江西省南昌市第十中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

江西省南昌市第十中学 2024-2025 学年高一上学期第二次月考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ > 0， 2 3 2 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 3 2 ≤ 0 B. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
C. > 0， 2 3 2 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 3 2 ≤ 0
1
2.若 = 13， = 32， = log32，则下列结论正确的是( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
3.已知集合 = { | = ln(1 )}， = { | = 1 }，则 ∩ =( )
A. ( ∞, 1) B. (0,1) C. (1, +∞) D.
4.若 ， 为实数，且 + 2 = 6，则3 + 9 的最小值为( )
A. 18 B. 27 C. 54 D. 90
5.某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽
取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依
次统一编号为1，2，…，270.如果抽到的号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
则不可能为分层抽样的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6.已知函数 ( ) = 3 + 1在(0,1)内有一个零点，且求得 ( )的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
( ) 1 1 0.375 0.1719 0.1309 0.2595 0.01245 0.06113 0.02483
若用二分法求 ( )零点的近似值(精确度为0.1)，则对区间(0,1)等分的最少次数和 ( )零点的一个近似值分
别为( )
A. 4，0.7 B. 5，0.7 C. 4，0.65 D. 5，0.65
7.已知函数 ( ) = 3 3 ，则 ( 2 2) + ( ) < 0的解集为( )
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A. ( 2,1) B. ( ∞, 2) ∪ (1, +∞)
C. ( 1,2) D. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞)
8.设 { , }表示实数 ， 中的最小值，若函数 ( ) = {2 2 + 4 + 2,2 }，函数 ( ) = [ ( )]2
( ) + 1有六个不同的零点，则 的取值范围是( )
5
A. (0,2) B. (2, ) C. (2,4) D. (2, +∞)
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列正确的有( )
A. 为调查全市人口寿命，随机抽查了500名居民，则样本是500名居民
1
B. ( ) = 2 的零点是( 1,0)
2
C. 函数 ( ) = 1 + log (2 3)( > 0, ≠ 1)恒过定点(2,1)
( +1)
D. 若 ( )的定义域为(2,4)，则 的定义域为(2,3)
√ ln( 1)
2
10.关于函数 ( ) = 3( + 1)，下列说法正确的有( ) 1
A. (2) = 1 B. ( )的函数图象关于 轴对称
C. ( )的函数图象关于原点对称 D. ( )在定义域上单调递减
11.已知定义在( ∞, 0) ∪ (0, +∞)上的函数 ( )，满足 ( ) + 2 = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) > 2，
则( )
A. ( 1) = 1 B. ( )为偶函数
C. (2025) > (2024) D. 若 ( + 2) < 2，则 3 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在新冠病毒防疫期间，市场监管局为监管某工厂的口罩生产质量，随机调取这个工厂生产的600个口罩，
利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，再从中抽
取60个样本.以下是随机数表的其中三行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 54 36 34 8 53 59 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 2
若从表中这三行中的第3行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号为______．
13. ( ) = 1( 2 + + )的定义域为( 3,1)，则 ( )的单调递增区间为______．
2
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( ) ( )
14.已知函数 = ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数，对任意的 1 21， 2，当2 ≤ 1 < 2时， > 0， 1 2
则关于 的不等式 (4 + 2) < (2 4)的解集为______. (用区间表示)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)2 23 + log20.25 + ( 5)
2 + 2 50 + log29 log32；
(2)已知log157 = ，15
= 3，用 ， 表示log3563．
16.(本小题15分)
+ 1, ≤ 0
已知函数 ( ) = {
2
．
, > 0
(Ⅰ)求 ( ( 2))的值；
(Ⅱ)画出函数 = ( )的图象，根据图象写出函数 = ( )的单调区间；
(Ⅲ)若 ( ) ≤ 2，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = log 9(9 + 1) + ( ∈ )是偶函数，其中 为实数．
(1)求 的值；
(2)若函数 ( ) = 9 ( ) 3 2 3 + 1(0 ≤ ≤ 2)的最小值为0，求实数 的值．
18.(本小题17分)
某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发
现：该工艺品在过去一个月(以30天计)，每件的销售价格 ( )(单位：元)与时间第 天的函数关系近似满足

( ) = 10 + ，( > 0)，日销售量 ( )(单位：件)与时间第 天的部分数据如下表所示：

10 15 20 25 30
( ) 50 55 60 55 50
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求 的值；

(2)给出以下三个函数模型：① ( ) = + ；② ( ) = ；③ ( ) = | | + .根据上表中的数据，

从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 ( )与时间第 天的变化关系，并求
出该函数解析式及定义域；
(3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 ( )(单位：元)，求 ( )的最小值．
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19.(本小题17分)
设 ∈ ，对一般的函数 ( )，定义集合{ | ( ) = }所含元素个数为 ( )的“ 等值点数”，记为 ( ).现
已知函数 ( ) = + √ | |， ( ) = 2 ，常数 ∈ ．
(1)求 ( )的最大值；
(2)对函数 ( )，当 ∈ [1,4]时， ( 2) = 1，求 的取值范围；
(3)设函数 ( ) = ( ( ))， ∈ [1,4]，若 ( )的最大值为3，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】348
13.【答案】( 1,1)
14.【答案】( ∞, 1)
15.【答案】解：(1)2 23 + log20.25 + ( 5)
2 + 2 50 + log29 log32
2 3 2
= 3 2 + ( 5)2 + (1 5)(1 + 5) + ×
2 3
= 3 2 + ( 5)2 + 1 ( 5)2 + 2
= 4；
(2)因为log 157 = ，15 = 3，即log153 = ，
所以log155 = 1 log153 = 1 ，
63 7+ 9 +2
log 15 15 153563 = = = ． 1535 155+ 157 1 +
+ 1, ≤ 0
16.【答案】解：函数 ( ) = { ， 2 , > 0
(Ⅰ) ( 2) = ( 2) + 1 = 3，
( ( 2)) = (3) = 23 = 8．
+ 1, ≤ 0
(Ⅱ) ( ) = {
2
，
, > 0
所以 ( )的图象如图所示：
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由图可知， ( )的减区间为( ∞, 0)，
增区间为(0, +∞)；
≤ 0 > 0
(Ⅲ) { = 1, { = 1， + 1 = 2 2 = 2
由图象可知，满足 ( ) ≤ 2的 的取值范围是[ 1,1]．
17.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = log9(9
+ 1) + ( ∈ )是偶函数，
则有 ( ) = ( )，即log9(9
+ 1) + = log9(9
+ 1) ，
1
变形可得2 = log (9 9 + 1) log9(9
+ 1) = ，则有 = ，
2
1
故 = ；
2
1
(2)根据题意，由(1)的结论， ( ) = log9(9
+ 1) = log (3 + 3
2 9
)，
则 ( ) = 9 ( ) 3 2 3 + 1 = 32 2 3 + 2，
令 = 3 ，又由0 ≤ ≤ 2，则1 ≤ ≤ 9，
设 ( ) = 2 2 + 2，其对称轴为 = ，
分3种情况讨论：
当 ≥ 9时， ( ) = 2 2 + 2在区间[1,9]上递减，
83
若 ( )的最小值为0，则有 (9) = 83 18 = 0，解可得 = ，不满足 ≥ 9，不符合题意；
18
当1 < < 9时，
若 ( )的最小值为0，则有 ( ) = 2 + 2 = 0，解可得 = ±√ 2，
又由1 < < 9，则 = √ 2，
当 ≤ 1时， ( ) = 2 2 + 2在区间[1,9]上递增，
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3
若 ( )的最小值为0，则有 (1) = 3 2 = 0，解可得 = ，不满足 ≤ 1，不符合题意；
2
综合可得： = √ 2．

18.【答案】解：(1)由题意可得50 × (10) = 50 × (10 + ) = 505，可得 = 1；
10
(2)由表格数据知：日销售量随时间 先增后减，显然①②不符合，
所以选③ ( ) = | | + ，
|15 | + = 55 = 1
则{ |20 | + = 60，可得{ = 60 ，
|25 | + = 55 = 20
即 ( ) = | 20| + 60，
综上 ( ) = | 20| + 60，定义域为{ ∈ |1 ≤ ≤ 30}；
1
1 ( + 40)(10 + ),1 ≤ ≤ 20
(3)由题意 ( ) = ( ) ( ) = (60 | 20|)(10 + ) = { ，
1(80 )(10 + ),20 < ≤ 30

40
401 + 10 + , 1 ≤ ≤ 20
所以 ( ) = { ，
80
799 10 + , 20 < ≤ 30

40 40
当0 < ≤ 20， ( ) = 401 + 10 + ≥ 401 + 2√ 10 = 441，

40
当且仅当10 = ，即 = 2时取等号，此时最小值为441元；

80
当20 < ≤ 30， ( ) = 799 10 + 在(20,30]上单调递减，

8 2
此时最小值为 (30) = 799 300 + = 501 元，
3 3
综上 ( )的最小值441元．
19.【答案】解：(1)当 ≥ 0时， ( )单调递增，此时 ( ) ∈ [0, +∞)；
当 < 0时， ( ) = + √ ，
设 = √ ，
则 = ( ) = 2 + ，
1
在 ≥ 时， = 2 + 单调递减，
2
1
在0 < < 时， = 2 + 单调递增，
2
1 1
故当 ∈ ( ∞, ]时， ( )单调递增， ( ) ∈ ( , ]；
4 4
1 1
当 ∈ ( , 0)时， ( )单调递减， ( ) ∈ (0, )，
4 4
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因此 ( ) = 关于 的根的分布如下：
1
①当 > 时，恰有一个根 > 0；
4 1
1 1
②当 = 时，恰有两根 1 > 0， 2 = ； 4 4
1 1 1
③当0 < < 时，恰有3个根 1 > 0， 2 ∈ ( , 0)， 3 ∈ ( 1, )； 4 4 4
④当 = 0时，恰有2个根 1 = 0， 2 = 1；
⑤当 < 0时，恰有1个根 0 < 1；
1
故当 ∈ (0, )时，
4
( )取到最大值3；
(2)由题意可得当 ∈ [1,4]时， 2 = 2有1个解，
2
参变分离得： = + ，

2
由函数 = + 的图象，

9
可得： ∈ (3, ] ∪ {2√ 2}；
2
( ) =
(3)设 = ( )，则 ( ( )) = { ，其中 ( ) = 的根的分布同(1)，
( ) =
接下来解方程 ( ) = ，
又因为
2
(1) = 1 , (4) = 16 4 , ( ) = ，
2 4
①当 ≤ 0时， ( )在[1,4]上单调递增，且 ( ) ≥ (1) = 1 ≥ 1，
故 E ( ) ≤ 1，不符合题意；
②当 ≥ 8时， ( )在[1,4]上单调递减，且 ( ) ≤ (1) = 1 ≤ 7，
故 E ( ) ≤ 1，不符合题意；
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③当4 ≤ < 8时，1 < < 4 ≤ ， 2

( )在[1, ]上单调递减，( , 4]上单调递增，
2 2
(1) = 1 < 3， (4) = 16 4 ≤ 0，
故 E ( ) ≤ 2，不符合题意；

④当2 ≤ < 4时， ( )在1 ≤ ≤ 时单调递减，在( , 4]上单调递增， 2 2
且 (1) = 1 ∈ ( 3, 1]， (4) = 16 4 ∈ (0,8]，
1
此时取0 < < {16 4 + √ 16 4 , }，
4
则 ( ) = 的三个根 1， 2， 3恰一一对应 = ( )的三个根，且没有其他根，
故此时 ( ) = 3，
而对 的其它取值， ( ) < 3，
故 E ( )的最大值为3；
⑤当0 < < 2时， ( )在[1,4]上单调递增，
(1) = 1 ∈ ( 1,1)， (4) = 16 4 ∈ (8,16)，
1
故只需保证当 ∈ (0, )时， ( ) = 的三个根落在 ( )的值域中，
4
1
即 (1) < ，
4
5
解得： < < 2，符合题意；
4
5
综上所述，当且仅当 ∈ ( , 4)时， ( )的最大值为3． 4
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