海南省儋州市某中学2024-2025学年高二下学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

海南省儋州市某中学 2024-2025 学年高二下学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 1 ，则| | =( )
A. 1 B. 1 C. √ 2 D. 2
2.下列命题中为真命题的是( )
A. 1： ∈ ，
2 + 1 < 0 B. 2： ∈ ， + | | > 0
C. 3： ∈ ，| | ∈ D. 4： ∈ ，
2 7 + 15 = 0
3.平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且 ⊥ ( )，则| 2 | =( )
A. √ 13 B. 13 C. √ 21 D. 21
4.某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：126，137，118，129，140，乙：115，125，117，
119，124，则下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较大
C. 乙成绩的极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定
5.长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
4 2 4 2 16 4 16 4

6.关于函数 ( ) = 1 + , ∈ ( , 2 ]的图像与直线 = (为常数)的交点情况，下列说法正确的是( )
3
A. 当 < 0或 ≥ 2，有0个交点
3
B. 当 = 0或 ≤ ≤ 2，有1个交点
2
3
C. 当0 < ≤ ，有2个交点
2

D. 当有两个交点时，设两个交点的横坐标为 1， 2，则 1 + 2 = 2
7.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60 ，40 ，容积为190 (厚度忽略不计)，则该油槽的
侧棱与底面所成角的正切值为( )
3√ 2 3√ 2 15√ 2 15√ 2
A. B. C. D.
800 400 8 4
8.若 + + = 4，3 + 2 = 0，则 的最大值为( )
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
6 6 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数 ( ) = 2 ，下列选项中正确的有( )
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A. ( )在( , )上单调递减 B. ( )的图象关于原点对称
4 2
C. ( )的最小正周期为2 D. ( )的最大值为2
10.设 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，直线 ：2 + 2 = 0( ≠ 0)与 的准线 1，交于点 .已知 与 相切，
切点为 ，直线 与 的一个交点为 ，则( )
A. 点( , )在 上 B. ∠ < ∠
C. 以 为直径的圆与 相离 D. 直线 与 相切
11.已知函数 ( ) = 3 + 1，则( )
A. ( )有两个极值点 B. ( )有三个零点
C. 点(0,1)是曲线 = ( )的对称中心 D. 直线 = 2 是曲线 = ( )的切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 为等差数列{ }的前 项和.若 1 = 3， 2 + 6 = 0，则 10 = ______．
13.已知 为第一象限角， 为第三象限角， + = 4， = √ 2 + 1，则sin( + ) = ______．
14.2023年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中.目前病毒减员情况已
经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍 、 、 、 ，
前往四所高中 、 、 、 进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有______(请用数字作答)种
的不同的派遣方法.如果已知 教师队伍被派遣到 高中，那么此时 教师队伍被派遣到 高中的概率是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 .已知√ 3 = √ 3 + ．
(1)求角 的大小；
(2)当 = 2√ 2， = 2√ 3时，求边长 ．
16.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = ( + 1) ( ∈ )．

(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程；
(2)若 ( )既存在极大值，又存在极小值，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在底面 是矩形的四棱锥 中， = 1, = 2, = = √ 6，点 在底面 上的
射影为点 ( 与 在直线 的两侧)，且 = 2．
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(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有 、 两类关键元素含量指标需要检测，设两元
3 8
素含量指标达标与否互不影响.若 元素指标达标的概率为 ， 元素指标达标的概率为 ，按质量检验规定：
4 9
两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，求 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4个，设 表示其中合格品的个数，求 分布列及 ( )．
19.(本小题17分)
在等比数列{ }中，已知 1 = 2， 4 = 16．
(1)若 = + log2 ，求数列{ }的前 项和 ；
2 2
(2)若以数列{ }中的相邻两项 ， 1构造双曲线系 ： = 1( 2 且 ∈

2 2 ).求证：双曲线系 中 1
所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】15
2√ 2
13.【答案】
3
1
14.【答案】24
3
15.【答案】解：(1)由正弦定理得√ 3 = √ 3 + ，
由于 = ( + )，
则√ 3sin( + ) = √ 3 + ，
展开得√ 3 + √ 3 = √ 3 + ，即√ 3 = ，
因为 ≠ 0，
化简得√ 3 = ，
则 = √ 3，
又0 < < ，

所以 = ；
3
2√ 3 2√ 2 √ 2
(2)由正弦定理，得 = = ，即有 = ，
sin 2
3
因为 < ，

所以 是锐角，即 = ，
4
5
所以 = = = ，
4 3 12
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2√ 3 √ 6+√ 2
由正弦定理可得 = × = 4(sin cos + sin cos ) = 4 × = √ 6 + √ 2，
sin 6 4 4 6 4
3
所以 = √ 6 + √ 2．
1
16.【答案】解：(1)因为 = 1， ( ) = ，

1
所以 ′( ) = 1 + 2，
1 1 2 1
因此 ′( ) = 2 1 = ， ( ) = ， 2
1 1 2
所以曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 + + =
2
( )，
1 2 2
即 = ；
2
1
(2)因为 ( ) = ( + 1) ，

2 ( +1) +1 ( 1)( 1)
所以 ′( ) =
2
= =
2
又因为 ( )既存在极大值，又存在极小值，则 ≠ 0，
1
( )( 1)
所以 ′( ) = ，
2
1
> 0
由题意得，{ ，解得 > 0且 ≠ 1，
1
≠ 1

所以实数 的取值范围为{ | > 0且 ≠ 1}．
17.【答案】解：(1)证明：连接 ，
因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 = = √ 6, = 2，所以 = = √ 2，
又 = 2，故 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，△ 为等腰直角三角形，
而 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)由(1)知， ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (√ 2, 0,0), (0,0,2)，
由∠ = 90° + 45° = 135°
3√ 2 √ 2
，得∠ = 45°，可得点 坐标为( , , 0)，
2 2
√ 2 3√ 2
同理得 ( , , 0)，
2 2
3√ 2 √ 2所以 = ( √ 2, 0,2), = ( , , 2), = ( √ 2, √ 2, 0)，
2 2
设 = ( 1, 1, 1)为平面 的法向量，
√ 2 1 + 2 1 = 0
则{ ⊥ ，即{ = 0，即{ 3√ 2 √ 2 ，
⊥ = 0 1 2 2 1 + 2 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = √ 2, 1 = √ 2，得平面 的一个法向量 = (√ 2, √ 2, 1)，
设 = ( 2, 2, 2)为平面 的法向量，
3√ 2 √ 2
⊥ 则{
+ 2 = 0
，即{ = 0，即{ 2 2 2 2 2 ，
⊥ = 0 √ 2 2 + √ 2 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = 1, 2 = √ 2，得平面 的一个法向量 = (1,1, √ 2)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | √ 2 √ 10
则 = |cos < , > | = = = ，
| || | √ 5×√ 4 10
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 10．
10

18.【答案】解：(1)令 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则 是 ， 都不达标的
事件，
1 1 35
因此 ( ) = 1 ( ) = 1 × = ，
4 9 36
35
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为 ；
36
3 8 2
(2)依题意， ， 两类元素含量指标都达标的概率为 × = ，
4 9 3
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2
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然 ～ (4, )，
3
1
则 ( = 0) = ( )4
1 2 1 8 2 1 8
= ， ( = 1) = 14 × × ( )
3 = ， ( = 2) = 2 2 2
3 81 3 3 81 4
× ( ) × ( ) = ，
3 3 27
3 2 3 1 32 2 16 ( = 3) = 4 × ( ) × = ， ( = 4) = ( )
4 = ，
3 3 81 3 81
所以 的概率分布为：
0 1 2 3 4
1 8 8 32 16

81 81 27 81 81
1 8 8 32 16 8
则 ( ) = 0 + + 1 × + 2 × + 3 × + 4 × = ．
81 81 27 81 81 3
19.【答案】(1)解：在等比数列{ }中，由 1 = 2， 4 = 16，
3 4 3得公比 = √ = √8 = 2， 1
∴ = 2 × 2
1 = 2 ，
∴ = + log = 2

2 + 22
= + 2 ，
则 = (1 + 2+. . . + ) + (2
1 + 22+. . . +2 )
(1+ ) 2×(1 2 ) 2+
= + = + 2 +1 2；
2 1 2 2
2 2
(2)证明：双曲线系 ： 2 2 = 1的实半轴长为 = = 2
，
1
虚半轴长为 = = 2 1 1 ，
2 1 1
则其渐近线方程为 = ± = ±
2
= ± ，
2
= √ 2 + 2 = √ 22 + 22 2，
√ 22 +22 2 22 +22 2√ 1 √ 5离心率 = = = 2 = √ 1 + = ． 2 2 4 2
∴双曲线系 中所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
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