黟县中学2024-2025学年度高二上学期期中数学测试卷（含解析）

黟县中学2024-2025学年度高二上学期期中数学测试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线，的方向向量为，，平面，的法向量分别为，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
3.直线过圆：的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，则在方向上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若，则的夹角是锐角
B. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 若向量，都是不共线的非零向量则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
10.下列说法正确的是( )
A. 过两点的直线方程为
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 若方程表示圆，则
D. 圆上有且只有三点到直线的距离都等于
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，向量，，，且，，则 ．
13.中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为 ．
14.平面直角坐标系中，已知是：的一条弦，且，是的中点．当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
16.本小题分
（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程．
（2）已知两条直线，若，求的值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
18.本小题7分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若分别为棱上的点，为中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
19.本小题7分
已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过与圆相切的直线方程；
（2）若是轴上的动点，，分别切圆于，两点．试问：直线是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由．
答案详解
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线，的方向向量为，，平面，的法向量分别为，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量、平面的法向量、线面平行的向量表示、线面垂直的向量表示、面面平行的向量表示，属于基础题．
根据题意，由直线方向向量的定义分析，由直线与平面的位置关系分析和，由平面与平面的位置关系分析，综合可得答案．
【解答】
解：对于，若，则，故A错误
对于，若，则，则，故B正确
对于，若，则，故C错误
对于，若，则，故D错误．
故选B．
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
根据空间向量的线性运算解决即可．
【解答】
解：由题知，空间四边形中，，，，且，，
如图，
所以，
所以，
故选：．
3.直线过圆：的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程的性质，考查两条直线垂直的斜率的关系，考查直线的方程的求法，属于基础题．
先求出圆心以及直线的斜率，再用点斜式可得直线方程．
【解答】
解：由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选D．
4.已知向量，，则在方向上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量在向量方向上的投影向量的运算及数量积运算，属基础题．
由向量在向量方向上的投影向量为：，即可得．
【解答】
解：因为向量，，
，，
所以向量在向量方向上的投影向量为：
．
故选A．
5.已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程以及圆的切线方程，直线的点斜式方程，两条直线垂直的判定，属于基础题．
首先求的值，然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程．
【解答】
解：因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得：，
即，所以，
则圆的方程为，
所以此圆的圆心，
根据斜率公式得 ，
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，
已知，所以点处切线的斜率为，
又因为切线过点，
所以切线方程为，
整理得．
故选：．
6.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可得，再利用中点公式可得解．
【解答】
解：由题意知．
显然直线的斜率存在，设，
不妨设直线的方程为．
代入到椭圆方程中，消去，
整理得，
在椭圆内，则恒成立，
，
因为的中点坐标为，
则．
，
即，
所以，即，
又，
解得，，
故椭圆的标准方程为．
故选A．
7.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质和中点弦问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用点差法，结合的中点坐标，以及直线的斜率为，即可求出，，从而可得椭圆的离心率．
【解答】
解：设，，
则 ， ，
的中点坐标为，
，，
直线的方程是，
，
两式相减可得：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案选B．
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查运用空间向量求线段长，考查空间向量在线面平行、线线垂直中的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出的最小值．
【解答】
解：如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，，，
则，，，
，
连结，
正方体中，四边形是正方形，平面，又平面，
，，
又，、平面，
平面，
平面，，
又，，，
，，
设，则，
，，
，，
，，
，
当时，的最小值是．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若，则的夹角是锐角
B. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 若向量，都是不共线的非零向量则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算、空间向量基本定理、直线的方向向量、平面的法向量、直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：对于，，则与的夹角为锐角或，同向共线，故A错误
对于，若，，是空间的一组基底，则，，三点不共线，
且，
由空间向量基本定理得到，，，四点共面，故B正确
对于，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以它们所在直线的夹角为，
则直线与平面所成的角等于，故C错误；
对于，设在基底下的坐标为，
则，
因为在单位正交基底 ， ， 下的坐标为，
所以，解得
则在基底 下的坐标为，故D正确．
故选BD．
10.下列说法正确的是( )
A. 过两点的直线方程为
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 若方程表示圆，则
D. 圆上有且只有三点到直线的距离都等于
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了直线的两点式方程、直线的截距式方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据直线的两点式、截距式、圆的标准方程、点到线的距离等逐一验证每个选项的正误，进而得到正确选项．
【解答】
解：当或时，直线方程不能用 表示，故A错误；
B.过点且在轴和轴上截距都相等，截距为时：直线方程为，截距不为时，设，代入得两种情况，故B错误；
C.方程可化为，若表示圆。则有，解得，故C正确；
D.圆的圆心坐标为，则有圆心到直线的距离为：
，圆的半径为，则可知过圆心与直线平行的直线与圆的交点个交点到直线的距离为，与直线平行的直线且与该圆相切的切线与圆的切点到直线的距离为，
即圆上有且只有三个点到直线的距离都等于，故D正确．
故选CD．
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的向量表示，点面、线面、面面距离的向量求法，直线与直线所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于较难题．
建立空间直角坐标系，运用空间向量依次解决问题．
【解答】
解：直三棱柱 中， ，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
， ， 分别是，的中点，
，，，，，，
设，，
对于， 为平面的一个法向量， ，
则，
不在平面内，
平面 ，故A正确；
对于， 为平面 的一个法向量， ，
设直线与平面 所成角为，
则 ，故B错误；
对于，当 是上的中点时，，，可得， ，设平面的法向量为，
则 ，解得，，设到平面的距离为，
则，故C正确；
对于，设，
则， ，
设直线与直线 所成角为，
则 ，
当 ，即 时， 取最大值，此时直线与直线所成角最小，
， ，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，向量，，，且，，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量模的坐标表示，属于基础题．
首先根据，求得，再根据，求得，从而得，再计算其模．
【解答】
解：因为，所以，解得，则，
因为，所以，解得，则，
所以，
故．
13.中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的方程，属于中档题．
由离心率可得，设椭圆方程为，将直线方程代入椭圆方程，又由于，有，结合韦达定理，可求出，．
【解答】
解：设椭圆方程，
，，
，即．
椭圆方程为．
把直线方程代入化简得．
设、，
则，
由于，．
解得，．
椭圆方程为．
故答案为．
14.平面直角坐标系中，已知是：的一条弦，且，是的中点．当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的关系的应用，属于难题．
依题意，点在以为圆心以为半径的圆上，要使得恒成立，则点所在的圆与以为直径的圆内切或内含于其中，所以的最小值为圆的直径的最小值．
【解答】
解：因为为的中点，所以，又因为，
所以三角形为等腰直角三角形，
所以，即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，
要使得恒成立，则点所在的圆与以为直径的圆内切或内含于其中，
而在直线：上，
到直线：的距离．
所以以为直径的圆的半径的最小值为，
所以的最小值为．
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
【答案】解：，
；
，
．
．
【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加法、减法与数量积运算，属于拔高题目．
确定基底，利用空间向量的加减运算得出即可；
确定基底，利用空间向量的数量积运算得出即可．
16.本小题5分
已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程．
已知两条直线，若，求的值．
【答案】解：因为点 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，且直线经过点 ，
所以直线的方程为 ，即 ．
设直线 的方程为 ，
由点 到直线和直线 的距离相等，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
，又
当 时， ，此时
当 时， ，此时 重合，
．

【解析】本题主要考查的是两直线垂直与平行的判定，直线的点斜式方程，点、直线的对称关系，属于中档题．
根据条件求得，利用直线的垂直关系求得的斜率，利用点斜式方程即可得到的方程，结合中心对称性的性质求对称直线的方程即可．
由两直线平行，即可列出关于的方程，求解即可．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，且短轴长为．
求的方程；
若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程．
【答案】解：由题意可得椭圆中
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，则
两式相减，得，
又根据题意 ，代入可得，
所以的斜率，
故的方程为，即．


【解析】本题主要考查椭圆的中点弦问题，考查椭圆的标准方程，属于中档题．
根据椭圆离心率和的关系求解即可；
设，，利用点差法求解即可
18.本小题7分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若分别为棱上的点，为中点，且．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
【答案】解：因为平面，、平面，所以，
因为是矩形，所以；
故，，两两垂直，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，且，分别为，的中线，
所以，
又因为，，，、平面，
平面，且平面，所以，
又因为，，、平面，
所以平面，平面，即可得，
设点，因为，，三点共线，
所以，，，所以；
所以，所以，
而，所以，所以
同理，设点，因为，，三点共线，所以，
而，，
因为，所以，所以，
而；
所以，所以；
设平面的法向量为，，
所以
设平面的法向量为，
所以
所以，所以所以平面平面；
设平面法向量为，，，
所以；
而，设直线与平面所成角为，
则；
由得，点到平面的距离
．
【解析】本题主要考查了空间向量的基本概念和空间向量以及直线与平面所成的角和面面垂直的判断以及空间中距离的相关概念，属于较难题．
先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，
再设出两平面的法向量，利用空间向量的计算，进而求出答案；
利用空间中直线与平面所成角的相关知识，进而求出答案；
利用空间中的距离相关知识，直接求出答案即可．
19.本小题分
已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为．
求圆的标准方程；
求过与圆相切的直线方程；
若是轴上的动点，，分别切圆于，两点．试问：直线是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由．
【答案】解：圆心到直线的距离为，
设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为；
易知斜率不存在时，直线与圆不相切，
故可设过点的切线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
解得或，
所以过点的切线方程为或；
由题意，则，在以为直径的圆上，
设，则以为直径的圆的方程：，
即，
与圆：联立，
得：，
令，解得
故无论取何值时，直线恒过定点．
【解析】本题主要考查了圆标准方程的求法，圆切线方程的求法，直线与圆位置关系的运用，圆的切线性质以及定点问题，属于中档题．
先求出圆心到直线的距离，再设圆的半径为，由勾股定理得到，即可求出圆的标准方程；
考虑斜率是否存在的情况，设过点的切线方程为，即，再根据圆心到直线的距离为，建立方程解出即可求解；
根据题意，则，在以为直径的圆上，设，表示出以为直径的圆的方程，再与圆联立得到直线的方程，然后确定定点即可．