福建省福州市金山中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

福建省福州市金山中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知 ( ) = 2 + ，且 ′(1) = 3，则 =( )
2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.直线 1： + 1 = 0， 2：( 2) +1 = 0，则 = 2是 1// 2的( )条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知数列{ 2 }的前 项和 = + 2 ，求 6等于( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
4.已知抛物线 2 = 焦点的坐标为 (0,1)， 为抛物线上的任意一点， (2,2)，则| | + | |的最小值为( )
11
A. 3 B. 4 C. 5 D.
2
1
5.在等比数列{ }中， 3 2 3， 7是函数 ( ) = 4 + 4 1的极值点，则 5 =( ) 3
A. 2或2 B. 2 C. 2 D. 2√ 2
2 2
6.已知 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 是过坐标原点 且倾斜角为60°的直
线 与双曲线 的一个交点，且| 1 + 2 | = | 1 2 |则双曲线 的离心率为( )
A. 2 B. 2 + √ 3 C. √ 3 + 1 D. √ 3
2 2
7.法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是
以椭圆中心为圆心的圆 2 + 2 = 2 + 2，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若圆 ：( )2 + (
2
√ 3 )2 = 4( ∈ )上存在点 ，使得过点 可作两条互相垂直的直线与椭圆 + 2 = 1相切，则实数 的取值
3
范围为( )
A. [0,2] B. [ 2,2] C. [0,4] D. [ 4,4]
8.已知 = 8 6， = 7 7， = 6 8，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 ，且 9 = 10 < 11，则( )
A. < 0 B. 10 = 0 C. 15 < 0 D. 8 > 9
10.已知直线 ： + 2 = 0与圆 ： 2 + 2 = 2，点 ( , )，则下列说法正确的是( )
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A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
C. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切 D. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
2
11.椭圆 ： + 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2， 为坐标原点，则下列说法错误的是( ) 4
1
A. 椭圆 的离心率为
2
B. 过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则△ 1的周长为4
C. 椭圆 上不存在点 ，使得 1 2 = 0
D. 为椭圆 上一点， 为圆 2 + 2 = 1上一点，则点 ， 的最大距离为3
12.已知函数 ( ) = 2 2，则下列说法正确的是( )
1
A. 当 ≤ 0或 = 时， ( )有且仅有一个零点
2
1
B. 当 ≤ 0或 = 时， ( )有且仅有一个极值点
4
1
C. 若 ( )为单调递减函数，则 >
4
1
D. 若 ( )与 轴相切，则 =
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.过点 (2,1)与直线2 + 1 = 0垂直的直线的方程是______．
14.已知直线 1 = 0与抛物线 = 2相切，则 = ______．
15.点 是曲线 = 2 上任意一点，且点 到直线 = + 的距离的最小值是√ 2，则实数 的值是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中一系列格点 ( , )，其中 = 1，2，3，… ，….且 ， ∈ .记 = + ，
如 1(1,0)记为 1 = 1， 2(1, 1)记为 2 = 0，以此类推.设数列{ }的前 项和为 ，则 2024 = ______；
2022 = ______．
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线 ：( + 2) (2 + 1) + 4 = 0，圆 ： 2 + 2 4 6 + 8 = 0．
(1)求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(2)若直线 的倾斜角为45°，求直线 被圆 截得的弦长．
18.(本小题12分)
设{ }是公比不为1的等比数列， 1为 2， 3的等差中项．
(1)求{ }的公比；
(2)若 1 = 1，求数列{ }的前 项和．
19.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 + ，此曲线在 (1,0)处的切线斜率为2．
(1)求 的值．
(2)试证明 ( ) ≤ 2 2．
20.(本小题12分)
( +1)
已知数列{ }的各项均为正数，前 项和为 ，且 = ( ∈
)，
2
(Ⅰ)求证数列{ }是等差数列；
1
(Ⅱ)设 = ， = 1 + 2+ + ，求 ．
21.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点 (0,1)． 2
(1)求椭圆 的标准方程；
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3
(2)过定点 (1,0)的直线 与椭圆 相交于 、 两点，已知点 (4, )，设直线 、 的斜率分别为 1、 2，2
求证： 1 + 2 = 1．
22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 1， ∈ ．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)若1是关于 的方程 ( ) = 2( ∈ )的根，且方程 ( ) = 2在(0,1)上有实根，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 + 2 4 = 0
1
14.【答案】
4
15.【答案】 2
16.【答案】44 87
17.【答案】解：(1)证明： ： ( 2 + 1) + 2 4 = 0，
2 +1 = 0
联立{ ，
2 4 = 0
= 3
解得{ = 2，
故直线 恒过定点(3,2)．
+2
(2)由题意直线 的斜率 = = 1，得 = 1，
2 +1
∴ ： 1 = 0
圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 5，圆心 (2,3)，半径 = √ 5，
|2 3 1|
圆心 到直线 的距离 = = √ 2，
√ 2
所以直线 被圆 所截得的弦长为2√ 2 2 = 2√ 3．
18.【答案】解：(1)设{ }是公比 不为1的等比数列，
1为 2， 3的等差中项，可得2 1 = 2 + 3，
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即2 21 = 1 + 1 ，
即为 2 + 2 = 0,
解得 = 2( = 1舍去)；
(2)若 11 = 1，则 = ( 2) ，
= · ( 2)
1 ,
则数列{ }的前 项和为 = 1 × 1 + 2 × ( 2) + 3× ( 2)
2 + + · ( 2) 1 , 2 = 1 × ( 2) + 2 ×
( 2)2 + 3 × ( 2)3 + + ( 2)
两式相减可得3 2 3 1 = 1 + ( 2)+ ( 2) + ( 2) + + ( 2) ( 2)

1 ( 2)
= ( 2) ，
1 ( 2)

1 (1+3 ) ( 2)
化简可得 = ． 9

19.【答案】解：(1) ′( ) = 1 2 + ，

由曲线在点 处的切线斜率为2，得 ′(1)= 2，即1 2 + = 2，解得 = 3，
故所求 值为3．
(2)令 ( ) = ( ) (2 2)( > 0)，
则 ( ) = 2 +3 2 + 2 = 2 + 3 + 2，
3 2 2 +3 (2 +3)( 1)
′( ) = 2 1 + = = ，

当0 < < 1时， ′( ) > 0， ( )递增，当 > 1时， ′( ) < 0， ( )递减，
所以当 = 1时 ( )取得极大值，也为最大值， (1) = 0，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ( ) ≤ 2 2，从而得证．
( +1)
20.【答案】(Ⅰ)证明： =
( ∈ )①，
2
1( 1+1)
1 = ( ≥ 2)②， 2
2+ 2
① ②得： = 1 1 ( ≥ 2)， 2
整理得：( + 1)( 1 1) = 0，
∵数列{ }的各项均为正数，∴ + 1 ≠ 0，
∴ 1 = 1( ≥ 2)．
= 1时， 1 = 1．
∴数列{ }是首项为1公差为1的等差数列．
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( +1)
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得 = ， 2
2 2 1 1
∴ = 2 = = 2( )． + ( +1) +1
1 1 1 1 1
∴ = 2[(1 )+ ( ) + + ( )] 2 2 3 + 1
1
= 2(1 )
+ 1
2
= ．
+1
√ 3
21.【答案】解：(1)因为椭圆离心率为 ，且过点 (0,1)，
2
√ 3
= =
所以{ 2 = 1 ，解得 = 2， = 1，
2 = 2 + 2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
√ 3 √ 3
(2)证明：若 的斜率不存在，则 (1, )， (1, )，
2 2
3 √ 3 3 √ 3
+
此时 + 2 2 2 21 2 = + = 1， 4 1 4 1
若 的斜率存在，设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
设 的方程为 = ( 1)，
= ( 1)
{ 2 ，得(1 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
2 2
8 4 4
由韦达定理得 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1+4 1+4
3 3
1 2
则 = 2， = 21 ， 1 4 2 2 4
3 3 3
1 2 2 2 2 1 2 (5 + )( + 2 1 2)+4(2 +3)所以 1 + 2 = + = ， 1 4 2 4 1 2 4( 1+ 2)+16
2
36 +12
= 2 = 1，
36 +12
所以 1 + 2 = 1．
22.【答案】解：(1) ′( ) = ，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，无极值，
当 > 0时，令 ′( ) = 0，解得 = ，
当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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∴ ( ) = ( ) = 1，无极大值；
(2) ∵ 1是方程 ( ) = 2的根，
∴ (1) = ，解得 = 1 ，∴ ( ) = ( 1 ) 1，
设 ( ) = ( ) 2 = ( 1 ) 1 2，则 ′( ) = + 1 + 2 ，
设 ( ) = ′( ) = + 1 + 2 ，则 ′( ) = 2 ，
∵ (0) = 0， (1) = 0，且方程 ( ) = 0在(0,1)上有实根，
设 ( 0)= 0， 0 ∈ (0,1)，则 ( )在(0, 0)，( 0 ,1)上不单调，
∴ ′( )在(0, 0)上存在零点，在( 0, 1)上存在零点，
∴ ( ) = 0在(0,1)上至少有两个相异实根，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，不合题意，
当 > 0时，令 ′( ) = 0，解得 = 2 ，
当 ∈ ( ∞, 2 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
当 ∈ ( 2 ,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∴ ( ) = ( 2 ) = 3 2 2 + 1，
设 ( ) = 3 2 2 + 1，则 ′( ) = 1 2 2 ，

令 ′( ) = 0，解得 = √ ，
2
√
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
√ 当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递淢，
2
√
∴ ( ) = ( ) = √ + 1 < 0，∴ ( ) < 0， 2
∴ ( ) = 3 2 2 + 1 < 0，
(0) > 0 2 + > 0
∴ { (1) > 0 ，即{1 > 0 ，解得 2 < < 1，
1
0 < 2 < 1 < <2 2
∴ 的取值范围为( 2,1)，
综上， ( ) = 1，无极大值， 的取值范围为( 2,1)．
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