江西省九江市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

江西省九江市第一中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长
为幼苗的概率为( )
8
A. 0.72 B. C. 0.8 D. 0.5
9
2.已知直线 1：√ 3 + 1 = 0，若直线 2与 1垂直.则 2的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 2
3.已知双曲线 ： 2 = 1的焦距为4√ 3，则 的渐近线方程是( ) 6
√ 3 √ 7
A. = ± B. = ±√ 3 C. = ± D. = ±
3 7
√ 3
4.过点( , 0)且倾斜角为 的直线 交圆 2 + 2 6 = 0于 ， 两点，则弦 的长为( )
3 3
A. 4√ 2 B. 2√ 2 C. 2√ 10 D. √ 10
5.2022年是中国人民解放军空军成立73周年，为增强大学生的国防意识，捍卫国家领空安全，培养爱国主
义精神，某高校特举办相关主题讲座，分为5个部分进行讲解在讲座结束后，该校组织学生座谈会，将学生
分为3个小组，每个小组选取讲座中的某一部分发表感想，则恰好有2个小组针对同一部分发表感想的不同
情况有( )
A. 75种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
6.已知直线 与抛物线 ： = 2 2相交于 ， 两点，若线段 的中点坐标为(1,4)，则直线 的方程为( )
A. 4 = 0 B. 2 = 0 C. 8 6 = 0 D. 2 + 3 = 0
7.如图，二面角 等于120°， 、 是棱 上两点， 、 分别在半
平面 、 内， ⊥ ， ⊥ ，且 = = = 2，则 的长等于( )
A. 2√ 3 B. 2√ 2 C. 4 D. 2
2
2
2 2
8.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点和右焦点，且| 1 2| = ，点 为双曲线
右支上一点， 为△ 1 2的内心，若 △ = + 成立，则 的值为( ) 1 △ 2 △ 1 2
√ 5 1
A. √ 5 1 B. C. √ 2 + 1 D. √ 2 1
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量 服从正态分布 ( , 2)，且 落在区间( 3, 1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等.若
( > 2) = ，则下列结论正确的有( )
A. = 0 B. = 2
1
C. (0 < < 2) = D. ( < 2) =
2
2 210.关于( )5的展开式，下列结论正确的是( )

A. 奇数项的二项式系数和为32 B. 所有项的系数和为 1
C. 只有第3项的二项式系数最大 D. 含 项的系数为 80
11.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为 1 1边的中点，点 在底面 内运动(包括边界
)，则下列说法正确的有( )
A. 存在点 ，使得 1 ⊥ 1
9
B. 过三点 、 、 1的正方体 1 1 1 1的截面面积为 8

C. 四面体 1 1 的内切球的表面积为 3
D. 点 在棱 1上，且 1 = 4 ，若 1 ⊥ ，则满足条件的 的轨迹是圆
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若圆 1：( 1)
2 + 2 = 1与圆 ：( 4)2 22 + =
2( > 0)外切，则 =______．
13.已知一组数据的样本点( , )如表：
2 1 0 1 2
6.8 5.2 2.8 0.9
由上述样本点得到回归方程 = 1.94 + 3.02，则 = ______．
14.设抛物线 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 .若 (3,0)， ( 1,0)，
与 相交于点 ，且 + = ，则△ 的面积为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了推动智慧课堂的普及和应用， 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
1
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 ．
4
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40 ______ ______
城市学校 60 ______ ______
总计 100 60 160
(1)补全上面的列联表，并判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关；(相关计算精确到0.01)
(2)从经常应用智慧课堂的学校中，采用分层抽样的方法抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机
抽取3个学校到所在的地域进行核实，记其中农村学校的个数为 ，求 的分布列和数学期望．
( 2 ≥ 0) 0.500 0.050 0.005
0 0.445 3.841 7.879
2
2 ( )附： = ．
( + )( + )( + )( + )
16.(本小题15分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 (1,2)．
(1)求抛物线方程；
(2)若直线 与抛物线交于 ， 两点，且满足 = 4，求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥 中，四边形 是矩形， ⊥平面 ， ⊥ ， 是 的中点， 是 的中
点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = ， = √ 2 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
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18.(本小题17分)
素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式.它重视人的思想道德素质、能力培养、个
性发展、身体健康和心理健康教育.由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用
五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获
2
胜的概率为 ，且各局比赛之间没有影响．
3
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束时，甲比赛的局数为 ，求 的分布列及其期望．
19.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2√ 2，离心率为 ． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 (4,1)的动直线 与椭圆 相交于不同的 ， 两点，在线段 上取点 ，满足| | | | = | | | |，
证明：点 总在某定直线上．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】1.2
2√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】40 80 20 80
16.【答案】解：(1)由题可知，抛物线的开口向右，可设抛物线
方程为 2 = 2 ， > 0，
因为经过点 (1,2)，
所以4 = 2 ，解得 = 2，
故抛物线的标准方程为 2 = 4 ；
(2)证明：如图，设直线 的方程为： = + ，
= +
联立方程 { 2 ，消去 ，可得
2 4 4 = 0，
= 4
由题意有 > 0，即16 2 + 16 > 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4 ，
由 = ( , ), 1 1 = ( 2, 2)，
2 2
可得

= 1 2 + 1 2 =
2 + 21 2 = 4 = 4， 4
解得 = 2，经验证满足条件，
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所以直线 的方程为 = + 2，
故直线 恒过定点(2,0)．
17.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为各边的中点，
1
所以 // 且 = ，
2
1
// 且 = ，
2
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
所以 面 ， 面 ，
所以 //面 ．
(2)设 = 2，则 = = 2， = 2√ 2，
因为 ⊥ ， = 2，
因为 ⊥面 ，
以 中点 为原点，过点 和 平行的直线为 轴，
如图建立空间直角坐标系：
(√ 2, 0,0)， (0,√ 2, 2)， (0, √ 2, 1)，
所以 = ( √ 2, √ 2, 2)， = ( √ 2, √ 2, 1)，
设 1 = ( , , )是面 的一个法向量，
√ 2 + √ 2 + 2 = 0
则有{ ，
√ 2 √ 2 + = 0
解得 1 = ( 3,1, 2√ 2)，
2 = (1,1,0)是平面 的法向量，
3+1 1
cos < 1 ， 2 >= = ， √ 2√ 18 3
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由图可知面 与面 夹角为锐角，
1
所以面 与面 夹角的余弦值为 ．
3
2 8
18.【答案】解：(1)甲获胜有三种情况，第一种甲以3：0获胜，其概率为( )3 = ，
3 27
第二种甲以3：1获胜，其概率为 1
2 2 2 8
3 × (1 ) × ( )
2 × = ，
3 3 3 27
2 2 16
第三种甲以3：2获胜，其概率为 24 × (1 )
2 × ( )2 = ，
3 3 81
8 8 16 64
所以甲获胜的概率为 + + = ．
27 27 81 81
(2)由题知， 的所有可能的取值为3，4，5，
2
( = 3) = ( )3
1
+ ( )3
1
= ，
3 3 3
( = 4) = 1
2 2 2 2 1 1 10
3 × (1 ) × ( )
2 × + 1 × × ( )2 × = ，
3 3 3 3 3 3 3 27
( = 5) = 2
1 2 2 1 2 1 2 8
4 × ( ) × ( )
2 × + 24 × ( )
2 × ( )2 × = ，
3 3 3 3 3 3 27
所以 的分布列为：
3 4 5
1 10 8

3 27 27
1 10 8 107
所以 ( ) = 3 × + 4 × + 5 × = ．
3 27 27 27
19.【答案】解：(1)因为短轴长为 √ 22√ 2，离心率为 ，
2
2 = 2√ 2
所以{ √ 2 ，①
=
2
又 2 = 2 + 2，②
联立①②，解得 = 2， = √ 2．
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1
4 2
(2)证明：不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( , )， (4, )，
易知直线 的斜率显然存在，
不妨设 的方程为 = ( 4) + 1．
因为 ， ， ， 四点共线，不妨设 2 < < 1 < 4，
此时| | = √ 1 + 2(4 1)，| | = √ 1 + 2( 1 )，| | = √ 1 + 2( 2)，| | = √ 1 + 2(4 2)，
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因为| | | | = | | | |，
所以(4 1)( 2) = ( 1 )(4 2)，
即2 1 2 ( 1 + 2)(4 + ) + 8 = 0，③
2 2
+ = 1
联立{ 4 2 ，消去 并整理得(2 2 + 1) 2 + 4 (1 4 ) + 2(1 4 )2 4 = 0，
= ( 4) + 1
此时 = 16 2(1 4 )2 4(2 2 + 1)(32 2 16 2) > 0，
解得12 2 8 1 < 0，
4 (1 4 ) 2
由韦达定理得 + =
2(1 4 ) 4
1 2 2 ， 1 2 +1 2
= ，2 ④
2 +1
4 +1 7
联立③④，可得 = = 4 ，
+2 +2
7
即 = 4 ，
+2
1
又 = ，
4
7
所以 1 = 4 ，
+2
4
即2 + 2 = 0．
故点 总在一条定直线2 + 2 = 0上．
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