福建省莆田市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省莆田市第四中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 + 2 + ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 2 + > 0 B. ∈ ， 2 + 2 + ≤ 0
C. ∈ ， 2 + 2 + < 0 D. ∈ ， 2 + 2 + > 0
2.已知集合 = { 1,0,1}， = { | = 2 1, ∈ }，则 ∩ 等于( )
A. { 1,0,1} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,1}
3.已知 = 46, = 56, = 0.2
1.2，则下列判断正确的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
12 1
4.若正实数 ， 满足 + 3 = 1.则 + 的最小值为( )

A. 12 B. 25 C. 27 D. 36
5.函数 ( ) = √ 2 2 的单调递减区间是( )
A. [ 1,0] B. [0,1] C. [2, +∞) D. ( ∞, 2]
6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明 《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设
初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1 + 1%)35 = 1.01345；如果每天的“退步率”
1.01365 1.01
都是1%，那么一年后是(1 1%)365 = 0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的 365
0.99365
= ( ) ≈ 1481
0.99
倍.照此计算，大约经过( )天“进步者”是“退步者”的2倍. (参考数据： 1.01 ≈ 0.00432， 0.99 ≈
0.00436， 2 ≈ 0.3010)
A. 33 B. 35 C. 37 D. 39
3 2
+ , ≥ 1,
7.已知函数 ( ) = { 在 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
( + 2) 4, < 1
2 1 1
A. [ , 1] B. [ , 1] C. ( 2,1] D. ( 2, ]
3 2 2
|2 1|, ≤ 2
8.已知函数 ( ) = { ，若方程[ ( )]2 ( + 1) ( ) + = 0有五个不同的实数根，则实数 的
5 , > 2
取值范围为( )
A. 0 B. (0,1) C. [0,1) D. (1,3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的函数是( )
1
A. = 2 B. = | | C. = D. = 2

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10.下列命题为假命题的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2 B. 若 > > 0，则 2 > 2
1 1
C. 若 < < 0，则 2 < < 2 D. 若 < < 0，则 <

11.已知定义在( ∞, 0) ∪ (0, +∞)上的函数 ( )，满足 ( ) + 2 = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) > 2，
则( )
A. ( 1) = 1 B. ( )为偶函数
C. (2025) > (2024) D. 若 ( + 2) < 2，则 3 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若幂函数 ( ) = ( 2 7 + 11) 3是奇函数，则 = ______．
13.设 = ( )是定义在 上的函数，满足 ( ) ( ) = 0，且 (1 + ) (1 ) = 0；当0 ≤ ≤ 1时，
( ) = 2(
2 + 1) + 2 ，则 (985) = ______．
14.若函数 = ( )满足在定义域内的某个集合 上，对任意 ∈ ，都有 [ ( ) ]是一个常数 ，则称
( )在 上具有 性质.设 = ( )是在区间[ 2,2]上具有 性质的函数，且对于任意 1， 2 ∈ [ 2,2]，都有
[| ( 1)| | ( 2)|]( 1 2) > 0成立，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 3 10 ≤ 0}， = { | 2 4 + 4 2 ≤ 0, ∈ }．
(1)若 = 3，求 ∩ ；
(2)若存在正实数 ，使得“ ∈ “是“ ∈ “成立的充分不必要条件，求正实数 的取值范围．
16.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 3 + ．
| |+1
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)用定义证明：函数 ( )在(0, +∞)上是增函数．
17.(本小题12分)
某高校为举办百年校庆，需要40 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务.社团已有
的设备每天最多可制备氦气8 ，按计划社团必须在30天内制备完毕.社团成员接到任务后，立即以每天 的
速度制备氦气.已知每制备1 氦气所需的原料成本为1百元.若氦气日产量不足4 ，日均额外成本为 1 =
9
4 2 + 16(百元)；若氦气日产量大于等于4 ，日均额外成本为 2 = 17 + 3(百元).制备成本由原料成本
和额外成本两部分组成．
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(1)写出总成本 (百元)关于日产量 ( )的关系式．
(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．
18.(本小题12分)
3
已知函数 ( ) = +1 是定义域为 的奇函数． 3 +
(1)求 ， ；
(2)若方程 (4 + 1) + ( × 2 +2) = 0恰有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
若函数 = ( )对定义域内的每一个值 1，在其定义域内都存在唯一的 2，使 ( 1) ( 2) = 1成立，则称该
函数为“依赖函数”．
(1)判断函数 ( ) = 是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2 2在定义域[ , ]( > > 0)上为“依赖函数”，求 的取值范围；
3 3
(3)已知函数 ( ) = ( )2( ≤ 3)在定义域[ , 3]上为“依赖函数”.若存在实数 ∈ [ , 3]，使得对任意的
2 2
∈ ，不等式 ( ) ≥ 2 + ( ) 恒成立，求实数 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】3
14.【答案】[ 4, 4]
15.【答案】解：(1) 2 3 10 ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 5，
所以 = { | 2 ≤ ≤ 5}，
当 = 3时，可得 2 4 5 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 5，
所以 = { | 1 ≤ ≤ 5}，
所以 ∩ = { | 1 ≤ ≤ 5}．
(2) 2 4 + 4 2 ≤ 0，
所以( 2 + )( 2 ) ≤ 0，又 > 0，
解得2 ≤ ≤ 2 + ，所以 = { |2 ≤ ≤ 2 + , ∈ }，
由题意得 ，
2 ≤ 2
所以{ ，解得 ≥ 4，
2 + ≥ 5
所以 的取值范围是[4, +∞)．

16.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = 3 + ，其定义域为 ，
| |+1

又由 ( ) = 3 = (3 + ) = ( )，
| |+1 | |+1
所以函数 ( )为定义域 上的奇函数．
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1
(2)证明：当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = 3 + = 3 + 1 ，
+1 +1
任取0 < 1 < 2，
1 1 1 1
则有 ( 1) ( 2) = 3 1 + 1 (3 2 + 1 ) = 3( 1 1) + ( ) 1+1 2+1 2+1 1+1
1
= 3( ) + 1 21 2 = ( ) [3 + ] ( 2+1)( 1+1) 1 2 ( 2+1)( 1+1)
因为取0 < 1 < 2，则有 1 2 < 0，( 2 + 1)( 1 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，
所以函数 ( )在(0, +∞)上是增函数．
40 40 4
17.【答案】解：(1)若每天生产 氦气，则需生产 天，所以 ≤ 30，则 ≥ ；
3
16
若氦气日产量不足4 ，则1 氦气的平均成本为 1 + 1 = 4 + + 1百元；

9 3
若氦气日产量大于等于4 ，则1 氦气的平均成本为 2 + 1 = 2 + 18百元；
16 4
40(4 + + 1), ≤ < 4
所以 = { 3 ；
9 3
40( 2 + 18),4 ≤ ≤ 8
4 16 16 16
(2)当 ≤ < 4时，4 + ≥ 2√ 4 = 16(当且仅当4 = ，即 = 2时取等号)，
3
所以当 = 2时， 取得最小值40 × (16 + 1) = 680；
1 1 1 1 1 1
当4 ≤ ≤ 8时， ≤ ≤ ，令 = ，则 ∈ [ , ]，
8 4 8 4
1 1 1
所以 = 40(9 2 3 + 18)，则当 = ，即 = 6时， 取得最小值40 × ( + 18) = 710；
6 4 2
综上所述：当社团每天制备2 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元．
30
18.【答案】解：(1)由题意可得， (0) = 2 = 0，解得 = 1， 3 +
1 3 1 31 1 3 1
则 ( ) = +1 ，由于 (1) = 2 = ( 1) = ，解得 = 3， 3 + 3 + 30+
1 3
则 ( ) =
3 +1
，
+3
1 3 3 1
经检验： ( ) = +1 =3 +3 3 +1
，
+3
则 ( ) + ( ) = 0满足题意，
则 = 1， = 3，
1 3 1 2
(2)由于 ( ) = +1 = ( 1)，易得 ( )在定义域内单调递减． 3 +3 3 3 +1
(4 + 1) + ( × 2 + 2) = 0恰有两个不同的实根，
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由于 ( )是定义域为 的奇函数且单调递减，
则4 + 1 + × 2 +2 = 0有两个不同根即可，
则(2 )2 + 1 + 4 × 2 = 0有两个不同根即可．
令2 = > 0， 与 个数一一对应，转化为 2 + 4 + 1 = 0( > 0)有两个不同正根即可．
1
满足{ = 16
2 4 > 0 1，解得{ > 2或 < ，
4 > 0 2 < 0
1
即 < ，
2
1
故 的取值范围为( ∞, )．
2
19.【答案】解：(1)对于函数 ( ) = 的定义域 内存在 1 = 0，
则 ( 1) ( 2) = 0 ≠ 1，故 ( ) = 不是“依赖函数”．
(2)因为 ( ) = 2 2在[ , ]递增，
故 ( ) ( ) = 1，即2 22 2 = 1， + = 4，
由 > > 0，故 = 4 > > 0，得0 < < 2，
从而 = (4 )，
设 ( ) = (4 ) = ( 2)2 + 4，
当 ∈ (0,2)时，函数 ( )单调递增，
故 ∈ (0,4)；
3 3
(3)①若 ≤ ≤ 3，故 ( ) = ( )2在[ , 3]上最小值为0，此时不存在 ，舍去；
2 2 2
3 3
②若 < ，故 ( ) = ( )2在[ , 3]上单调递增，
2 2
3 7
所以 ( ) (3) = 1，解得 = 1或 = (舍)．
2 2
3
所以存在 ∈ [ , 3]，使得对任意的 ∈ ，有不等式( 1)2 ≥ 2 + ( ) 都成立，
2
即 2 + + 2 ( + 2) + 1 ≥ 0恒成立，
由 = 2 4[ 2 ( + 2) + 1] ≤ 0，
3 4
得4( + 2) ≤ 3 2 + 4，由 ∈ [ , 3]，可得4( + 2) ≤ 3 + ，
2
4 3
又 = 3 + 在 ∈ [ , 3]单调递增，
2
4 31
故当 = 3时，(3 + )

= ，
3
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31 7
从而4( + 2) ≤ ，解得 ≤ ，
3 12
7
综上，故实数 的最大值为 ．
12
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