重庆市第二外国语学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市第二外国语学校 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.已知复数 = ，则 =( )

A. 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 1 + 5
2.向量 = (4,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则( )
1 1
A. = 4 B. = 4 C. = D. =
4 4
3.在△ 中， = 60°， = 8， = 4√ 3，则角 的值为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.已知向量 , 满足 ( + ) = 2，且| | = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( )
1 1
A. B. C. D. 1
2 2
5.在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若△ 的面积为8， = 8， = 16，则 =( )
A. 2√ 26 B. √ 26 C. 2√ 10 D. √ 10
6.已知平面向量 ， 满足 = (2,4)，| 2 | = 8且( 2 ) ⊥ ，则| | =( )
A. 10 B. 12 C. 2√ 5 D. 2√ 6
7.在复平面内，复数 = + ( ∈ , ∈ )对应向量 ( 为坐标原点)，设| | = ，以射线 为始边，
为终边逆时针旋转的角为 ，则 = ( + )，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1 = 1( 1 +
1)， 2 = 2( 2 + 2)，则 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + ( 1 + 2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘
方公式： = [ ( + )] = ( + )，则复数( 1 + √ 3 )14所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.如图，在三棱锥 中， = = = = 6， = = 4， ，
分别是 ， 的中点.则异面直线 ， 所成角的余弦值为( )
5
A.
8
3
B.
8
7
C.
8
7
D.
8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{ 1 , 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的( )
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1
A. { 1 2 , 2 1} B. {2 1 2 , 1 2 2
}
C. {2 2 3 1 , 6 1 4 2} D. { 1 + 2 , 1 + 3 2}
10.下列命题正确的是( )
A. 复数 = 2 2 + 3的虚部为 1

B. 设 为复数，(1 ) = 1 + ，则| | = 2
C. 若复数 = + ( , ∈ )为纯虚数，则 = 0， ≠ 0
D. 复数2 3 + 8在复平面内对应的点在第四象限
11.在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 ， 1， 1的中点，则( )
A. 直线 1与直线 异面
B. 直线 1 与平面 平行
1
C. 三棱锥 的体积是正方体 1 1 1 1体积的 12
D. 平面 截正方体所得的截面是等腰梯形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.已知复数 = + 2 ( 为虚数单位)，则| | = ______．
1+
13.已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为______．
2
14.在△ 中，∠ = , 在边 上，且 平分∠ ，若 = 2 = 4，则 的长为______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知( + 2 ) + = 0．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 = 6，△ 的周长为6 + 4√ 3，求△ 的面积．
16.(本小题15分)
如图，在四边形 中， ⊥ ， // ， = 3， = 2， = 2√ 2，∠ = 45°，四边形 绕
着直线 旋转一周．
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(1)求所形成的封闭几何体的表面积；
(2)求所形成的封闭几何体的体积．
17.(本小题15分)
已知向量 = ( 4,8)， = ( , 4)，
(Ⅰ)若 //( + )，求实数 的值；
1
(Ⅱ)若 ⊥ ( )，求向量 与 的夹角的余弦值．
2
18.(本小题17分)
如图， 是平行四边形 所在平面外一点， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 是 上异于 、 的点．连结 交 于 ，连结 交 于 ，求证： // ．
19.(本小题17分)
3( ) 3 2
已知△ 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，且 = ．
+
(1)求 ；
16
(2)若△ 的面积为 √ 2；
3
①已知 为 的中点，求△ 底边 上中线 长的最小值；
②求内角 的角平分线 长的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 10
12.【答案】
2
13.【答案】6
4√ 7
14.【答案】
7
2 2 2 2 + + 2 2
15.【答案】解：(Ⅰ)由( + 2 ) + = 0，得( + 2 ) + = 0，
2 2
2
2
+ 2 1 2
去分母，整理得 2 + 2 2 = ，可得 = = ，结合 ∈ (0, )，可得 = ；
2 2 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，得 2 + 2 + = 2 = 36，即( + )2 = 36，
因为△ 的周长 + + = 6 + 4√ 3，所以 + = 4√ 3，可得(4√ 3)2 = 36，解得 = 12，
1 1 √ 3
因此，△ 的面积 = = × 12 × = 3√ 3．
2 2 2
16.【答案】解：如图：
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过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ = 2√ 2，∠ = 45°，∴ = = 2，
∴ = 1，
则四边形 绕着直线 旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为2，高为1的圆柱及一个底面半
径为2，高为2的圆锥的组合体．
(1)所形成的封闭几何体的表面积 = × 22 + 2 × 2 × 1 + × 2 × 2√ 2 = (8 + 4√ 2) ；
1 20
(2)所形成的封闭几何体的体积 = × 22 × 1 + × × 22 × 2 = ．
3 3
17.【答案】解：(Ⅰ)已知向量 = ( 4,8)， = ( , 4)，
则 + = ( 4,4)，
又 //( + )，
则( 4) × 4 = 8( 4)，
即 = 2；
1
(Ⅱ)由题意可得 = ( 2 , 8)，
2
1
又 ⊥ ( )，
2
则( 4) × ( 2 ) + 8 × 8 = 0，
即 = 18，
则 = ( 18, 4)，
( 4)×( 18)+8×( 4) √ 17
则cos < , >= = = ，
| || | √ 16+64√ 324+16 17
√ 17
则向量 与 的夹角的余弦值为 ．
17
18.【答案】证明：(1)连结 ，交 于 ，
连结 ，则 是 的中点，
又 是 的中点，∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)由(1)知 //平面 ，
又平面 ∩平面 = ，
∴根据线面平行的性质定理得： // ．
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3( ) 3 2 2
19.【答案】解：(1)由正弦定理得 = ，即 2 + 2 2 = ，
+ 3
2 2 2 + 2 1
由余弦定理有 = = 3 = ，又 ∈ (0, )，
2 2 3
1 2√ 2
所以 = √ 1 cos2 = √ 1 = ；
9 3
2√ 2 16
(2)①由(1)知 = ，又△ 的面积为 √ 2，
3 3
1 16
则 = √ 2，解得 = 16，
2 3
也
1
= ( + )，
2
2 2 2
则
1 1 1 2
= ( + + 2 ) = ( 2 + 2 + 2 ) = ( 2 + 2 + )
4 4 4 3
1 2 1 8 32
≥ (2 + ) = × = ，
4 3 4 3 3
当且仅当 = 时，等号取得到，
所以| 2
32
| ≥ |
4√ 6
| ≥ ；
3 3
1
②由题sin∠ = sin∠ = ， △ + △ = △ ， 2
1 1 1
所以 | | + | | = = cos ，
2 2 2 2 2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以sin ≠ 0，
2

所以| |( + ) = 2 ，
2
1 2 √ 6
又 = 2 2 1 = cos2 = cos = ， = 16，
2 3 2 3 2 3
√ 6 32√ 6
故| |( + ) = 2 = 2 × 16 × = ，
2 3 3
由基本不等式 + ≥ 2√ = 8，当且仅当 = = 4时，等号取得到，
32√ 6
故 = | |( + ) ≥ 2√ | | = 8| |，
3
4√ 6 4√ 6
故| | ≤ ，所以| |
3
= ．
3
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