2024-2025学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.空间直角坐标系中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线，，，平面，，下列正确的是( )
A. 若，，则与异面
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
3.在四面体中，点是靠近的三等分点，记，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为( )
A. B. C. D.
5.已知直线，，平面，，，那么“”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
7.一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是( )
A. 正三棱锥 B. 正四棱锥 C. 正五棱锥 D. 正六棱锥
8.正三棱锥中，，，为棱的中点，点，分别在棱，上，三角形周长的最小值为( )
A. B. C. D.
9.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成图中的多面体，其上部为直三棱柱，，，，四边形为矩形，平面平面，且平面，平面，，，，则正脊末端与戗脊末端两点间距离为( )
A. B. C. D.
10.如图，正四面体的棱长，过棱上任意一点做与，都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，，，，，则 ______．
12.已知平面，，直线，给出三个语句：，，从这三个语句中选取两个做条件，剩下一个做结论，构成一个真命题，该命题是：若______，则______只需填写序号
13.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点在四棱锥表面上，且，则与底面的夹角为______；点所形成的轨迹长度是______．
14.如图，在正方体内，正方形中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为______．
15.如图，是正方形内一动点不包括边界，平面于，，，，给出下列四个结论：
四棱锥的体积是定值；
设平面与平面交于，则；
四棱锥的表面积既有最小值又有最大值；
存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知空间四点，，，，．
Ⅰ求和的值；
Ⅱ若点在平面内，请直接写出的值．
17.如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，其中，，，是的中点，是的中点．
Ⅰ平面；
Ⅱ求平面与平面所成角的余弦．
18.如图，四棱锥中，平面，，．
Ⅰ若，求证：平面平面；
Ⅱ若，中点为，试问在棱上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；
Ⅲ若，与平面成角大小，求边长．
19.如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
20.如图，正方体的棱长为，其中，，分别是棱，，的中点，则到平面的距离是( )
A.
B.
C.
D.
21.如图，在矩形中，，点在边上，且如图，将沿直线向上折起至位置，连结C.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是( )
A. 存在某个位置，使
B. 存在某个位置，使平面平面
C. 存在某个位置，直线与平面所成角为
D. 存在某个位置，使平面与平面的交线与平面平行
22.光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成如图，在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”如图，在图中近似地展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面，，是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能( )
A. B. C. D.
23.直二面角，，，，，则 ______；三棱锥外接球的体积是______．
24.已知正方体的棱长为，为侧面内一动点包括边界，为棱上一动点包括端点，则的最小值是______．
25.如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为，，与地面接触点分别为，，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若，两点间距离为厘米，车轮外径直径为厘米，脚撑长度等于车轮半径，，，则后车轮所在平面与地面的夹角即二面角的余弦值为______．
26.将半径为的半圆弧等分，从半径的一个端点出发依次连接各个分点至半径的另一个端点，得到折线，将折线绕半径所在直线旋转，得到旋转体时，如图所示，设所得旋转体的表面积为，给出下列四个结论：
；
；
最大值为；
．
其中所有正确结论的序号是______．
27.已知正方体的棱长，，分别为，中点，从开始沿射线运动，做平面，垂足为，给出下列四个结论：
平面与平面夹角先增大后减小；
最大值为，并且先增大后减小；
存在使得；
存在唯一的使得．
其中所有正确结论的序号是______．
28.蜜蜂分泌蜂蜡筑巢，蜂巢由许多中空的柱状体连接而成，其中柱状体的一端为正六边形开口，另一端由三个全等的菱形拼成类似锥形的底部如图，蜜蜂这样筑巢能够使得蜂巢空间不变的条件下，所用蜂蜡最少，为了揭开蜜蜂筑巢的数学秘密，研学小组利用正六棱柱去研究中空的柱状体设正六棱柱底面边长为，底面中心分别为，如图，现将延长至，平面，，分别与棱，，交于，，，得到中空的柱状体如图．
比大小：所得中空的柱状体的体积______原正六棱柱体积；填“”，“”或“”
当中空的柱状体表面积最小时，的取值是______．
参考答案
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16.解：Ⅰ，
，
，，且，
，解得；
Ⅱ，，且点在平面内，
存在，使，即，
，解得．
17.解：Ⅰ证明：因为在直四棱柱中，底面为梯形，
所以，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，是的中点，是的中点，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
Ⅱ由Ⅰ知，平面的一个法向量为，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.Ⅰ证明：设，
因为平面，、平面，所以，，
所以，
而，所以，即，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
Ⅱ解：因为平面，，
所以，，两两垂直，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设，其中，
则，
因为，
所以，解得，
所以在棱上不存在点，使．
Ⅲ解：若，则，
所以，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设，其中，，则，
所以，
因为与平面成角大小，
所以，，整理得，
所以或，即或，
而方程组无解，方程组的解为，
所以，
因为，所以，，
故DC边长为．
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