海南省海口市某校2024-2025学年高一上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

海南省海口市某校 2024-2025 学年高一上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 1,0,1,2}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { 1,1} B. { 1,0,1} C. {0,1} D. {0,1,2}
√ 4
2.函数 ( ) = 的定义域为( )
5
A. [4, +∞) B. [4,5) ∪ (5, +∞)
C. (4,5) ∪ (5, +∞) D. ( ∞, 5) ∪ (4,5]
3.已知函数 (2 + 1) = 3 + 2，则 (3)的值等于( )
A. 11 B. 2 C. 5 D. 1
4.函数 = 2 + + 当 ∈ ( ∞, 1)时是单调函数，则 的取值范围( )
A. ≥ 2 B. ≤ 2 C. > 2 D. < 2
5.下列各对函数中，图象完全相同的是( )
3
A. = 与 = (√| |)3 B. = (√ )2与 = | |
+1 1
C. = 与 = 0 D. = 2 与 = 1 1
3 1, ≥ 4
6.设函数 ( ) = { 2 ，则 (3) + (4) =( ) ( ), < 4
A. 37 B. 26 C. 19 D. 13
7.若不等式 2 + 2 + 1 > 0对任意的 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. [0,1) B. [0, +∞)
C. ( ∞, 0] ∪ (1，+∞) D. (0,1)
1 4
8.已知正实数 、 满足 + = 2，则 + 最小值为( )
+1
A. 3√ 3 B. 4 C. 2√ 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间( ∞, 0)上单调递减的是( )
2
A. = B. = | | C. = 2 + + 1 D. = 2 1

10.下列说法正确的有( )
A. ∈ 是 ∈ ∪ 的必要不充分条件
B. “ > 1， > 1”是‘ > 1’成立的充分条件
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C. 命题 ： ∈ ， 2 > 0，则 ： ∈ ， 2 < 0
D. ， 为无理数是 + 为无理数的既不充分也不必要条件
11.下列命题中，不正确的是( )
1 1
A. 若 > ，则 > B. 若 2 > 2 ，则 >

1 1
C. 若 > ， > ，则 > D. 若 < < 0，则 > 2

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { 1, + 2, 2 + 4}，且5 ∈ ，则 的值为 ．
3 1
13.不等式 ≥ 1的解集为______．
2
1
14.设一元二次不等式 2 + + 1 > 0的解集为{ | 1 < < }，则 的值是______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 3}， = { | < 1或 > 9}．
(1)当 = 2时，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = ( > 0)．
2
(1)用单调性的定义证明函数 = ( )在区间(0, +∞)上是单调递增；
(2)求关于 的不等式 (1 ) < ( )的解集．
17.(本小题12分)
已知：二次函数 ( )的图像的对称轴为 = 1，与 轴的一个交点为( 1,0)，且 (1) = 4
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求关于 的不等式 ( ) > (1 2 ) + 3 + 2 ( ∈ )的解集．
18.(本小题12分)
解答下列各题．
4
(1)若 > 3，求 + 的最小值．
3
(2)若正数 ， 满足9 + = ，
①求 的最小值．
②求2 + 3 的最小值．
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19.(本小题12分)
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产 (百
10 2 + 900 , 0 < < 40
辆)，需另投入成本 ( )(万元)，且 ( ) = { 10000 ，已知每辆车售价15万元，全年
1501 + 9600, ≥ 40

内生产的所有车辆都能售完．
(1)求2023年的利润 ( )(万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】±1或3
3
13.【答案】{ | ≤ < 2}
4
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)当 = 2时， = { |1 ≤ ≤ 7}，
所以 = { | < 1或 > 7}，
又 = { | < 1或 > 9}，
所以 ∪ = { | ≤ 7或 > 9}，( ) ∩ = { | < 1或 > 9}；
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 时， 1 > 2 + 3，
解得 < 4，
当 ≠ 时，则 ≥ 4，
由 ，得到2 + 3 < 1或 1 > 9，
解得 4 ≤ < 1或 > 10，
所以实数 的取值范围为{ | < 1或 > 10}．
16.【答案】解：(1)证明：任取 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
1 2 2 2 2 则 ( ) ( ) = = 1 2 2 1 2
2 1 2( 1 2)
1 2 = ， 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
因为0 < 1 < 2，所以 1 2 < 0， 1 2 > 0，
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2( )
则 ( 1) (
1 2
2) = < 0， 2 1 2
即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在(0, +∞)上是单调递增函数；
(2)因为 ( )在(0, +∞)上是单调递增函数，且 (1 ) < ( )，
1 > 0
1
所以{ > 0 ，解得 < < 1．
2
1 <
1
故不等式的解集为{ | < < 1}．
2
17.【答案】解：(1)设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，

= 1
2
由题可得{ + = 0，解得 = 1， = 2， = 3，
+ + = 4
所以 ( ) = 2 + 2 + 3；
(2)由(1)得 ( ) = 2 + 2 + 3，
所以 ( ) > (1 2 ) + 3 + 2 ( ∈ )，即 2 + 2 + 3 > (1 2 ) + 3 + 2 ( ∈ )，
整理得 2 (1 + 2 ) + 2 < 0，即( 1)( 2 ) < 0，
1
当 = 时，( 1)2 < 0，解集为 ，
2
1
当 > 时，1 < < 2 ，解集为(1,2 )，
2
1
当 < 时，2 < < 1，解集为(2 , 1)，
2
1 1 1
综上，当 = 时，不等式的解集为 ；当 > 时，不等式的解集为(1,2 )；当 < 时，不等式的解集为
2 2 2
(2 , 1)．
4 4 4
18.【答案】解：(1)由题 + = 3 + + 3 ≥ 2√ ( 3) + 3 = 7．
3 3 3
4
当且仅当 3 = ，即 = 5时取等号；
3
(2)①由9 + = 结合基本不等式可得：
= 9 + ≥ 2√ 9 = 6√ √ (√ 6) ≥ 0，又 ， 为正数，
则√ ≥ 6 ≥ 36，当且仅当9 = ，即 = 2， = 18时取等号；
9 1
②由9 + = 可得 + = 1，

9 1 18 3 18 3
则2 + 3 = ( + )(2 + 3 ) = 29 + + ≥ 29 + 2√ = 29 + 6√ 6．

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18 3
当且仅当 = 18 2 = 3 2 √ 6 = ，又9 + = ，

3√ 6
即 = + 1, = 9 + √ 6时取等号．
2
19.【答案】解：(1)由题意知，利润 ( ) =收入 总成本，
10 2 + 600 5000,0 < < 40
所以利润 ( ) = 15 × 100 5000 ( ) = { 10000 ；
+ 4600, ≥ 40

所以2023年的利润 ( )(万元)关于年产量 (百辆)的函数关系为：
10 2 + 600 5000,0 < < 40
( ) = { 10000 ；
+ 4600, ≥ 40

(2)当0 < < 40时， ( ) = 10 2 + 600 5000 = 10( 30)2 + 4000，
所以当 = 30时，年利润的最大值为 ( ) = 4000；
10000 10000
当 ≥ 40号， ( ) = + 4600 ≤ 2√ + 4600 = 4400，

10000
当且仅当 = ，即 = 100时取得等号；

综上，当产量为100(百辆)时，年利润取得最大，最大利润为4400万元．
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