湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二（上）12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省临湘市 2024-2025 学年高二（上）12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{ }中， 3 = 5， 6 = 3，则 9 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.直线 过点 ( 4, √ 3)、 ( 1,0)，则 的倾斜角为( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
3.已知向量 = ( 1,2,1)， = (3, , 1)，且 ⊥ ，那么| |等于( )
A. √ 10 B. 2√ 3 C. √ 11 D. 5
4.已知圆 的圆心在 轴上且经过 (1,1)， (2, 2)两点，则圆 的标准方程是( )
A. ( 3)2 + 2 = 5 B. ( 3)2 + 2 = 17
C. ( + 3)2 + 2 = 17 D. 2 + ( + 1)2 = 5
5.在平面直角坐标系 中，动点 ( , )到直线 = 1的距离比它到定点(3,0)的距离小2，则点 的轨迹方
程为( )
A. 2 = 6 B. 2 = 12 C. 2 = 6 D. 2 = 12
6.已知 ( 2,0)， (2,0)，若圆( 1)2 + ( 3 + 2)2 = 4上存在点 满足 = 5，则 的取值范
围是( )
A. [ 1,2] B. [ 2,1] C. [ 2,3] D. [ 3,2]
2
7.经过椭圆 + 2 = 1的左焦点 1作倾斜角为60
的直线 ，直线 与椭圆相交于 ， 两点，则线段 的长为
2
( )
4 8√ 2 16√ 2
A. B. C. 2 D.
7 7 7
8.已知数列{ }的通项公式 = 2 1，在其相邻两项 ， 之间插入2 +1 个3( ∈ )，得到新的数列{ }，
记{ }的前 项和为 ，则使 ≥ 100成立的 的最小值为( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线 : + 1 = 0与圆 : ( + )2 + 2 = 2( 1 ≤ ≤ 3)的公共点的个数可能为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10.记等差数列{ }的前 项和为 ，数列{
}的前 项和为 .已知当且仅当 = 7时， 取得最大值，则( )
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A. 若 6 < 8，则当且仅当 = 14时， 取得最大值
B. 若 6 > 8，则当且仅当 = 15时， 取得最大值
C. 若 6 = 8，则当 = 13或14时， 取得最大值
D. 若 ∈ ， = 0，则当 = 13或14时， 取得最大值
11.已知 是抛物线 ： 2 = 4 的焦点， ， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则( )
A. 若 的纵坐标为2，则| | = 3
B. 若直线 过点 ，则| |的最小值为4
C. 若 = 4，则直线 恒过定点(2,0)
D. 若 ′垂直 的准线于点 ′，且| ′| = 2| |，则四边形 ′的周长为3 + √ 5
12.在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1，点 满足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，
则( )
A. 当 = 1时， 1 的周长为定值
B. 当 = 1时，三棱锥 1 的体积为定值
1
C. 当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥ 2
1
D. 当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥平面 1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.数列{ }满足 +1 = 2 + 1，若 3 = 1，则 1 = ．
14.已知圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 4，试写出一个半径为1，且与 轴和圆 都相切的圆的标准方程： ．
15.如图，正方体 1 1 1 1的棱长是4， 是 1上的动点， 、 是上、下两底面上的动点， 是 中
点， = 2，则 1 + 的最小值是 ．
16.已知圆 ：( + 6)2 + ( 7)2 = 49和点 (0, 4)， (0,2)，若点 在圆 上，且| |2 + | |2 = 2，
则实数 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题12分)
已知数列{ }是首项为2，各项均为正数的等比数列，且 4是6 2和 3的等差中项．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)若数列{ }满足 = ，求{ }的前2024项和 ． 2
2024
2 +1
18.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的准线为 ，点 在 上，且点 到直线 的距离与其到 轴的距离都等于2．
(1)求 的方程；
(2)设 为抛物线 的焦点，过 (2,0)的直线与 交于 , 两点，若 的面积为3，求直线 的斜率．
19.(本小题12分)
已知圆 2 2 2 21: ( + 1) + = 1，圆 2: ( 1) + = 9，若动圆 与圆 1外切，且与圆 2内切，记动圆圆心 的
轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过 2的直线 与 交于 ， 两点，且 2 = 2 2 ，求直线 的方程．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，若在曲线 1的方程 ( , ) = 0中，以( , )( > 0且 ≠ 1)代替( , )得到曲线 2
的方程 ( , ) = 0，则称 2是由曲线 1通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线， 称为伸缩比．
(1)若不过原点的直线 1通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是 2，证明： 2是与 1平行的直线;
1 2 2
(2)已知伸缩比 = 时，曲线 1通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是 2 2: = 1，且 与 轴有 ，16 4 1
两个交点( 在 的左侧)，过点(4,0)且斜率为 的直线 与 1在 轴的右侧有 ， 两个交点．
①求 的取值范围;
②若直线 ， ， 的斜率分别为 1， 2， 3，证明： 2( 1 3)为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
3
13.【答案】 或0.6
5
14.【答案】( 1)2 + ( 1)2 = 1
15.【答案】4√ 6 1
16.【答案】 2√ 149
17.【答案】解：(1)设数列{ 1 }的公比为 > 0，则 = 2 ，
因为 4是6 2和 3的等差中项，所以2 4 = 6 2 + 3，
即2 × 2 3 = 6 × 2 + 2 2，
3
解得 = 2或 = (舍去)或 = 0(舍去)，
2
所以 = 2 × 2 1 = 2
;
(2)由(1)知 = 2 ，
1 1 1 1
∴ = = = ，
22
+1 ( +1) +1
22
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = (1 ) + ( ) + ( ) + + ( ) = 1 = ， 2 2 3 3 4 +1 +1 +1
2024
∴ 2024 = ， 2025
2024
故{ }的前2024项和 2024 = ． 2025
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18.【答案】解：(1)

由题意可知，准线 的方程为 = ，
2

由点 到直线 的距离与其到 轴的距离都等于2可知， (2 ,±2)，
2

因为点 在 上，所以2 (2 ) = (±2)2，
2
整理得， 2 4 + 4 = 0，解得 = 2，
故 的方程为 2 = 4 ．
(2)
由(1)可知， (1,0)，则| | = 1，
由题意可知，直线 的斜率不为0，设其方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 = 4
由{ ，消去 整理得 2 4 8 = 0，
= + 2
则 = 16 2 + 32 > 0，可得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 8，
所以| 1 2| = √ ( 2 21 + 2) 4 1 2 = 4√ + 2，
1
又因为 的面积为3，则 | | × | 1 2| = 3， 2
1
即 × 1 × 4√ 2
1
+ 2 = 3，解得 = ± ，
2 2
故直线 的斜率为±2．
19.【答案】解：(1)设动圆的半径为 ，
由题意| 1| = + 1，| 2| = 3 ，
∴ | 1| + | 2| = + 1 + 3 = 4，
又| 1 2| = 2 < 4，
故 的轨迹为椭圆(去掉左端点)，
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∴ 2 = 4 = 2，
∴ 2 = 2 = 1，
2 = 2 2 = 3，
2 2
故 C 的轨迹方程为： + = 1( ≠ 2)；
4 3
(2)由题意知直线 的斜率存在且不为0，
= + 1
设为 = + 1( ≠ 0)联立{
3 2
，
+ 4 2 12 = 0
得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
6 9
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4
由 2 = 2 2 ，得 1 = 2 2，
2
结合上式解得 = ± ，
√ 5
√ 5
所以直线 的方程为 = ± ( 1)．
2
20.【答案】解：(1)证明：设不过原点的直线 1的方程是 + + = 0( , , 都是常数，且 ， 不同时为
0， ≠ 0)，

则曲线 2的方程是 ( ) + ( ) + = 0( > 0，且 ≠ 1)，即 + + = 0，

因为 ， ， ， 都是常数，且 ， 不同时为0， ≠ 0， ≠ ，所以曲线
2
是一条直线，且与直线 1平行；
1 2 2
(2) ①解：伸缩比 = 时，曲线 1通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是

2: = 1， 2 16 4
2 2
所以曲线 的方程是(2 ) (2 )
2
1 = 1，即 2 = 1，
16 4 4
1与 轴的两个交点 ， 的坐标分别是( 2,0)，(2,0)，因为直线 过点(4,0)，斜率为 ，
所以直线 的方程为 = ( 4)，代入 2 4 2 = 4，消去 并整理得(4 2 1) 2 32 2 + 64 2 + 4 = 0，
设 ( 2 2 2 2 2 21, 1)， ( 2, 2)，则1 4 ≠ 0， = ( 32 ) 4(4 1)(64 + 4) = 16(12 + 1) > 0，
2 2
32 ， 64 +4 1 + 2 = 2 1 2 = ， 2
4 1 4 1
2 2
因为 与 1在 轴的右侧有两个交点，所以
32 64 +4
1 + 2 = > 0，且 1 2 = > 0， 2 2
4 1 4 1
1 1 1 1
解得 < 或 > ，所以 的取值范围是( ∞, ) ∪ ( ,+∞)；
2 2 2 2
1 1
②证明：由 ①知 < 或 > ，所以 ≠ 0，
2 2
21 2 ( 1 4)( 2 4)
2 1 4
2
2 ( 1 + 2) + 16
2
2 3 = = = 1 2 2 2 1 2 2( 1 + 2) + 4 1 2 2( 1 + 2) + 4
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2
12 3
= ， 2 =
16 4
2
1
2 1 1 1
= 1 = 1 = 4 = ， 1 2 1+2 2 21 1 4
2
1 4 4
1 3
所以， 2( 1 3) = 1 2 2 3 = ( ) = 1为定值． 4 4
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