陕西省西安市长安一中2024-2025学年高二上学期第二次质检数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省西安市长安一中 2024-2025 学年高二上学期第二次质检数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | < 2}， = { | = 2 1}，则 ∩ =( )
A. ( ∞, 3) B. [2,3) C. ( ∞, 2) D. ( 1,2)
2.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如
图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数
是( )
A. 32 B. 40 C. 48 D. 56
3.已知非零向量 、 满足| | = | | = | |，则 + 与 的夹角的余弦值是( )
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
4.函数 ( ) = 2 + 2 ( ∈ )的最小值是( )
3 1
A. 3 B. C. 1 D.
2 2
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (3,0)，过点 的直线交椭圆 于 、 两点.若 的中点坐
标为(1, 1)，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
45 36 36 27 27 18 18 9

6.将函数 ( ) = (其中 > 0)的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于直线 = 对称，则 的最
4
小值是( )
1 5 2
A. B. 2 C. D.
3 3 3
2 2
7.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别是 1， 2，在其渐近线上存在一点 ，满足|| | 1
| 2|| = 2 ，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. (1, √ 2) B. (√ 2, 2) C. (√ 2, √ 3) D. (2,3)
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8.如图所示，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 是以 为
斜边的等腰直角三角形， ⊥ ， = 2 = 4，则该三棱锥的外接球
的表面积为( )
A. 32
B. 40
40√ 10
C.
3
64√ 2
D.
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3 +39
9.已知两个等差数列{ }和{ }的前 项和分别为 和 ，且
= ，则使得 为整数的正整数 的取值
+3
为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 14
10.意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为
是最美的数列，斐波那契数列{ }满足： 1 = 1， 2 = 1， =

1 + 2( ≥ 3, ∈ ).若将数列的每
一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线
与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，则下列结论正确的是( )
A. 2 +1 = +1 + +1 B. 1 + 2 + 3 + + = +2 1
C. 1 + 3 + 5 + + 2 1 = 2 1 D. 4( 1) = 2 +1
11.在数学史上，把平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为( )卡西尼卵形线.在
平面直角坐标系 中，动点 ( , )到两个定点 1( 1,0)， 2(1,0)的距离之积等于3，化简得曲线 的方程
为： 2 + 2 + 1 = √ 4 2 + 9，则下列结论正确的是( )
A. 曲线 关于 轴对称 B. △ 1 2面积的最大值为2
C. | 1| + | 2|的最小值为2√ 3 D. | |的取值范围为[√ 2, 2]
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的各项均为正数，若log3 1 + log3 2 + + log3 12 = 12，则 6 7等于______．
13.若关于 的方程 2 + = 0和 2
1
+ = 0( ≠ )的四个根组成首项为 的等差数列，则 + 的值
4
是______．

14.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 ( , 0)，过点 的直线与此抛物线交于 、 两点，若
2
| | = 12，且tan∠ = 2√ 2，则 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

设 ( ) = sin cos cos2( + )．
4
(1)求函数 ( )的单调区间；

(2)在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ( ) = 0， = 1，求△ 面积的最大值．
2
16.(本小题15分)
记 为等差数列{ }的前 项和，已知 2 = 11， 10 = 40．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{| |}的前 项和 ．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是矩形， ⊥ ， = 1 = 2， = 3，∠ 1 = 120°，
， 分别为棱 1 1， 的中点， 为线段 的中点．
(1)证明： 1 //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
18.(本小题17分)
已知数列{ }和{ }满足

1 2 3 … = (√ 2) ( ∈
).若{ }为等比数列，且 1 = 2， 3 = 6 + 2．
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(Ⅰ)求 和 ；
1 1
(Ⅱ)设 = ( ∈ )，记数列{ }的前 项和为 ．
( )求 ；
( )求正整数 ，使得对任意 ∈ 均有 ≥ ．
19.(本小题17分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1，离心率为 ，过 1的直线与椭圆交于 ， 两点，当 ⊥ 2
轴时，| | = 3．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设经过点 (0, 1)的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴交于点 ，
求△ 面积的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】9
31
13.【答案】
72
14.【答案】3

1 1+cos(2 + )
15.【答案】解：(1)由题意可知， ( ) = 2 2
2 2
1 1 2
= 2
2 2
1
= 2 ，
2

由2 ≤ 2 ≤ 2 + ， ∈ ，
2 2

得 ≤ ≤ + ， ∈ ，
4 4
3
由2 + ≤ 2 ≤ 2 + ， ∈ ，
2 2
3
得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
4 4

所以 ( )的单调递增区间是[ , + ]( ∈ )，
4 4
3
单调递减区间是[ + , + ]( ∈ )；
4 4
1
(2)由 ( ) = = 0，
2 2
1
可得 = ，
2
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由题意知 为锐角，
√ 3
所以 = ，
2
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得1 + √ 3 = 2 + 2 ≥ 2 ，
即 ≤ 2 + √ 3，当且仅当 = 时等号成立．
1 2+√ 3
因此 = ≤ ，
2 4
2+√ 3
所以△ 面积的最大值为 ．
4
16.【答案】解：(1)在等差数列中，∵ 2 = 11， 10 = 40．
1 + = 11 1 + = 11
∴ { 10×9 ，即{ 9 ，
10 1 + = 40 1 + = 42 2
得 1 = 13， = 2，
则 = 13 2( 1) = 2 + 15( ∈
).
2 + 15, 1 ≤ ≤ 7
(2)| | = | 2 + 15| = { ， 2 15, ≥ 8
即1 ≤ ≤ 7时，| | = ，
当 ≥ 8时，| | = ，
( 1)
当1 ≤ ≤ 7时，数列{| |}的前 项和 = 1 + + = 13 + × ( 2) =
2 + 14 ，
2
( 1)
当 ≥ 8时，数列{| |}的前 项和 = 1 + + 7 = + 2( 1 + + 7) = [13 + ×2
13+1
( 2)] + 2 × × 7 = 2 14 + 98．
2
17【. 答案】解：(1)证明：连接 1 交 于 ，连接 ，由题意，四边形 1 1是平行四边形，所以 = 1 1，
1 1 1
因为 为 1 1的中点，∴ 1 = ，∴△ 1 ∽△ ，且相似比为 ，∴ 1 = ， 2 2 2
1
又 ， 分别为棱 ， 的中点，∴ = ，∴ // 1 ，又 平面 ， 1 平面 ， 2
∴ 1 //平面 ，
(2)连接 1，∵，∠ 1 = 120°， = 1 = 2，∴ 1 ⊥ 1， 1 = 2， 1 = 2√ 3，
建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (0,1,0)， ， √ 3 1 ， √ 3 1 3 ( √ 3, 0,0) ( , , 0) ( , , )，
2 2 2 2 2
则 √ 3 3 3√ 3 1
3
= ( , , 0)， = ( , , 0)， = ( √ 3, 1, )，
2 2 2 2 2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
√ 3 3
= = 0
则{ 2 2 ，令 = 3√ 3，则 = 3， = 4，

3
= √ 3 + + = 0
2
∴平面 的一个法向量为 = (3√ 3, 3,4)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
3√ 3 1 = = 0
则{ 2 2 ，令 = √ 3，则 = 9， = 4，

3
= √ 3 + + = 0
2
∴平面 的一个法向量为 = (√ 3, 9, 4)，
9+27 16 √ 13
∴ cos < ， >= = = ，
| | | | 2√ 13×10 13
因为二面角 的平面角为锐角，
∴二面角 的余弦值为√ 13．
13
18.【答案】解：(Ⅰ) ∵ … 1 2 3 = (√ 2) ( ∈ ) ①，
当 ≥ 2， ∈ 时， 1 2 3 1 = (√ 2)
1 ②，
…
由①②知： = (√ 2) 1 ，
令 = 3，则有 3 = (√ 2)
3 2，
∵ 3 = 6 + 2，
∴ 3 = 8．
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∵ { }为等比数列，且 1 = 2，

设{ }的公比为 ，则
2 = 3 = 4，
1
由题意知 >0，
∴ > 0，∴ = 2．
∴ = 2 ( ∈
).
又由 1 2 3 … = (√ 2) ( ∈ )得：
21 × 22 × 23 … × 2 = (√ 2) ，
( +1)
2 2 = (√ 2) ，
∴ = ( + 1)( ∈ ).
1 1
(Ⅱ)( ) ∵ =
1 1 1 1 1
= = ( )．
2 ( +1) 2 +1
∴ = 1 + 2 + 3+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( ) + ( ) + + ( ) 2 1 2 22 2 3 2 + 1
1 1 1 1
= + + + (1 ) 2 22 2 + 1
1 1
= 1 1 + 2 + 1
1 1
=
+1 2
；
( )因为 1 = 0， 2 > 0， 3 > 0， 4 > 0，
当 ≥ 5时，
1 ( +1)
= [ 1]， ( +1) 2
( +1) ( +1)( +2) ( +1)( 2)
而 +1 = +1 > 0， 2 2 2
( +1) 5 (5+1)
得 ≤ 5 < 1， 2 2
所以，当 ≥ 5时， < 0，
综上，对任意 ∈ ，恒有 4 ≥ ，故 = 4．
1 √ 3
19.【答案】解：(1)由题意可知： = = ，可得 = ．
2 2
又左焦点 1( , 0)，当 ⊥ 轴时，
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4 2
2 2 2
将 = 代入椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)得
2 = . ∴ | | = = 3．
2
√ 3
= ,
2 = 2,
由{ 2 解得{
2 = 3.
= 3, √

2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1 (5分)
4 3
(2)由题意可知，直线 斜率必存在且不为0，设直线 的方程为 = 1( ≠ 0)．
= 1,
设 ( 1, 1)， ( 2, )，由{ 2 2 得(4
2 + 3) 22 8 8 = 0．
+ = 1,
4 3
8 8
= ( 8 )2 4( 8)(4 2 + 3) = 192 2 + 96 > 0， 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +3 4 +3

∵ 关于 轴的对称点为 ， ( 1, 1)，∴直线 的方程为 =
2 1
1 ( + 1)． 2+ 1
1 2+ 2 1 1( 2 1)+ 2( 1 1) 2 令 = 0，得 = = = 1 2 1 = 3，
1+ 2 1+ 2 1+ 2
∴ (0, 3) (8分)
2 2
1 √ 192 +96 4√ 3√ 4 +2
∴△ 的面积 = | || 1 2| = | 1 2| = √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = 2 = 2 ， 2 4 +3 4 +3
2 4√ 3 4√ 3令 = √ 4 + 2，则 ∈ (√ 2, +∞)，∴ =
2
= ，
+1 1 +

1 3√ 2 4√ 6
∵ + ∈ ( , +∞)， ∈ (0, )，
2 3
4√ 6
∴△ 面积的取值范围(0, ) . (12分)
3
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