湖南省长沙市地质中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省长沙市地质中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生
得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名．若后两次均为满
分的学生至少有 名，则 的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2.定义在 上的函数 = ( )是减函数，且函数 = ( 2)的图象关于点(2,0)成中心对称，若 ， 满足不
等式 ( 2

2 ) + (2 2) ≤ 0.则当1 ≤ ≤ 4时， 的取值范围是( )

1 1 1 1
A. [ , 1) B. [ , 1] C. [ , 1) D. [ , 1]
4 4 2 2
2 , > 0
3.已知 ( ) = { ，则 ( 1) =( )
( + 1), ≤ 0
A. 2 B. 1 C. 0 D. 4
4.已知全集 = ， = { | = ln(1 2)}， = { | = 2 1}，则 ∩ ( ) =( )
A. ( 1,0) B. [0,1) C. (0,1) D. ( 1,0]
5.已知全集 = ，集合 = { ∈ |0 < ≤ 1}， = { 1,0,1}，则( ) ∩ =( )
A. { 1} B. {1} C. { 1,0} D. {0,1}
6.已知全集 = { | ∈ , 2 < 80}， = {1,3,4,7}， = {4,5,6,7}，则 ( ∪ ) =( )
A. {2,5,6} B. {1,2,3,8} C. {2,8} D. {1,3,4,5,6,7}
7.已知全集 = ，集合 = { |lg( + 1) ≤ 0}， = { | < 1}，则 ( ∩ ) =( )
A. ( ∞, 0] B. (0, +∞)
C. ( ∞, 1] ∪ (0，+∞) D. ( 1,0]
8.命题“ > 0， 2 > 3”的否定是( )
A. > 0， 2 ≤ 3 B. ≤ 0， 2 ≤ 3
C. > 0， 2 ≤ 3 D. ≤ 0， 2 ≤ 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若定义在[0,1]上的函数 ( )同时满足：① (1) = 1；②对 ∈ [0,1]， ( ) ≥ 0成立；③对 1， 2， 1 + 2 ∈
[0,1]， ( 1) + ( 2) ≤ ( 1 + 2)成立；则称 ( )为“正方和谐函数”，下列说法正确的是( )
A. ( ) = 2， ∈ [0,1]是“正方和谐函数”
B. 若 ( )为“正方和谐函数”，则 (0) = 0
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C. 若 ( )为“正方和谐函数”，则 ( )在[0,1]上是增函数
D. 若 ( )为“正方和谐函数”，则对 ∈ [0,1]， ( ) ≤ 2 成立
10.下列叙述正确的是( )
1 1
A. < 2的解是 >
2
B. “0 ≤ ≤ 4”是“ 2 + + 1 ≥ 0”的充要条件
C. 已知 ∈ ，则“ > 0”是“| 1| < 1”的必要不充分条件
3
D. 函数 ( ) = 2 + 2 的最小值是2√ 3 2 +2
3 3
11.已知定义在 上的函数 = ( )满足 ( ) = ( )，且 ( + )为奇函数， ( 1) = 1， (0) = 2.下
2 4
列说法正确的是( )
A. 3是函数 = ( )的一个周期
3
B. 函数 = ( )的图象关于直线 = 对称
4
C. 函数 = ( )是偶函数
D. ∑2023 =1 ( ) = 1
12.已知全集 = ，集合 = { |2 + 1 ≥ 0, ∈ }， = { 1,0,1,2}，则( )
A. ∩ = {0,1,2} B. ∪ = { | ≥ 0}
C. ( ) ∩ = { 1} D. ∩ 的真子集个数是7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

13.已知正数 ， 满足 = ，则 的最大值为______，当且仅当______．
+3
14.已知 ( )是定义在 上的周期为3的奇函数，且 ( 1) = 2 (10) + 3，则 (2021) = ．
15. > > ， ∈
1 1
，且 + ≥ 恒成立，则 的最大值为______．

四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
4
设 ∈ [0,4]，已知函数 ( ) = 2 ， ∈ ． +1
(Ⅰ)若 ( )是奇函数，求 的值；

(Ⅱ)当 > 0时，证明： ( ) ≤ + 2；
2
1
(Ⅲ)设 1， 2 ∈ ，若实数 满足 ( 1) ( 2) =
2，证明： ( ) (1) < ．
8
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17.(本小题12分)
已知 ， ， > 0，且 + + = 2．
(1)求 2的最小值 ；
(2)证明： + ( + ) 2 ≥ 2．
18.(本小题12分)
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．
若一个平面图形 在 (旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称 具有对称性，并记 为 的
一个对称变换.例如，正三角形 在 1(绕中心 作120°的旋转)的作用下仍然与 重合(如图1图2所示)，所以
1 2 3
1是 的一个对称变换，考虑到变换前后 的三个顶点间的对应关系，记 1 = ( )；又如， 在 (关3 1 2 1
于对称轴 1所在直线的反射)的作用下仍然与 重合(如图1图3所示)，所以 1也是 的一个对称变换，类似地，
1 2 3
记 1 = ( ).记正三角形 的所有对称变换构成集合 ． 1 3 2
一个非空集合 对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
Ⅰ. ， ∈ ， 〇 ∈ ；
Ⅱ. ， ， ∈ ，( 〇 )〇 = 〇( 〇 )；
Ⅲ. ∈ ， ∈ ， 〇 = 〇 = ；
Ⅳ. ∈ ， 1 ∈ ， 〇 1 = 1〇 = ．
对于一个群 ，称Ⅲ中的 为群 的单位元，称Ⅳ中的 1为 在群 中的逆元．
一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子群，假如 对于 的代数运算〇来说作成一个群．
(1)直接写出集合 (用符号语言表示 中的元素)；
1 2 3 1 3 2 2 1 3
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如 1 = ( ) = ( ) = ( ) =3 1 2 3 2 1 1 3 2
2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 2 3
( ) = ( ) = ( ).对于集合 中的元素，定义一种新运算 ，规则如下：( )
1 2 3 2 3 1 2 1 3 1 2 3

( 1 2
3 1 2 3) = ( )，{ 1, 2, 3} = { 1, 2, 3} = { 1, 2, 3} = {1,2,3}． 1 2 3 1 2 3
①证明集合 对于给定的代数运算 来说作成一个群；
②已知 是群 的一个子群， ， ′分别是 ， 的单位元， ∈ ， 1， ′分别是 在群 ，群 中的逆元.猜
想 ， ′之间的关系以及 1， ′之间的关系，并给出证明；
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③写出群 的所有子群．
19.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + ，且 (1) = 2．

(1)求 的值；
(2)判断函数 ( )在(1, +∞)上是增函数还是减函数，并证明．
20.(本小题12分)
3
已知函数 ( ) = 2 + ( 2 1) 在区间[ , +∞)上是增函数．
4
(1)求实数 的取值范围；
( )+ ( ) +
(2)设 ≠ ，试比较 1 2 与 ( 1 21 2 )的大小． 2 2
21.(本小题12分)
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购
买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量
多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该厂 天购买一次配料，求该厂在这 天中用于配料的总费用 (元)关于 的函数关系式，并求该厂多少
天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
1
13.【答案】 = 1时取等号
3
14.【答案】1
15.【答案】4
16.【答案】(1)解：由题意，对任意 ∈ ，都有 ( ) = ( )，
4 4
即 2 = 2 ，即 4 = 4 + ， +1 +1
可得 = 0．
(2)证明：因为 > 0， ∈ [0,4]，
2
4 4 ( + 2)( + 1)
( + 2) = 2
2 + 1 2 2 + 1
1
= [ ( 2 2 + 1) + 4( 2 2 + 1)]
2( 2 + 1)
1
= ( + 4)( 1)2 ≤ 0，
2( 2+1)

所以 ( ) ≤ + 2．
2
4 16
(3)证明：设 = 4 ，则 = ( ) = 2 = ( ∈ )， +1 2+2 + 2+16
当 = 0时， = 0；
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16
当 ≠ 0时， = 2 ， +16
+ +2

8
所以 ( ) = > 0，
+√ 2+16
8
( ) = < 0，
√ 2+16
因为 ( 21) ( 2) = ，
所以 2 ≥ ( ) ( ) = 4，
即 2 ≤ ≤ 2，
4
①当 ≤ 0时， ( ) ≤ 0， (1) = ≥ 0，
2
1
所以 ( ) (1) < ；
8
②当 > 0时，由(2)知，
4 1
( ) (1) ≤ ( ) + 2 = ( 1) ≤ (1 ) ≤ ，等号不能同时成立．
2 2 2 2 8
1
综上可知， ( ) (1) < ．
8
17.【答案】解：(1) ， ， > 0，
4 2
则 + + = + + + ≥ 4√ ，当且仅当 = = = 1时，等号成立，
2 2 4 2
+ + = 2．
4 2
则 2 ≥ 4√ ，化简整理可得， 2 ≥ 4，
4
故 = 4；
(2)证明：要证 + ( + ) 2 ≥ 2，即证4 + ( + ) 2 ≥ 42，
+ + = 2．
1 1 1
则 + + = ，

故4 + ( + ) 2
= (4 + + )
1 1 1 1 1 1
= (4 + + )( + + ) ≥ (√ 4 + √ + √ )2 = 42，

4
当且仅当 1 = 1 = 1 ，即 = = = 1时，等号成立， 2

故4 + ( + ) 2 ≥ 42．
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18.【答案】解析：(1)由题设可知，正三角形 的对称变换如下：
1 2 3 1 2 3
绕中心 作120°的旋转变换 1 = ( )；绕中心 作240°的旋转变换 = ( )； 3 1 2 2 2 3 1
1 2 3 1 2 3
绕中心 作360°的旋转变换 3 = ( )；关于对称轴 1所在直线的反射变换 1 = ( )； 1 2 3 1 3 2
1 2 3 1 2 3
关于对称轴 2所在直线的反射变换 2 = ( )；关于对称轴 3所在直线的反射变换 = ( )． 3 2 1 3 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
综上， = {( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )}. (形式不唯一)
3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
(2)①Ⅰ． ( )，( 1 2 3 ) ∈ ，(
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1
) ( ) = ( ) ∈ ；
2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3Ⅱ. ( )，( )，( ) ∈ ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
[( ) (
1 2 3)] ( ) = ( ) (1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
)
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
= ( 1 2 3 1
) ( ) [( ) ( )] 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
= ( ) (
1 2 3) = ( )，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
所以
1 2 3 1 2 3 1 2 3[( ) ( )] (1 2 3 1 2 3
) =
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) [( ) ( )]； 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
Ⅲ. ( ) ∈ , ( ) ∈ ， 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) (
1 2 3
1 2 3
) = ( ) = ( ) ( )， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3而( ) = ( ) = ( )，所以 = ( )； 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
Ⅳ. ( ) ∈ , (
1 2 3) ∈ ，
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ) ( 1 2
3 ) = ( 1
2 3 1 2 3
) ( ) = ； 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
综上可知，集合 对于给定的新运算 来说能作成一个群．
② = ′， 1 = ′，证明如下：
先证明 = ′：由于 是 的子群，取 ∈ ，则 ∈ ， 1 ∈ ，
根据群的定义，有 〇 = ， 〇 ′ = ，所以 〇 = 〇 ′，
所以 1( 〇 ) = 1( 〇 ′)，即( 1〇 )〇 = ( 1〇 )〇 ′，
即 〇 = 〇 ′，所以 = ′．
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再证明 1 = ′：由于 = ′， = 1〇 ， ′ = ′〇 ，
所以 1〇 = ′〇 ，所以 1〇( 〇 1) = ′〇( 〇 1)，
所以 1〇 = ′〇 ，所以 1 = ′．
③ 的所有子群如下：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 = {( )}, 1 2 3 2
= {( ) , ( )}，
1 2 3 1 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 = {( ) , ( )}， 4 = {( ) , ( )}， 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
5 = {( ) , ( ) , ( )}， 3 1 2 2 3 1 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
6 = {( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )}． 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3

19.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = + ，且 (1) = 2．

则有 (1) = 1 + = 2，
解可得： = 1；
(2)根据题意，函数为增函数，证明如下：
设 1、 2是(1, +∞)上的任意两个实数，且1 < 1 < 2，
1 1
则 ( 1) ( 2) = 1 + ( 2 + ) 1 2
1 1 1
= 1 2 + ( ) = 1
1 2
2 = ( 1 2)(
1 2 )，
1 2 1 2 1 2
当1 < 1 < 2时， 1 2 1 > 0， 1 2 < 0，
从而 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
1
∴函数 ( ) = + 在(1, +∞)上为增函数．

20.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = 在 上单调递减，不满足题意；
所以 ≠ 0，
3
因为函数 ( ) = 2 + ( 2 1) 在区间[ , +∞)上是增函数，
4
2 1 3
所以函数的开口向上，且对称轴 = ≤ ，
2 4
> 0
1
即{ 2 1 3，解得 ≥
≤ 2
2 4
1
所以实数 的取值范围为[ , +∞)．
2
( )+ ( ) 2+( 2 1) 2 2
(2)由题知 1 2 = 1 1
+ 2+( 1) 2 1+ 2 1+ ， ( ) = ( 2 2
+
) + ( 2 1)( 1 2) =
2 2 2 2 2
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2+2 + 2+2( 21 1 2 2 1)( 1+ 2) 4 ，
4
( )+ ( ) + 2 2 + 2
所以 1 2 ( 1 2) = 1 1 2 2 = ( )2，
2 2 4 4 1 2
1
因为 1 ≠ 2， ∈ [ , +∞), 2
( 1)+ ( 2) 所以 ( 1
+ 2 ) = ( 1 2)
2 > 0，
2 2 4
( 1)+ ( 2) 1+ 即 > ( 2)．
2 2
21.【答案】解：【理解1】(当天所用配料需要保管费)
(1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 = 70 + 0.03 × 200 × (1 + 2) = 88(元)．
(2)①当0 < ≤ 7( ∈ )时， = 360 + 10 + 236 = 370 + 236，
②当 > 7( ∈ )时， = 360 + 236 + 70 + 6[( 7) + + 2 + 1] = 3 2 + 321 + 432．
370 + 236, ≤ 7
∴ = { , ∈ ，
3 2 + 321 + 432, > 7
设该厂 天购买一次配料平均每天支付的费用为 ( )元．
370 +236
, ≤ 7

则 ( ) = { 2 , ∈
，
3 +321 +432
, > 7

236 2826
当 ≤ 7时， ( ) = 370 + ，当且仅当 = 7时， ( )有最小值 ≈ 404(元)；
7
3 2+321 +432 144
当 > 7时， ( ) = = 3( + ) + 321 ≥ 393，

当且仅当 = 12时，取等号，
∵ 393 < 404，
∴当 = 12时， ( )有最小值393元．
∴该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少，最少费用为393元．
【理解2】(当天所用配料不需要保管费)
(1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 = 60 + 0.03 × 200 × (1 + 2) = 78(元)．
(2)①当1 < ≤ 7( ∈ )时， = 360 + 10( 1) + 236 = 370 + 226，
②当 > 7( ∈ )时， = 360 + 226 + 60 + 6[( 7) + + 2 + 1] = 3 2 + 321 + 422，
370 + 226, ≤ 7
∴ = { 2 , ∈
，
3 + 321 + 422, > 7
370 +226
, ≤ 7

∴设该厂 天购买一次配料平均每天支付的费用为 ( )元． ( ) = {
3 2
, ∈ ，
+321 +422
, > 7

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226 2816
当 ≤ 7时， ( ) = 370 + ，当且仅当 = 7时 ( )有最小值 ≈ 402.28(元)
7
3 2+321 +422 422 422 422
当 > 7时， ( ) = = 3 + + 321， ′( ) = 3 2 ，令 ′( ) = 0得 0 =
√ ∈ (11,12)，
3
(1, 0) 0 ( 0, +∞)
′( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
因为 ∈ ，当 = 11时， (11) ≈ 392.36，
当 = 12时， (12) ≈ 392.16，
当且仅当 = 12时，取最小值．
∵ 392.16 < 402.28，
∴当 = 12时， ( )有最小值392.16元．
∴该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少，最少费用为392.16元．
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