广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省部分名校 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.已知 = 3 为双曲线 ： = 1的一条渐近线，则 =( )
3
1 1
A. B. 1 C. D. 27
3 9
2.在等差数列{ }中，若 1 + 6 + 11 = 18，则 6 =( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 3
3.圆 ：( + 2)2 + 2 = 4和圆 ：( 1)2 + ( 4)2 = 49的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
1 2
4.在数列{ }中，若 1 = , +1 = 2 ，则下列数不是{ }中的项的是( ) 2
4
A. 1 B. 2 C. 3 D.
3
5.若直线 的一个方向向量为 = (1, 1, 1)，平面 的一个法向量为 = (1,2, 1)，则( )
A. // B. C. ⊥ D. // 或
6.如图1，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源，
通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、
工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面， ， 两点关于抛物线的对称轴对称， 是抛物线的焦点，∠ 是馈
2
源的方向角，记为 ，若 = 4, = ，则 到该抛物线顶点的距离为( )
3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

7.在三棱锥 中，∠ = ,∠ = ∠ = ，且 = = = 1，若 满足 = + 2 ，则
3 2
到 的距离为( )
√ 7 3 √ 11 √ 14
A. B. C. D.
2 2 2 2
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2 2
8.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2.过 2的直线交双曲线 右支于 ， 两
点，且| 2| = 3| 2 |，| | = | 1|，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. √ 2 D. √ 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列直线与直线 ：2 + + 1 = 0平行，且与它的距离为√ 5的是( )
A. 2 + 6 = 0 B. 2 + + 6 = 0 C. 2 + 4 = 0 D. 2 4 = 0
10.已知直线 ： = ( + 2)，双曲线 ： 2 2 = 1，则( )
A. 当 = 1时， 与 只有一个交点 B. 当 = 1时， 与 只有一个交点
1
C. 当 = 时， 与 的左支有两个交点 D. 当 = 2时， 与 的左支有两个交点
2
5 10
11.已知数列{ }为等比数列，设{ }的前 项和为 ，{ }的前 项积为 ，若 1 + 3 = ， 9 2 + 4 = ，9
则( )
2 1
A. = B. { + 1}为等比数列 9
C. 9 > 1 D. 当 = 4时， 取得最小值
12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《
垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 折成了直二面
角(其中 对应钟上数字3， 对应钟上数字9).设 的中点为 ，| | = 4√ 3，已知长度为2的时针 指向
了钟上数字8，长度为3的分针 指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针 (安装完秒针后，
不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细)，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则 ⊥
B. 若秒针 指向了钟上数字5，如图2，则 //平面
√ 14
C. 若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则 与 所成角的余弦值为
7
103
D. 若秒针 指向了钟上数字4，如图3，则四面体 的外接球的表面积为
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 = (3, , )( , ∈ )与 = (1,2,3)共线，则 + = ______．
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14.写出与圆 2 + 2 = 1相切，且在 轴和 轴上的截距相等的一条直线的方程：______．
15.在原点 处发射一束激光，经过直线 ： + 4 = 0反射后撞击 处的一个中子.已知 的坐标为(3,0)，
光束射到 的位置为点 ，则 的坐标为______．
16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数
字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设 是第 行数字1的个
数， 是第 行数字2的个数，则 6 + 7 = ______， 2 + 2 +1 =
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知{ }为等差数列，{ }是等比数列，且 1 = 1 = 1， 3 = 2， 2 = 2 + 1．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)若 = + ，求 1 + 2 + + 的值．
18.(本小题12分)
已知圆 经过点 (0,4)， (2,6)，且圆心 在直线 = + 2上．
(1)求线段 的垂直平分线的方程及圆 的标准方程；
(2)若直线 ： = 0与圆 相交于 ， 两点，圆 与 轴相切于点 ，求△ 的面积．
19.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 0, 6)是 上的点，且| | = 15．
(1)求 的方程；
(2)已知直线 交 于 ， 两点，且 的中点为(2, 11)，求 的方程．
20.(本小题12分)
如图，长方体 1 1 1 1的底面 为正方形， 1 = 2 ， 为 1上一点．
(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)若 1 ⊥平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
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21.(本小题12分)
1
记 为数列{ }的前 项和，已知

1 = 1, { }是公差为 的等差数列． 2
(1)求{ }的通项公式；
(2)记 为{ }在区间(2 , 2 +1 ]( ∈
)中的项的个数，求数列{ }的前 项和 ．
22.(本小题12分)
1
动点 ( , )与定点 ( 1,0)的距离和它到直线： = 4的距离的比是常数 ，点 的轨迹为 ．
2
(1)求 的方程，并说明 是什么曲线；
√ 2+ 2
(2)若过 的直线 与 交于 ， 两点，点 是 上一点，| |的最大值为 ，最小值为 ，且| |, , | |
2
成等比数列，求 的方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】15
14.【答案】 + + √ 2 = 0(或 + √ 2 = 0)
16 4
15.【答案】( , )
5 5
16.【答案】16 2 +1
17.【答案】解：(1)设数列{ }的公差为 ，数列{ }的公比为 ，
因为 3 = 2， 2 = 2 + 1，所以 3 = 2 + 1，即 = 1，
所以 = 1 + ( 1) = ，

所以 22 = 3 = 3，则 = = 3， 1
所以 = 3 1 ．
(2) 1 + 2 + + = ( 1 + 2 + + ) + ( 1 + 2 + + )
= (1 + 2 + 3+. . . + ) + (1 + 3 + 9+. . . +3 1)
(1+ ) 1 3 3 + 2+ 1
= + = ．
2 1 3 2
6 4
18.【答案】解：(1)设线段 的垂直平分线的斜率为 ，则线段 的中点为(1,5), = = 1， 2 0
所以 = 1，则 = 1，所以线段 的垂直平分线的方程为 = + 6．
= + 6 = 2
由{ ，解得{ ，得圆心 (2,4)，所以 = | | = √ (2 0)2 + (4 4)2 = 2，
= + 2 = 4
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所以圆 的标准方程为( 2)2 + ( 4)2 = 4．
|2 4|
(2)圆心 到直线 的距离 = = √ 2，
√ 2
则| | = 2√ 4 2 = 2√ 2．
因为圆 与 轴相切于点 ，所以 (0,4)，
4
又 到直线 的距离为 = 2√ 2，
√ 2
1
所以△ 的面积为 × 2√ 2 × 2√ 2 = 4．
2
19.【答案】解：(1)因为 ( 0, 6)是抛物线 上的点，且| | = 15，

所以| | = 6 + = 15，
2
解得 = 18，
则抛物线 的方程为 2 = 36 ；
(2)易知直线 的斜率存在，
不妨设直线 的斜率为 ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为 ， 两点都在抛物线 上，
2 = 36
所以{ 1 1
2
，
2 = 36 2
两式相减得 21
2
2 = 36( 1 2)，
1 2 1+ 即 = 2，
1 2 36
因为 的中点为(2, 11)，

所以 = 1
2 4 1= = ，
1 2 36 9
1
所以直线 的方程为 + 11 = ( 2)，
9
即 + 9 + 97 = 0．
20.【答案】(1)证明：由题可知， 1 ⊥平面 ，
∴ 1 ⊥ ，连接 ，∵四边形 为正方形，
∴ ⊥ ，又 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ，又 1 平面 1 ，
∴ ⊥ 1 ；
(2)解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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设 = 1， (0,1, )，0 2，
则 (0,0,0), 1(1,0,2), (1,1,0), = (0,1, ), 1 = ( 1,1, 2)，
易知 = (0,0,1)是平面 的一个法向量，
因为 1 ⊥平面 ，所以 1 = 1 + ( 2) = 0，解得 = 1，
所以平面 的一个法向量为 1 = ( 1,1, 1)，
1 √ 3
|cos , 1 | = = ， √ 3 3
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 3．
3

21.【答案】解：(1)因为 11 = 1，故 = 1， 1
1
所以数列{ }是以1为首项， 为公差的等差数列，
2
1 +1 +1
即有 = 1 + ( 1) = ，化为 = ， 2 2 2
+2 +2 +1 +1
则 +1 = +1，两式相减得 +1 = +1 ，即 2 2 2 2 +1
= ，
2
+1 +1 2 3 3 所以 = ，则 =

1 . . . = 1 2 . . . = ， 1 2 1 2 1
因此{ }的通项公式为 = ， ∈ ．
(2)由题可知 +1 = 2 2 = 2
，
则 = × 2 1 2 1 ，所以 = 1 × 2 + 2 × 2 + + ( 1)2 + × 2
，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + + ( 1)2 + × 2 +1 ，
2(1 2 )
两式相减得 1 = 2 + 2
2 + + 2 × 2 +1 = × 2 +1 = 2 +1(1 ) 2，
1 2
所以 = 2 +1 ( 1) + 2．
√ 2 ( +1) + 2 1
22.【答案】解：(1)设点 ( , )，则 = ，
| +4| 2
2 2
化简得3 2 + 4 2 = 12，即 + = 1．
4 3
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故曲线 是焦点在 轴上的椭圆．
√ 2+ 2 √ 10
(2)由题可知 = 3， = 1，所以 = ，
2 2
3 3
当 垂直于 轴时，| | = , | | = ，
2 2
√ 10
此时| |, , | |不成等比数列，故 的斜率存在．
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 的方程为 = ( + 1)，
2 2 2 2
则 1 + 1

= 1, 2 + 2 = 1，
4 3 4 3
3 22 2 √ 2 1 1 1所以| | = √ ( 1 + 1) + 1 = ( 1 + 1) + 3 = 1 + 2, | | = 2 + 2． 4 2 2
= ( + 1),
联立{ 2 2 整理得(4 2 + 3) 2 + 8 2 + 4 2 12 = 0，
+ = 1,
4 3
2 2
8 4 12
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 +3 4 +3
√ 10 5
因为| |, , | |成等比数列，所以| || | = ，
2 2
1 1 5 3
即( 1 2
2 1
+ 2)(
2 2
+ 2) = ，即 + + + = 0，
2 4 1 2 2
√ 6
所以4 2 12 32 2 + 6(4 2 + 3) = 0，解得 = ± ，
2
所以 的方程为√ 6 ± 2 + √ 6 = 0．
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