2023-2024学年陕西省西安市莲湖区高二(上)期末数学试卷(含答案)

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名称 2023-2024学年陕西省西安市莲湖区高二(上)期末数学试卷(含答案)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-04 08:51:07

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文档简介

2023-2024学年陕西省西安市莲湖区高二(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知为双曲线:的一个焦点,则的渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的首项,且,则( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中,为的中点,则( )
A.
B.
C.
D.
5.某学习小组研究一种卫星接收天线如图所示,发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处如图所示已知接收天线的口径直径为,深度为,则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.若直线与圆:相离,则过点的直线与椭圆的交点个数是( )
A. 或 B. C. D.
7.设为等差数列的前项和,若,,则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线:的左、右焦点分别为,过的直线交双曲线右支于,
两点,且,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.关于空间向量,以下说法正确的是( )
A. 若非零向量,,满足,,则
B. 若对空间中任意一点,有,则,,,四点共面
C. 若空间向量,,则在上的投影向量为
D. 已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则或
10.已知圆:和圆:,是圆上一点,是圆上一点,则下列说法正确的是( )
A. 圆与圆有四条公切线
B. 两圆的公共弦所在的直线方程为
C. 的最大值为
D. 若,则过点且与圆相切的直线方程为
11.已知数列满足,,为的前项和,则( )
A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递减数列 D. 当或时,取得最大值
12.已知是椭圆:的右焦点,直线与椭圆交于,两点,,分别为,的中点,为坐标原点,若,则椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若直线与直线关于直线对称,则直线的一般式方程为______.
14.已知空间中的三点,,,则点到直线的距离为______.
15.已知,,是抛物线:上的一点,则周长的最小值为______.
16.如图所示的数阵由数字和构成,将上一行的数字变成个,数字变成个,得到下一行的数据,形成数阵,设是第行数字的个数,是第行数字的个数,则 ______, ______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过点和,且圆心在直线:上.
求圆的标准方程;
经过点的直线与垂直,且与圆相交于,两点,求.
18.本小题分
已知数列的前项和为,且.
求的通项公式;
设,求数列的前项和.
19.本小题分
一动圆经过点且与直线相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线.
求曲线的方程;
若直线与交于,两点,且线段的中点坐标为,求直线的方程.
20.本小题分
在正三棱柱中,,为的中点.
证明:平面.
求平面与平面夹角的余弦值.
21.本小题分
已知是首项为的等差数列,是公比为的等比数列,且,.
求和的通项公式;
在中,对每个正整数,在和之间插入个,得到一个新数列,设是数列的前项和,比较与的大小关系.
22.本小题分
已知椭圆的上、下顶点分别是,,点异于,两点在椭圆上,直线与的斜率之积为,椭圆的长轴长为.
求的标准方程;
已知,直线与椭圆的另一个交点为,且直线与相交于点,证明:点在定直线上.
参考答案
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15.
16.
17.解:设圆的方程为,则,
解得,所以圆的方程为;
由题可设直线的方程为因为点在上,
所以,解得,即的方程为,
又圆心到直线的距离为,所以.
18.解:当时,,
当时.,
又也符合,
所以的通项公式为;

则.
19.解:设动圆半径为,圆心为,
则,点到直线的距离为.
又点不在直线上,
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
所以曲线的方程为.
设,,则,
两式相减得,即.
因为线段的中点坐标为,
所以,则,即直线的斜率为,
所以直线的方程为,即.
20.证明:连接,与交于点,连接,则为的中点.
因为为的中点,所以中,是中位线,,
又因为平面,平面,所以平面;
解:取的中点,连接,则,结合平面,可得底面,
根据是等边的中线,可得.
因为底面,底面,所以,
以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则,,,,,
所以,,,.
设平面的法向量为,则,取,得,,
即为平面的一个法向量.
同理算出平面的一个法向量为,
因为,
即平面与平面夹角的余弦值为.
21.解:是首项为的等差数列,是公比为的等比数列,且,.
设数列的公差为,
所以,,,
解得,,
所以,;
因为,
当时,,
所以,
因为,
令,
则,
两式相减得,
所以,
所以,
故.
22.解:由题意可得,,,可得,
设,
则,所以,
因为点在椭圆上,所以,
所以,
则,
所以,
故椭圆的标准方程为:;
证明:设,,显然直线不垂直于轴,
设直线的方程为,
由消去得,
因为点在椭圆的内部,
所以,
设直线的方程为,
直线的方程为,
所以,
由知,可得,

因此,即点在直线上.
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