 1
= = 1 = × 2 × 2 1 = 6， 2 2
解得 1 = 3，
故答案为：3
(3)
因为直三棱柱 1 1 1中，平面 1 1为矩形，
所以 为 1 的中点，又 为 1 的中点，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
28.【答案】(1)

因为 = ，所以 sin = ，
2
2√ 3
即 = = = 4．
sin sin
3
(2)

当 = 时， = ，由(1)知 = 4，
6 2
1
所以 = sin = 4 × = 2，
2
1 1
所以 = = × 2 × 2√ 3 = 2√ 3． 2 2
(3)
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
即12 + = 2 + 2 ≥ 2 ，可得 ≤ 12，当且仅当 = = 2√ 3时等号成立，
所以( + )2 = 3 + 12，
1 1 1
由面积公式可得 sin = sin + sin ，
2 2 6 2 6
√ 3
即√ 3 = ( + )，所以 = ，
+
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3( )2 3( )2 1
所以 2 =
( + )2
= = ，
3 +12 1 4+
( )2
1 1 1
令 = ≥ ，则 2 = ，
12 +4 2
1 1
所以当 = 时， = 4 2 + 有最小值 ， 2有最大值9，
12 9
即三角形为正三角形时， 有最大值3．
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