2024-2025学年湖南省岳阳市云溪区高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市云溪区高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.已知幂函数，满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.定义，设，则方程的实根个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，共24分。
9.某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解精确度可取为( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是( )
A. 是函数的“完美区间”
B. 若为的“完美区间”，则
C. 二次函数存在“倍美好区间”
D. 函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为
12.已知函数对任意实数，都满足，且，，则( )
A. B. 是奇函数
C. 是偶函数 D.
三、填空题：本大题共4小题，共20分。
13.函数的单调增区间为 ．
14.规定：表示不超过的最大整数，例如：，对于给定的，定义，则 ；若集合，则中元素的个数是 ．
15.方程有四个不同的实数根，求的取值范围 ．
16.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式
利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.求下列各式的值：
；
．
18.设常数，已知
当时，求函数的单调递增区间；
当时，求的解集；
若存在，使成立，求实数的最小值．
19.已知函数为上的偶函数．
求；
判断在上的单调性，并用定义证明；
若，求实数的取值范围．
20.已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且．
求与的解析式；
求函数在上的最值．
若不等式在上恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.也对
14.
15.
16.答案不唯一
17.解：原式
．
原式
．
18.解：
若，则的定义域为，
且，可知为偶函数，
设，且，
则，
因为，则，，则，
可得，即，
所以函数在内单调递增，
结合偶函数对称性可知：函数在内单调递减，
所以函数的单调递增区间为或
若，则，
因为，即，
整理可得，则，解得，
所以的解集为．
因为，即，
令，由可知：，
则，，
可得，即，
原题意等价于在内有解，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，可得，解得，
所以实数的最小值．

19.解：由偶函数定义域关于的对称性知，即，
所以，
由为上的偶函数，
则，
即得，
则当时，，
故符合题意，
所以，．
是上的增函数，证明如下：
由知当时，，
任取，
，
因为，
所以，，，，
则，
即，则，
所以是上的增函数
令，即，
当时，，解得或
当时，，解得或
又，则，即，
由即可转化为，
因为是上的偶函数，故，
由知是上的增函数，
则即，
则或，
故实数的取值范围为
20.解：
依题意，设，，
因为经过点，所以，解得，则，，
又经过点，且，
所以，解得，所以．
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，．
由，得，
即在上恒成立，
所以，解得，
故的取值范围为．

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