上海市静安区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市静安区 2023-2024 学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位： ).根据所得数据画出样
本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110 的株数是( )
A. 30 B. 60 C. 70 D. 80
2 2
2.已知点 是双曲线 = 1右支上的一点，点 、 分别是圆( + 6)2 + 2 = 4和圆( 6)2 + 2 = 1上
16 20
的点.则| | | |的最小值为( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
二、填空题：本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。
3.在( 2)5的二项展开式中， 3项的系数为______．
4.圆 2 + 2 = 25在点 ( 3,4)处的切线方程为______．
5.曲线 = 在点(0,0)处的切线方程为______．
6.已知双曲线 经过点(1, √ 3)，其一条渐近线方程为 = 2 ，则双曲线 的标准方程为______，离心率 =
______．
7.圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出______个圆内接三角形；请编写一个排
列数的问题，其答案为 34，这个问题可以是______．
8.自由落体运动中，物体下落的距离 (单位：米)与时间 (单位：秒)近似满足函数关系 ( ) = 5 2，则 ′(3) =
______，其实际意义为______．
1
9.同时投掷2枚硬币，若事件 的概率 ( ) = ，则事件 为______(写出一个事件即可)；若事件 的概率
4
3
( ) = ，则事件 为______(写出一个事件即可)．
4
三、解答题：本题共 5 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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10.(本小题12分)
1
记 ( ) = 2 3 + 2 .求函数 = ( )的导数，讨论函数 = ( )的单调性和极值．
2
11.(本小题12分)
甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如图：
(1)求甲、乙两名选手射击的平均环数；
(2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员
外出参加比赛．
12.(本小题12分)
(1)请写出由抛物线的定义推导抛物线的标准方程 2 = 2 ( > 0)的过程；
(2)设直线 = + 1与抛物线 2 = 2 ( > 0)交于 、 两点，且| | = 2√ 6，求 的值．
13.(本小题12分)
口袋里装有4个大小相同的小球，其中两个标有数字1，两个标有数字2．
(Ⅰ)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字
之和为 .当 为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
(Ⅱ)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的
数字之和为 .求 大于2的概率．
14.(本小题16分)
如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线 ， =
4 ；②位于地平线 与离地2 高的水平线 之间的是长半轴长为√ 6 的同一个椭圆的左、右两侧的一
部分；③水平线 以上是半径为2 的半圆．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来；
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小.若包
装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态(横截面与地面垂直，且有一
边保持水平).为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】40
4.【答案】3 4 + 25 = 0
5.【答案】 =
2
6.【答案】 21 = 1 √ 5
4
7.【答案】10 由1、2、3、4四个数字组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数有多少个？
8.【答案】30 第三秒末瞬时速度为30 /
9.【答案】两枚硬币同时正面向上(答案不唯一) 两枚硬币中至少有一枚正面向上(答案不唯一)
1
10.【答案】解： ( ) = 2 3 + 2 的定义域为(0,+∞)，
2
2 2 3 +2 ( 1)( 2)
′( ) = 3 + = = ，

由 ′( ) > 0，得 > 2或0 < < 1；
由 ′( ) < 0，得1 < < 2，
所以 ( )的递增区间是(0,1)、(2,+∞)，递减区间是(1,2)．
5
所以 ( )在 = 1处取得极大值 (1) = ，在 = 2处取得极小值 (2) = 2 2 4．
2
1
11.【答案】解：(1)甲选手射击的平均环数为 × (83 + 88 + 90 + 91 + 93 + 93 + 94 + 95 + 100 + 103) =
10
93，
1
乙选手射击的平均环数为 × (73 + 83 + 86 + 88 + 93 + 96 + 99 + 99 + 106 + 107) = 93；
10
1
(2)甲选手射击的方差为 × [(83 93)2 + (88 93)2 + (90 93)2 + (91 93)2 + (93 93)2 + (93
10
93)2 + (94 93)2 + (95 93)2 + (100 93)2 + (103 93)2] = 29.2，
1
乙选手射击的方差为 × [(73 93)2 + (83 93)2 + (86 93)2 + (88 93)2 + (93 93)2 + (96
10
93)2 + (99 93)2 + (99 93)2 + (106 93)2 + (107 93)2] = 102，
因为甲、乙两名选手射击的平均环数，而甲选手射击的方差小于乙选手射击的方差，
所以甲运动员的射击成绩更稳定，射击队应选拔甲外出参加比赛．
12.【答案】解：(1)抛物线定义：平面上到定点 和到定直线 ( 不在 上)距离相等的点的轨迹，
如图，以抛物线的顶点为原点 ，以向量 的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
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设焦点到准线的距离| | = ( > 0)，则焦点 的坐标是( , 0)，准线 的方程为 = ， 2 2
设 ( , )为抛物线上任意一点，点 到直线 的距离为 ，

则| | = √ ( + )2 + 2， = | |，
2 2

由抛物线定义知| | = ，于是有√ ( + )2 + 2 = | |，
2 2
化简得 2 = 2 ( > 0)；
(2)设点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
= + 1
联立方程{ 2 ，消去 得方程
2 + 2( + 1) + 1 = 0， = 4( + 1)2 4 > 0，
= 2
所以 1 + 2 = 2( + 1)， 1 2 = 1，
所以| | = √ 1 + 1√ ( 21 + 2) 4 1 2 = √ 8( 2 + 2 ) = 2√ 6，
解得： = 1或 = 3(舍)，当 = 1时，满足 > 0，
故 = 1．
13.【答案】解：(Ⅰ) 设 、 分别表示第一次和第二次摸的求的标号， 表示之和，如下表格：
1 1 2 2
1 2 2 3 3
1 2 2 3 3
2 3 3 4 4
2 3 3 4 4
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由表格可知所有基本事件( , )共16个．
4 1
设事件 1表示数字和为2，包括4个，∴ ( 1) = = ． 16 4
8 1
设事件 2表示数字和为3，包括8个， ( 2) = = ． 16 2
4 1
设事件 3表示数字和为4，包括4个， ( 3) = = ， 16 4
∴数字和为3时概率最大．

(Ⅱ)设“两取到小球上的数字之和为 且大于2”为事件 ，则 所有基本事件共有 24个，其对立事件 表示“两
取到小球上的数字之和 = 2”只包括一个基本事件(1,1)．
1 5
∴ ( ) = 1 ( ) = 1 = ．
6 6
14.【答案】解：(1)如图，以矩形 的对称中心为原点建立平面直角坐标系，
则半圆方程为 2 + ( 1)2 = 4( ≥ 1)．
2 2
设椭圆的标准方程为： 2 + 2 = 1，
则由已知，
4 1
有 2 + 2 = 1, = √ 6． = √ 3， = √ 3，
2 2
所以得出，椭圆部分的方程为： + = 1, ( ∈ [ √ 6, 2) ∪ (2, √ 6])，
6 3
水平线 的方程为： = 1( ∈ ( 2,2))，
(2)提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米，
三角形截面的边长的最大值为2(6√ 3+2√ 6) ≈ 4.37 米，
7
若为正方形截面，设正方形边长为2 ，
如图所示放置时正方形截面的边长的最大，
则点 ( , 2 1)在圆 2 + ( 1)2 = 4上，
即 2 + (2 2)2 = 4，
解得 = 1.6，
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所以正方形截面的边长的最大值为3.2米；
若为等边三角形截面，如图放置：

因为直线 倾斜角为 所以直线的斜率为
3 √ 3且直线过定点 (0,3)，
故直线的方程为 = √ 3 + 3，
2 2
+ = 1
联立{ 6 3 ，
= √ 3 + 3
整理得：7 2 + 12√ 3 + 12 = 0，
解得 6√ 3 2√ 6和 6√ 3+2√ 6 1 = = (舍)， 7 2 7
所以三角形截面的边长的最大值为2(6√ 3+2√ 6) ≈ 4.37 米．
7
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