2024-2025学年辽宁省七校协作体高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省七校协作体高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.如图，在三棱锥中，是线段的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
3.某学习小组男女生共人，现从男生中选人，女生中选人，分别去做中不同的工作，共有种不同的选法，则男女生人数为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.名大学生分配到所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配名大学生，则不同的分配方案共有( )
A. B. C. D.
6.如图，点在正方体的面对角线上运动点异于，点，则下列结论不正确的是( )
A. 异面直线与所成角为
B. 平面
C. 三棱锥的体积不变
D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为
7.已知动点满足，则动点轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
8.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围为
B. 直线：恒过定点
C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为：
D. 圆上有且仅有个点到直线的距离等于
10.关于空间向量，下列说法正确的是( )
A. 若共线，则
B. 已知，若，则
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底
11.如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值若点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 面积的最大值为 D. 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将个相同的小球放入个编号为，，，，的盒子，每个盒子都不空的方法数为______；恰有一个空盒子的方法数为______．
13.已知圆：，点在抛物线上运动，过点引圆的切线，切点分别为、，则的最小值为______．
14.已知棱长为的正四面体的顶点都在球上，过的平面截球所得图形面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国为响应征兵号召，某高等院校名男生和名女生报名参军，经过逐层筛选，有人通过入伍审核．
若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
若至少有名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
若通过入伍审核的人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能结果有多少种？
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，．
若为棱的中点，求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知椭圆：的右焦点到左顶点的距离为．
求椭圆的方程；
设是坐标原点，过点的直线与椭圆交于，两点不在轴上，若，延长交椭圆与点，求四边形的面积的最大值．
18.本小题分
如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置平面．
证明：平面；
若，试判断线段上是否存在一点不含端点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
参考答案
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15.解：因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
所以从学生甲和乙以外的人中任选人，
所以所有的可能结果有种．
从人中任选人的所有可能结果有种，
选出的人中没有女生所有可能结果有种，
选出的人中有名女生所有可能结果有种，
所以至少有名女生被选出的选法数为种．
先入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，再从剩余的人中任选人，
故所有的可能结果有种．
16.证明：取中点，连、，
，为棱，的中点，，且，
四边形是矩形，为棱的中点，
，，
，，四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
解：假设在棱上存在点满足题意，
在等边三角形中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，
以点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向，
过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，，
，
易知平面的一个法向量为，
，，解得，
存在点为的靠近点的三等分点时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17.解：根据题意得，，
解得，，
所以椭圆的方程为：．
设：，
则由与的方程消得：，
设、、、，
， ，
为平行四边形，
，
令，
所以，
由对勾函数的单调性易得当即时，．
18.解：证明：在原图中，连接，由于，，
所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，
所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
在翻折过程中，，保持不变，
即，保持不变，
由于，，平面，
所以平面；
由上述分析可知，在原图中，，所以，
所以，
折叠后，若，则，
所以，
由于，，，平面，
所以平面，
由于，平面，所以，，
所以，，两两相互垂直，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，，，
设，，，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，
即，，
解得，
所以，即是的中点，
由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为，
所以．
19.解：由题意得椭圆方程为，所以，
设，则，
二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，
所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，
所以椭圆是“圆椭圆”；
因为椭圆方程为，，设，，
则，，
由题意得，当且仅当时，函数值达到最大，
当开口向上时，满足与矛盾，舍去；
当开口向下时，满足，
综上可得的取值范围为．
以线段为直径的圆过定点，
理由如下：由可得，则椭圆方程为，
由题意：设，且，
，则直线，则，
则直线：，则，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，
所以设，且，
所以，．
所以得定点．

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