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上海市九年级上册期末核心考点突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．若两个相似三角形的相似比是1 ：2，则它们的面积比是（ ）．
A．1：2 B．1：4 C．4： 1 D．2：1
2．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，已知 ， ， ， 的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
4．如图，在三角形纸片中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
6．如图，在矩形OABC中， ， ，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
8．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
9．若，则的值是 ．
10．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
11．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的，其中，与间另有步道相连，地在正中位置，地与地相距若，，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了 ．
12．因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B1（10，2），若△ABC的面积为m，则△A1B1C1的面积为 ．
14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为 cm（结果保留根号）
15．在中，，，，则 ．
16．如图，已知O是坐标原点，以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），则B（3，﹣1）的对称点的坐标为 ．
17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD= ．
18．如图，在四边形ABCD中，AD＝ AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其 倍（即CE＝ CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6 ，BF＝3，EF＝ 时，边BC的长是 .
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
（1）求证：△ABC∽△DCA.
（2）若BC=1，AC=2，求AD的长.
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为，.
（1）以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的位似三角形，并把△ABO的边长缩小到原来的.
（2）点是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标.
22．（6分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在 中，点 在线段 上， ， ， ， ，求 的长．
经过社团成员讨论发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 ，如图②所示，通过构造 就可以解决问题．
（1）请你写出求 长的过程．
（2）应用：如图③，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ， ．若 ，请你求出 的长．
23．（6分）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404， ≈1.732．）
24．（6分）如图，已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=7，点E在边AD上， ，过点E作EF//AB交边BC于点F.
（1）求线段EF的长；
（2）设 ， ，联结AF，请用向量 表示向量 .
25．（10分）如图①，，反比例函数和（）的图像分别是和．射线交于点，射线交于点，连接交y轴于点P，轴．
（1）求的值；
（2）如图②，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，交于点，射线交于点，连接交y轴于点，在旋转的过程中，的大小是否发生变化？若不变化，求出的值；若变化，请说明理由；
（3）在（2）的旋转过程中，当点为中点时，所在的直线与的有几个公共点，求出公共点的坐标．
26．（12分）如图，四边形 是矩形
（1）如图1， 、 分别是 、 上的点， ，垂足为 ，连接 ．
①求证： ；
②若 为 的中点，求证： ；
（2）如图2，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在 边的点 处，连接 交 于点 ， 是 的中点.若 ， ，直接写出 的最小值为 ．
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上海市九年级上册期末核心考点突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．若两个相似三角形的相似比是1 ：2，则它们的面积比是（ ）．
A．1：2 B．1：4 C．4： 1 D．2：1
【答案】B
【解析】【解答】解：根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方可知，当两个相似三角形的相似比是1：2时，
则它们的面积比为1：4.
故答案为：B．
【分析】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
2．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】由题意得到：进而即可求出∠APB得度数，即可得到：进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求出PC的长度.
3．如图，已知 ， ， ， 的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得，CE=4，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
4．如图，在三角形纸片中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可.
5．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【答案】C
【解析】【解答】解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与 轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图象在 轴的下方，
所以： ＜ ＜
故答案为：
【分析】先利用抛物线的对称性求解抛物线与 轴的另一个交点的坐标为： 再利用图象得到y＜0时，函数图象在 轴的下方，从而可得答案.
6．如图，在矩形OABC中， ， ，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，
∵在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），
∴OA=BC=5，AB=OC=3=DM，
∵把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF且点D恰好落在BC上，
∴AD=OA=5，∠OAB=∠DAF=90°，AF=AB=3，
∴∠DAM=∠BAF=90°-∠DAB，
∵∠BAO=∠FNA=90°，
∴∠BAF=∠AFN，
∴∠DAM=∠AFN，
在Rt△DMA中，由勾股定理得：AM=
∴CD=OM=5-4=1，
即点D坐标是（1，3），
∵∠DMA=∠FNA，∠DAM=∠AFN，
∴△DAM∽△AFN，
∴ ，
∴ ，
解得：FN= ，AN= ，
∴ON=5+ = ，
即F点的坐标是（ ， ），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
把A（5，0），C（1，3）代入得：
，
解得：k=- ，b= ，
∴直线AD的解析式是y=- ，
设直线OF的解析式是y=ax，
把F（ ， ）代入得： ，
解得：a=
∴直线OF的解析式是y= ，
解方程组 得： ，
即点G的坐标是（ ， ），
故答案为：A．
【分析】过D作DM⊥OA于M，FN⊥OA于N，则∠DMA=∠FNA=90°，求出OA=5，AB=3，根据勾股定理求出AM，求出点D坐标，求出△DAM∽△AFN，求出AN和FN，求出F坐标，求出直线AD和OF的解析式，再求出交点G的坐标即可．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
8．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
【答案】(0，1)
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
9．若，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴设a=3k，b=2k（k≠0），
∴
故答案为：
【分析】根据，设a=3k，b=2k（k≠0），再将其代入计算即可。
10．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
【答案】4：9
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
11．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的，其中，与间另有步道相连，地在正中位置，地与地相距若，，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了 ．
【答案】24
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC，如图，
设EF=a（km），
，
EF=DF=a（km），
解得
由勾股定理可得：
地在正中位置，
AD=2BD=
，可设BC=x，AC=
由勾股定理可得：
即
解得：
BC=BF+EF+CE=，
解得a=3（km），
AC+CB+BA=24（km），
故答案为：24km.
【分析】过点D作DF⊥BC，利用三角函数与勾股定理求得AC、CB、BA的值，从而求解.
12．因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】根据，利用公式计算即可．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B1（10，2），若△ABC的面积为m，则△A1B1C1的面积为 ．
【答案】4m
【解析】【解答】 B（5，1），B1（10，2）
则，
，
，
△ABC的面积为m，则△A1B1C1的面积为4m．
故答案为4m．
【分析】先利用勾股定理求出OB和OB'的长，可得，再利用位似的性质可得，再求出△A1B1C1的面积为4m即可。
14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为 cm（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解： P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
故答案为： .
【分析】 由P为AB的黄金分割点（AP＞PB），可得 据此求出AP，利用PB=AB-AP即可求解.
15．在中，，，，则 ．
【答案】30°
【解析】【解答】解：
在中，，，，
，
，
故答案为：
【分析】根据题意知，，，得出的值，即可得出的度数。
16．如图，已知O是坐标原点，以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），则B（3，﹣1）的对称点的坐标为 ．
【答案】（﹣6，2）
【解析】【解答】解：∵以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），
∴B（3，﹣1）的对称点的坐标为[3×（﹣2），﹣1×（﹣2）]，即（﹣6，2）．
故答案为（﹣6，2）．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以﹣2即可得到点B的对应点的坐标．
17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD= ．
【答案】
【解析】【解答】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．
∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，
∴BE∥CD，
∴∠AOD＝∠ABE．
在△ABE中，AB＝ ，AE＝2 ，BE＝ ，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴cos∠ABE＝ ＝
∴cos∠AOD＝
故答案为： .
【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．
18．如图，在四边形ABCD中，AD＝ AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其 倍（即CE＝ CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6 ，BF＝3，EF＝ 时，边BC的长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BD，AE，DE，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其 倍，
∴∠DCE＝90°，CE= CD，
∴tan∠DEC＝ ，
∴∠DEC＝30°，
∴cos∠DEC＝ ＝ ，sin∠DEC＝ ，
∵AD＝ AB，
∴ ，
∴ ，
又∵∠DEC＝∠DAB＝30°，
∴△DEC∽△DAB，
∴∠ADB＝∠EDC， ，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵AD＝ AB，AD＝6 ，
∴AB＝9，
又∵BF＝3，
∴AF＝6，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝ AE＝ ，
故答案为： .
【分析】连接BD，AE，DE，由旋转的性质可得∠DCE＝90°，CE=CD，根据特殊角的三角函数值结合tan∠DEC＝可求得∠DEC=30°，有锐角三角函数可得cos∠DEC＝，sin∠DEC＝，由计算可得，根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可得△DEC∽△DAB，于是可得相等的角和比例式∠ADB＝∠EDC， ，同理可得△ADE∽△BDC，于是可得比例式=，结合已求得的结论可求出AB和AF的值，在直角三角形AEF中，用勾股定理可求得AE的值，则BC=AE可求解.
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
【答案】（1）证明：∵∠DAB=30°，∠DBC=∠A+∠ADB=60°，
∴∠A=∠ADB=30°，
∴BD=AB；
（2）解：∵BD=AB=50米，
在Rt△BCD中，∠C=90°，
∴sin∠DBC=，
∴DC=BD sin60°=50×=25（米），
答：该塔高为25米．
【解析】【分析】（1）由题意可知 ：∠DBC=∠A+∠ADB=60°，则∠A=∠ADB=30°，三角形ABD是等腰三角形，可得BD=AB；
（2）在Rt△BCD中，利用锐角三角函数解直角三角形即可。
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
（1）求证：△ABC∽△DCA.
（2）若BC=1，AC=2，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠B=∠ACD=90°
∴△ABC∽△DCA
（2）解：∵△ABC∽△DCA
∴ 即
∴AD=4
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，再根据∠B=∠ACD=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，然后代入数值进行计算，可求出AD的长.
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为，.
（1）以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的位似三角形，并把△ABO的边长缩小到原来的.
（2）点是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标.
【答案】（1）解：如图，或就是所求作的三角形.
（2）解：∵相似比为，
∴的坐标缩小为原来的一半，
当位似三角形在第二象限时，在位似三角形中所对应的坐标为，
当位似三角形在第四象限时，在位似三角形中所对应的坐标为.
【解析】【分析】（1）在OA上截取一点A1，使OA=2OA1，同法作出点B1，在连接A1B1，△A1B1O就是所求的三角形；在AO延长线上截取一点A2，使OA=2OA2，同法作出点B2，在连接A2B2，△A2B2O就是所求的三角形；
（2）如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，则一对对应点的坐标之比等于k或-k，据此即可得出答案.
22．（6分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在 中，点 在线段 上， ， ， ， ，求 的长．
经过社团成员讨论发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 ，如图②所示，通过构造 就可以解决问题．
（1）请你写出求 长的过程．
（2）应用：如图③，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ， ．若 ，请你求出 的长．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点 作 交 于点 ，如图所示．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先找出 ，利用对应边成比例，求出OD，再结合三角形内角和180度即可找出，最后求解即可；
（2）过点 作 交 于点 ，证明 ，求出EO、AO的长度，在 中，利用勾股定理求解即可 ．
23．（6分）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404， ≈1.732．）
【答案】（1）解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴ （米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°= DM≈ ≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【解析】【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．由三角函数表示出CD和AD的长，然后列出方程，解方程即可；（2）作∠DMF=30°，交l于点F．利用解直角三角形求出DF的长度，然后得到AF的长度，与AB进行比较，即可得到答案.
24．（6分）如图，已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=7，点E在边AD上， ，过点E作EF//AB交边BC于点F.
（1）求线段EF的长；
（2）设 ， ，联结AF，请用向量 表示向量 .
【答案】（1）解：过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，
∵ ，∴ .
又∵EF∥AB，AB∥CD，AB=12，CD=7，
∴CD=MF=GB=7，
∴AG=5.
∴EM= AG=2.
∴EF=EM+MF=9．
（2）解：∵ ， ，由（1）知，
【解析】【分析】(1)过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，由DE：AE=2：3，即可求得 ，然后在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，CD=7，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF的长．(2)根据（1）中的比例关系写出向量即可.
25．（10分）如图①，，反比例函数和（）的图像分别是和．射线交于点，射线交于点，连接交y轴于点P，轴．
（1）求的值；
（2）如图②，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，交于点，射线交于点，连接交y轴于点，在旋转的过程中，的大小是否发生变化？若不变化，求出的值；若变化，请说明理由；
（3）在（2）的旋转过程中，当点为中点时，所在的直线与的有几个公共点，求出公共点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴代入，得．
（2）解：的大小不变．
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
设，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即．
（3）解：当点为中点时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，．
∴所在的直线与的有两个公共点，分别是和．
【解析】【分析】（1）先将点A代入反比例函数得到a，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明得到，，再根据点与象限的关系即可求解；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，设，进而得到，，再运用相似三角形的判定与性质结合题意证明，进而根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）先根据题意求出点C和点D的坐标，进而运用待定系数法即可得到直线CD的解析式，再根据反比例函数与一次函数的交点问题即可求解。
26．（12分）如图，四边形 是矩形
（1）如图1， 、 分别是 、 上的点， ，垂足为 ，连接 ．
①求证： ；
②若 为 的中点，求证： ；
（2）如图2，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在 边的点 处，连接 交 于点 ， 是 的中点.若 ， ，直接写出 的最小值为 ．
【答案】（1）解：①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝∥BCF＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，
∴∠FBC＝∠ECD，
∴△FBC∽△ECD，
∴ ．
②证明：如图1中，连接BE，GD．
∵BF⊥CE，EG＝CG，
∴BF垂直平分线段EC，
∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，
∵DG＝CG，
∴∠CDG＝∠GCD，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，
∴∠ADG＝∠BCG，
∵AD＝BC，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴∠DAG＝∠CBG，
∴∠DAG＝∠EBG，
∴∠AEB＝∠AGB，
∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．
∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，
∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，
∴BP＝PS，
∵∠BCS＝90°，
∴PC＝PS＝PB，
∴PQ+PS＝PT+PC，
当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝ ，
∴PQ+PS的最小值为 ．
【分析】（1）①先求出 ∠BGC＝90°， 再求出 △FBC∽△ECD， 最后证明求解即可；
②先求出 ∠CDG＝∠GCD， 再利用SAS证明 △ADG≌△BCG ，最后证明求解即可；
（2）先求出BP＝PS，再求出PQ+PS＝PT+PC，最后利用勾股定理计算求解即可。
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