辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省大连市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线 的倾斜角为 ，且过点(1,3)，则它在 轴上的截距为( )
4
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2.( + )8的展开式中，二项式系数最大的是( )
A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项
3.从抛物线 2 = 2 上一点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，设抛物线的焦点为 ，若△ 是正三角形，
则| | =( )
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
4.在空间中，“经过点 ( 0, 0, 0)，法向量为 = ( , , )的平面的方程(即平面上任意一点的坐标( , , )满
足的关系式)为： ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0”.用此方法求得平面 和平面 的方程，化简后的结
果为 + = 1和 + 2 = 6，则这两平面所成角的余弦值为( )
√ 2 √ 2 √ 7 √ 7
A. B. C. D.
3 3 3 3
5.用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有( )个．
A. 18 B. 36 C. 72 D. 86
6.三棱柱 1 1 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
则异面直线 1与 1所成角的余弦值为( )
√ 3
A.
3
√ 6
B.
6
√ 3
C.
4
√ 3
D.
6
2 2
7.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，
并与双曲线 交于点 ，且有 = 2 ，则双曲线 的离心率为( )
2√ 3 √ 5
A. √ 5 B. 2 C. D.
3 2
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2 2 2 2
8.若椭圆 1和 2的方程分别为 2 + 2 = 1( > > 0)和 2
+ 2 = ( > > 0, > 0且 ≠ 1)，则称 1和 2为

2 2 2 2
相似椭圆，已知椭圆 1： + = 1， 2： + = (0 < < 1)，过 2上任意一点 作直线交 1于 ， 两4 3 4 3
点，且 + = 0 ，则△ 的面积最大时， 的值为( )
1 1 3 √ 3
A. B. C. D.
3 2 4 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知双曲线 的方程为 = 1，则下列说法正确的是( )
9 16
3
A. 双曲线 的实轴长为6 B. 双曲线 的渐近线方程为 = ±
4
C. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为4 D. 双曲线 上的点到焦点距离的最小值为8
10.已知抛物线 = 4 2的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 点 的坐标为(0,1)
1
B. 若 = ，则以 为直径的圆与直线 = 相切
16
1
C. 若直线 过定点(0, )，则以 为直径的圆过坐标原点
4
15
D. 若| | = 2，则线段 的中点 到 轴的距离的最小值为
16
11.已知正方体 1 1 1 1棱长为1，以 为坐标原点， ， ， 1的
方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是( )
2√ 3
A. 点 到平面 1 1的距离为 3
1 1 1B. 1在 1 上的投影向量是( , , ) 3 3 3
5 2 2
C. 点 关于平面 1 1的对称点坐标为( , , ) 3 3 3
2√ 6
D. 点 在△ 1 1内部，| | = 1，则点 的轨迹长为 3
12.已知 ( ) = ( + √ 3) ，( ∈ )，则下列结论正确的是( )
A. 若 ( 1) = + √ 3 ， ， ∈ ，则 4 + 4 = 12
B. (1) ( 1)是整数
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C. 2 1( 1) = 2 1(1) [ 2 1(1)]，([ ]是不大于 的最大整数)
D. (1) = + √ 3
2 2
， ， ∈ ，则 2 3 2 = 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知圆 21： +
2 = 1与圆 ：( + )2 + ( + )22 = 1( > 0)外切，则实数 = ______．
14.如图所示，用一束与平面 成60°角的平行光线照射球 ，在平面 上
形成的投影为椭圆 及其内部，则椭圆 的离心率为______．
15.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到 、 、 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项
活动都需要有人参加，其中甲必须参加 活动，则不同的分配方法有______种. (用数字作答)
16.已知三棱锥 顶点均在一个半径为5的球面上， ⊥ ， = 8， 到底面 的距离为5，则
2 + 2 + 2的最小值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆 的圆心坐标为(2,1)，与直线 + 1 = 0交于 ， 两点，且| | = 2√ 2．
(Ⅰ)求圆 的标准方程；
(Ⅱ)求过点 (4,4)的圆 的切线方程．
18.(本小题12分)
3 1
在平面直角坐标系 中，动点 到点( , 0)的距离比点 到直线 + 1 = 0的距离大 ．
2 2
(Ⅰ)求点 的轨迹 的方程；
(Ⅱ)直线 与轨迹 交于 ， 两点，若线段 的中垂线为 + 5 = 0，求线段 的长．
19.(本小题12分)
三棱台 1 1 1中， = 2 1 1， ⊥ ， ⊥ 1，平面 1 1 ⊥平面 ， = 3， = 2，
1 = 1， = 2 ， 1 与 1交于 ．
(Ⅰ)证明： //平面 1 1；
(Ⅱ)求异面直线 1 1与 的距离．
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20.(本小题12分)
2 2
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距为4，且过点 (√ 6, 1)．
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知点 ( , 2)， > 0，若存在过点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，且以 为直径的圆过点 (0,2)，
( )．
( )证明：直线 过定点；
( )求直线 的斜率的取值范围．
21.(本小题12分)
在平面四边形 中， ⊥ ， = = 1， = 2，平面 外动点 满足： = 2，点 在平面
内的射影在直线 上， //平面 ．
(Ⅰ)证明： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
22.(本小题12分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1，点 (4,0)，经过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，过点 、 分别作
4
双曲线 的切线，两切线交于点 . (二次曲线 2 + 2 = 1在曲线上某点( 0, 0)处的切线方程为 0 +
0 = 1)
(Ⅰ)求证：点 恒在一条定直线 上；
(Ⅱ)若两直线 与 交于点 ， = ， = ，求 + 的值；
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(Ⅲ)若点 、 都在双曲线 的右支上，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，记△ ，△ ，
△ 的面积分别为 1， 2， 3，问：是否存在常数 ，使得 1
2
2 = 3？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】√ 2
1
14.【答案】
2
15.【答案】50
16.【答案】186 8√ 21
17.【答案】解：(1)由题意圆心为(2,1)，直线 + 1 = 0，
|2 1+1| 2
所以圆心到直线的距离 = = = √ 2，
√ 1+1 √ 2
又因为| | = 2√ 2，设圆的半径为 ，
根据勾股定理| | = 2√ 2 2，
所以2√ 2 = 2√ 2 2，
解得 2 = 4，
所以原 的标准方程为( 2)2 + ( 1)2 = 4；
(2)易知点 (4,4)不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为 4 = ( 4)，即 4 + 4 = 0，
|2 1+4 4 |
由圆心到切线的距离等于半径得 = 2，
√ 2 +1
5
解得 = ，
12
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所以所求切线的方程为5 12 + 28 = 0；
②当所求切线的斜率不存在时，
切线方程为 = 4；
综上，所求切线的方程为 = 4或5 12 + 28 = 0．
1 3
18.【答案】解：(Ⅰ)设点 ( , )，根据题意有| + 1| + = √ ( )2 + ( 0)2，
2 2
1 3 3
当 < 1时， 1 + < + ≤ √ ( )2 + ( 0)2，不符合题意，
2 2 2
当 ≥ 1时，化简得 2 = 6 ，
所以点 的轨迹 的方程为 2 = 6 ；
(Ⅱ)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 的中点 ( 0, 0)，

由 与直线 可知，直线 的斜率 = 2
1 = 1，
2 1
2
2 = 6
由点 ( 1, 1)， ( 2, 2)在抛物线 = 6 可知，{
1 1，
22 = 6 2
所以( 1 + 2)( 1 2) = 6( 1 2)，
即 1 + 2 = 6，
即 0 = 3，所以 0 = 2，
所以直线 的方程为 3 = 2，即 + 1 = 0，
2 = 6
联立方程{ ，即 2 4 + 1 = 0，
+ 1 = 0
易知 > 0， 1 + 2 = 4， 1 2 = 1，
所以| | = √ (1 + 2)| |21 2 = √ (1 + 2)[( 1 + 2)2 4 1 2 22] = √ (1 + 1 )(4 4) = 2√ 6．
19.【答案】(Ⅰ)证明：因为 = 2 1 1，
所以由三棱台的性质知， = 2 1 1，且 // 1 1，
所以△ ∽△ 1 1 ，

所以 = = 2，即 = 2 ，
11 1 1
因为 = 2 ，
所以 // 1 ，
又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(Ⅱ)解：因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，
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因为 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1，
又 ⊥ 1， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
故 AB， ， 1两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
3
则 (0,0,0)， 1( , 0,1)， 1(0,1,1)， (1,0,0)， 2
3
所以 1 = ( , 0,1)， 1 = (0,1,1)， = (1,0,0)， 2
由(Ⅰ)知， //平面 1 1，
因为 1 1 平面 1 1，
所以异面直线 1 1与 的距离等价于直线 到平面 1 1的距离，即点 到平面 1 1的距离，

3
= 0 + = 0
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，则{
1 ，即{2 ，
1 = 0 + = 0
取 = 3，则 = 3， = 2，所以 = (2,3, 3)，
| | 2 √ 22
所以点 到平面 1 1的距离为 = = ， | | √ 4+9+9 11
故异面直线 1 1与 的距离为
√ 22．
11
2 = 4
6 1
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ 2 + 2 2 2 = 1 ，解得 = 8， = 4，
2 2 = 2
2 2
所以椭圆 的标准方程为： + = 1；
8 4
(Ⅱ)证明：( )由题可知，直线 的斜率存在，
设 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
与椭圆联立得：(2 2 + 1) 2 + 4 + 2 2 8 = 0，
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2 2 4 2
2 8
= 8(8 + 4 ) > 0，由韦达定理得： 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
由题意知，以 为直径的圆过点 ，
∴ = ( 1, 1 2) ( 2, 2 2) = 1 2 + ( 1 + 2)( 2 + 2)
= ( 2 + 1) 1 2 + ( 2)( 1 + 2) + ( 2)
2 = 0，
2 22 8 4 即( + 1) 2 + ( 2)
2
2 + ( 2) = 0，
2 +1 2 +1
2
整理得：( 2)(3 + 2) = 0，∵ ，∴ ≠ 2，∴ = ，
3
2
所以直线 过定点(0, )；
3
2 2 +
解：( ) ∵ > 0，∴ = 3
2 2 2√ 6
= + ≥ 2√ = ，
0 3 3 3
√ 6
当且仅当 = 时取等号，
3
2√ 6
即直线 斜率范围[ , +∞)．
3
21.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
过点 作 ⊥ 于点 ，
因为点 在平面 内的射影在直线 上，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(Ⅱ)过点 作 ⊥平面 ，
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系，
设 ( , 0, )，由 = 2，得 2 + 2 = 4，
由题知， ∈ ( 2,2)， (0,1,0)， (1,2,0)，
所以 = ( , 1, )， = (1,1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 1 1 + 1 = 0则有{ ，令 1 = ，得 = ( , , 1 + )，
= 1 + 1 = 0
又因为 = ( , 0, )，
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√ 2
所以|cos <
| + + | 4 1 1 1 1
, > | = = = × √ 2 = × 2 2√ 9+2 2 2 9+2 2 √ 5+2 ， √ 2+ 2√ 2 2+(1+ ) +14 2 4 2
5+2 4 4
设 = 5 + 2 ， 2 = = =4 2( 5) 9 2+10 9
4 ( + )+10
，

4
9
因为 ∈ ( 2,2)，所以 ∈ (1,9)，则 + ∈ [6,10)，当且仅当 = 3时，
√ 2
|cos < , > |有最大值 ，
4
所以 与平面 所成角的正弦值的最大值为√ 2．
4
22.【答案】解：(Ⅰ)证明：设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，

由题意得：切线 的方程为： 1 = 1，将点 代入得： 1 01 1 0 = 1， 4 4

同理可得： 2 0 = 1，
4 2 0

易知点 ， 都在直线 0 0 = 1上， 4

所以直线 的方程为： 0 0 = 1， 4
因为直线 过点 (4,0)，所以 0 = 1，
所以点 恒在定直线 ： = 1上；
(Ⅱ)设 (1, 2)，因为 = ，
1+4
1 = ( 4) 1 =
所以{ 1 1 ，整理得{ 1+ ， 3 1 = 1 31 = 1+
1+4 2
因为点 ( 1,
( )
1)在双曲线上，所以 1+

( 3 )2 = 1，
4 1+
整理得12 2 4 23 3 = 0，
同理可得12 2 4 23 3 = 0，
所以 ， 是关于 的方程12 2 4 23 3 = 0的两个实根，
所以 + = 0；
2
(Ⅲ)设 ： = + 4

，与 ： 2 = 1联立得：( 2 4) 2 + 8 + 12 = 0，
4
8 12
所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 4 4
因为直线 的方程为 = 1，
所以 (1, 1) (1, 2)，
1 1 1
所以 1 = | | | 1| = | 1 1| | 1| = | 1 + 3| | 1|， 2 2 2
1 3
同理 2 = | 2 + 3| | 2|， 3 = | 1 2|， 2 2
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1 2 12 24
2
| 1 2| | 1 2+3 ( 1+ 2)+9|
| +9|
所以 = 1 2 = 4 =
2 4 2 4 1，
2 9 2 8 2 48
=
3 ( 1 2) 9[( 2 ) ]
4
4 4 2 4
1 1
故存在 = ，使得 2
4 1
2 = ． 4 3
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