马鞍山二中2024-2025学年度高一上学期数学期中测试卷（含解析）

马鞍山二中2024-2025学年度高一上学期数学期中测试卷
考试范围：必修一1-3章；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
3.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
4.下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
6.已知不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，且，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 是的充分不必要条件
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知：，，则对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
10.下列说法不正确的是( )
A. 函数的零点是和
B. 正实数满足，则不等式的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 的一个必要不充分条件是
11.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，
D. ，，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数值集合为__________．
13.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_________．
14.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
当时，求和，
若，求实数的取值范围．
16.本小题5分
已知，求函数的最小值；
已知，求的最大值．
17.本小题分
定义在上的奇函数，当时．
求函数在上的表达式；
在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
写出函数的值域和单调区间．
18.本小题分
已知函数，
解关于的不等式的解集
若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知幂函数满足．
求函数的解析式
若函数，，且的最小值为，求实数的值．
若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
答案详解
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题进行求解即可．
【解答】
解：“，”是存在量词命题，
根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得到命题的否定是：，．
故选C．
2.已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查图表达集合的关系及运算，属于基础题．
阴影部分表示，化简集合，然后由补集和交集的定义可求，然后即可求解．
【解答】
解：阴影部分表示，
，
则有，
故阴影部分表示的集合的元素共有个．
故选B．
3.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的运算和包含关系，属于基础题．
化简集合，，对选项逐个判断即可．
【解答】
解：，，
则，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
4.下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
根据常见幂函数知识，不难得到是非奇非偶函数，是奇函数，是偶函数，在上单调递减，画出选项函数的图像，即可求解．
【解答】
解：、不是偶函数，排除、；
在上为减函数，排除．
画出分段函数的图像可得D正确．
故选D．
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为，求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：，解得：，
由解得：，
故函数的定义域是 ．
故选D．
6.已知不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系，属于中档题．
由于不等式 的解集为，可得，是一元二次方程 的实数根，利用根与系数的关系求出，，再求解不等式．
【解答】
解：不等式 的解集为，
，是一元二次方程 的实数根．
，，
，，
由不等式 ，
即，解得 或 ．
的解集为或，
故选：．
7.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知，由对勾函数性质得出其单调性及最值，即可得出值域．
【解答】
解：依题意，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有最小值，因为，
故所求值域为，
故选C．
8.已知实数，，且，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，训练了分离变量法求字母的取值问题，是中档题．
利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可．
【解答】
解：，
，且，为正数，
当且仅当，即时，
若不等式对任意实数恒成立，
则对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
，
，
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 是的充分不必要条件
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知：，，则对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
【答案】ABCD
【解析】解：根据集合关系，以及充分，必要条件的定义，可知A正确；
B.当时，不成立，当时，，解得：，故B正确；
C.，得，所以命题对应的集合是，所以对应的的集合为，故C正确；
D.，则，因为集合有个元素，所以集合的个数为，故D正确．
故选：．
根据集合的基础知识，以及充分，必要条件，命题的否定，判断选项．
本题是对集合知识的综合考查，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10.下列说法不正确的是( )
A. 函数的零点是和
B. 正实数满足，则不等式的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 的一个必要不充分条件是
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考察零点、基本不等式中“”的代换，基本不等式的取等条件，以及常用逻辑用语等相关知识点，属于中档题．
关于零点，要注意零点是函数图像与轴交点的横坐标，即令时的的值，而不是一个点；对于基本不等式中“”的代换，要注意时，最后需要将除过去，另外，对于基本不等式，要注意取等条件是否成立．
【解答】
解：对于，令，则，，所以该函数的零点是和，故错误；
对于，因为都是正数，所以，
由基本不等式可知，当且仅当即，时，取等号，
所以，而，
所以，
故不等式的最小值为，此时，，故错误；
对于，，
令，则不成立，所以上述不等式取不到等号，即，故C错误；
对于，由可得，
如果，那么一定可以得到，必要性满足，
如果，那么不一定能得到，例如，充分性不满足，
所以的一个必要不充分条件是，故正确．
故选ABC．
11.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，
D. ，，使得
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数、函数的单调性与单调区间和函数的奇偶性，属于一般题．
由题意得为偶函数，在上单调递增，在单调递减，由，得，再逐一判定即可得出结论．
【解答】
解：由，，得为偶函数，
由当时，都有，得在上单调递减，则在上单调递减，
所以，故A正确，
若，则，所以，解得，故B错误；
由，得，
若，则或
解得或，
所以，故C正确；
由为偶函数，在单调递减，在单调递增，
所以为的最大值，所以，，使得，故D正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数值集合为__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合中元素的性质，空集的概念，集合关系中的参数取值问题，交集及其运算，属于基础题．
先根据题意得出，则根据的子集从而讨论的情况，每种情况都讨论的取值，进而求出答案．
【解答】
解：因为，故；
则的子集有，
当时，显然有；
当时，
当，
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．
13.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】【分析】
此题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式组的解集即可确定出的取值范围．
【解答】
解：设，
当时，不等式解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，满足题意的需满足，对方程：
解得：，
综上的取值范围为．
故答案为：
14.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“函数”设为其定义域上的“函数”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，对数函数的性质，函数中的存在性问题，属于较难题．
根据对数函数的性质，可得对任意的恒成立，由函数的单调性得出，又根据为“函数”，即在上有解，由对称性性质，不妨设，对的值分类讨论，即求得答案．
【解答】
解：由题意，根据对数函数的性质，
则对任意的恒成立，即对任意的恒成立．
易知函数在上单调递增，
故，故．
又因为为其定义域上的“函数”，
即在上有解，由对称性性质，不妨设，
即在上有解．
当时，则，此时，不符合题意；
当时，，
即存在使得方程成立，
即在上有解．
又因为函数在上单调递增，
故．
综上，的取值范围是．
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.本小题分
设集合，．
当时，求和，
若，求实数的取值范围．
【答案】解：，则．
当时，，则，
所以，．
，因为，所以．
若，则；
若，则，且，即，
因为，所以，
所以，解得．
综上，实数的取值范围是．

【解析】本题主要考查交、并、补集的混合运算与含参数的集合关系问题，属于拔高题．
化简、再求交集和并集即可；
由，得分和两种情况进而求解．
16.本小题分
已知，求函数的最小值；
已知，求的最大值．
【答案】解：因为，
当且仅当，即时等号成立．
故的最小值为．
，，
，
当且仅当，即时，的最大值为．
【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值的知识点，属于基础题．
将已知变形为，利用基本不等式，即可求出最小值．
将已知变形为，利用基本不等式，即可得到答案，注意取等号条件．
17.本小题分
定义在上的奇函数，当时．
求函数在上的表达式；
在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
写出函数的值域和单调区间．
【答案】解：设，
，
又是定义在上的奇函数，
，
所以，
当时，，
所以；
图象：
；
由中的大致图象可知，
函数的值域为，
单调递增区间为，
单调递减区间为，．

【解析】【试题解析】
本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的解析式，函数的图象，分段函数的应用，函数的单调性，难度中档．
若 ，则，根据时奇函数满足，可得当时的解析式，而时，，即可得到的表达式；
由中函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，可画出函数在上的图象；
由中图象，可得函数的单调区间和值域．
18.本小题7分
已知函数，
解关于的不等式的解集
若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
【答案】解：由题得
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或．
当时，令当且仅当时取等号，
设，要使关于的原方程有四个不同实根，
只需方程在上有两个不同实根，
令，则在有两个不同的实根，
又，，
存在使得成立．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，考查函数与方程的综合应用，属于较难题．
不等式等价转化为讨论，，、和，即可求解出结果；
令，则问题可化为有两个不同正根，继而可求出结果．
19.本小题7分
已知幂函数满足．
求函数的解析式
若函数，，且的最小值为，求实数的值．
若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】解：是幂函数，
得，解得：或
当时，，不满足．
当时，，满足．
故得，函数的解析式为；
由函数，即，
令，
，
，
记，
其对称轴在，
当，即时，
则，
解得：；
当时，即，
则，
解得：，不满足，舍去；
当时，即时，
则，
解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，，使函数在上的值域为，
则
可得：
．
，
将代入得，，
令，
，，
即，
，
，即，
，
得：．
故得实数的取值范围．
【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，分类讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于较难题．
根据函数是幂函数，可得，结合求解，可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，化简为一元二次函数求解的取值范围．