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沪科版九年级上册期末考前冲刺提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在一个直角三角板ABC中， ∠A=60°，则cosA的值为 （ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
6．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15° .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． B． ﹣1 C． D．
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE∶EC＝1∶3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
10．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则 .
12．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 ．
13．如图，n边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点为边的中点，的面积为，的面积为，…的面积为，则n＝ ．
14．已知，都在反比例函数的图象上，且，则与大小关系是 ．
15．如图，的顶点在反比例函数的图象上，，轴，若的面积为，，则 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AD于点E，若点P，A，B构成以AB为腰的等腰三角形时，则线段PE的长是 。
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤(横断面为梯形)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡的坡比.
（1）求加固后坝底增加的宽度；(结果保留根号)
（2）求完成这项工程需要多少方混泥土？(结果精确到1立方米，)
18．（8分）如图，点E为的边延长线上一点，与交于点F，与交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求的长度.
19．（8分）生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元.而据统计发现樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间满足一次函数关系.
（1）该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
20．（8分）如图，是的外接圆，，于点D，的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：.
（2）若，，求AC的长.
21．（8分）已知反比例函数 为常数 的图象在第一、三象限.
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为 ， 求出函数解析式.
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
23．（8分）小明妈妈开网店销售某品牌童装，每件售价110元，每月可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每月可多卖20件.已知该品牌童装每件成本价80元，设该品牌童装每件售价x元，每月的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每月的销售利润最大，最大利润多少元？
24．（8分）已知：在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线都经过点．
（1）分别求k，m的值；
（2）若点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．
25．（8分）如图，在 中， ， . ， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，点 是线段 上的动点，连结 并延长分别交 ， 于点 ， .
（1）求 的长.
（2）若点 是线段 的中点，求 的值.
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沪科版九年级上册期末考前冲刺提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据反比例函数的定义可得，函数是反比例，
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的定义逐项分析判断即可.
2．如图，在一个直角三角板ABC中， ∠A=60°，则cosA的值为 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用60°的余弦值是解答即可．
3．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为，据此可求出答案．
4．一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：当k>0时，一次函数 经过一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；
当k<0时，一次函数 经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限；
四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A.
【分析】分k>0；k<0两种情况进行讨论得到一次函数和反比例函数经过的象限，进行逐一判断即可求解.
5．铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
当y=0时，则，
解得x1=10，x2=-2，
∵x＞0，
∴x=10.
故答案为：C.
【分析】求出抛物线与x轴交点的横坐标，即令y=0求出x的正数值即可.
6．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设方格的边长为1，
则AC2=12+12=2，AB2=22+22=8，BC2=12+32=10，
故AC2+AB2=BC2，
∴三角形ABC是以A为直角的直角三角形，
A、cosC=，故A正确，
B、B、C互余，所以tanB·tanC=1，故B正确，
C、tanB=，故C正确，
D、sinB=，故D错误，
故答案为：D.
【分析】先利用方格的特点算出AC，AB和BC，发现三角形ABC是以A为直角的直角三角形，在根据三角函数的定义依次求解判断.
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15° .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． B． ﹣1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，
使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝ ，CD＝ ，
故答案为：B.
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则BC＝x，AB＝x ，CD＝(1+)x，由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠ABC=2∠D=45°，则∠D=22.5°，然后利用三角函数的概念进行求解.
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若BE∶EC＝1∶3，则△DOE与△COA的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△ODE∽△OCA，
∴ ，
∵BE∶EC＝1∶3，
∴ ，
∴△DOE与△COA的周长之比为 .
故答案为：B.
【分析】易证△BDE∽△BAC，△ODE∽△OCA，由已知条件可得相似比。然后根据相似三角形的周长之比等于相似比进行解答.
9．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
【答案】A
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
10．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝
∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵EM∥BC，
∴EM∥AD，∠AEM＝∠B＝60°＝∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵EM∥AD，
∴△AGF∽△MGE，
∴ ＝
＝
，
∴FG＝
EF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∵EN⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝
BE＝
，
∴EN＝
BN＝
，CN＝BC﹣BN＝4﹣
＝
，
∴EF＝CE＝
＝
＝
，
∴FG＝
EF＝
.
故答案为：A.
【分析】过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，根据菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝60°，AD∥BC，推出△ABC、△AEM是等边三角形，证明△AGF∽△MGE，根据相似三角形的性质可得FG＝
EF，然后证明△BCE≌△ACF，得到CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，推出△CEF是等边三角形，则EF＝CE，易得∠BEN＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BN，由三角函数的性质求出EN，进而求出CN，由勾股定理可得EF，然后根据FG＝
EF就可得到FG的长.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为：4.
【分析】由已知的等式可设a=3k，b=5k，把a、b代入所求代数式计算即可求解.
12．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】 解：∵在中，，
∴△ADC和△ADB为直角三角形。
∵AC=6，∠C=45°，
∴AD=ACsin45°=6×=6，
直角三角形△ADB中
BD===2，
故答案为：2
【分析】在直角三角形△ADC中利用正弦求出AD，在直角三角形△ADB中利用正切求出BD即可.
13．如图，n边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点为边的中点，的面积为，的面积为，…的面积为，则n＝ ．
【答案】128
【解析】【解答】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴当的面积为时，
，
解得．
故答案为：128．
【分析】先根据题意求出的面积，再根据，相似三角形判定定理可得，再根据相似三角形性质可得，当的面积为时，解方程即可求出答案.
14．已知，都在反比例函数的图象上，且，则与大小关系是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，且 ，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据反比例函数的图象性质得其图象在第二、四象限，由 ，得点A在第二象限，点B在第四象限，从而求解.
15．如图，的顶点在反比例函数的图象上，，轴，若的面积为，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
轴
轴，
，
，
，
∽，
，
的面积为，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】在Rt△AOB中，sin∠OAB==，证明得△AOB∽△ODB，从而得，因此得S，利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k值.
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AD于点E，若点P，A，B构成以AB为腰的等腰三角形时，则线段PE的长是 。
【答案】 或
【解析】【解答】由勾股定理得AC= =5，分两种情况：(1)如图，当PA=AB=3时，
∵PE⊥AD，∠PEA=∠D=90°，PE∥CD，∴△APE∽△ACD，∴ ，
，∴PE= ；(2)如图，当PB=AB时，过点B作BM⊥AC于点M，
易证△ABM∽△ACB，∴ ， ，∴AM=
∵AB=PB，∴AP=2AM= ，由(1)得△APE∽△ACD
∴ ， ，∴PE= ，综上，PE的值为 或 。
【分析】分两种情况：(1)当PA=AB=3时，通过证△APE∽△ACD，然后利用相似三角形的对应边成比例列出比例式求PE；(2)当PB=AB时，过点B作BM⊥AC于点M，先证△ABM∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式求出AM的值；再利用由(1)中的△APE∽△ACD，列出比例式可求PE。
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤(横断面为梯形)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡的坡比.
（1）求加固后坝底增加的宽度；(结果保留根号)
（2）求完成这项工程需要多少方混泥土？(结果精确到1立方米，)
【答案】（1）解：过D作的垂线，设垂足为F.
在中，
，
∵米，
∴米，
在中，
∵，
∴，
∴米，
∴米；
（2）解：∵平方米，
∴加宽部分的体积坝长立方米.
答：完成这项工程需要7300方混泥土.
【解析】【分析】（1）过D作AB的垂线，垂足为F，根据DE的坡比结合DF的值可求出EF的值，易得△ADF为等腰直角三角形，则AF=DF=10米，然后根据AE=EF-AF进行计算；
（2）根据三角形的面积公式可得S△AED，然后根据加宽部分的体积=S△AED×坝长进行计算.
18．（8分）如图，点E为的边延长线上一点，与交于点F，与交于点G.
（1）求证：；
（2）若，，求的长度.
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
；
（2）解：∵，
∴设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，，
，
解得：.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，证明△GDA∽△GCE，△GCE∽△ABE，据此可得结论；
（2）设CE=a，则BC=2CE=2a，BE=BC+CE=3a，由平行四边形的性质可得AD=BC=2a，AD∥BC，证明△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
19．（8分）生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元.而据统计发现樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间满足一次函数关系.
（1）该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可列式：，
解得：，，
答：樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润；
（2）解：设销售利润为元，
根据题意可得：
，
当时，元
答：当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元.
【解析】【分析】（1）由题意可得：每千克的利润为(x-50)元，根据每千克的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可；
（2）设销售利润为W元，根据每千克的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
20．（8分）如图，是的外接圆，，于点D，的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：.
（2）若，，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接
∵
∴B，O在的垂直平分线上
即，且，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴
（2）解：∵，，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∴
【解析】【分析】（1）连接OA、OC，由题意可得B、O在AC的垂直平分线上，则BO⊥AC，AC=2AE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CBE，据此证明；
（2）由题意可得AE=EF+BF=4，证明△AEF∽△BEA，根据相似三角形的性质可得AE的值，进而可得AC.
21．（8分）已知反比例函数 为常数 的图象在第一、三象限.
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为 ， 求出函数解析式.
【答案】（1）解：据题意得 ，
解得 ；
（2）解： 四边形ABOD为平行四边形，
， ，而A点坐标为 ，
点坐标为 ，
，
反比例函数解析
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的性质得 ，然后解不等式得到m的取值范围；（2）①根据平行四边形的性质得 ， ，易得D点坐标为 ，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ，则反比例函数解析式为 .
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
【答案】（1）证明：连接DE，
∵，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC
∵矩形ABCD，DF⊥AE，
∴∠C=∠DFE=90°
在△DEF和△DEC中，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴CE=FE．
（2）解：如下图，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∴，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△ADB，
∴即
解之：
∴.
【解析】【分析】（1）连接DE，利用等边对等角可证得∠ADE=∠AED ，利用平行线的性质可推出∠DEC=∠ADE，可证得∠AED=∠DEC，利用AAS证明△DFE≌△DEC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出BD的长，再利用余角的性质可证得∠BAE=∠ADB，由此证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的对应边成比例可求出AE的长；然后求出λ的值.
23．（8分）小明妈妈开网店销售某品牌童装，每件售价110元，每月可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每月可多卖20件.已知该品牌童装每件成本价80元，设该品牌童装每件售价x元，每月的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每月的销售利润最大，最大利润多少元？
【答案】（1）解：y=200+20(110﹣x)=﹣20x+2400
（2）解：设每月利润为W元，
W=(x﹣80)(﹣20x+2400)
=﹣20(x﹣100)2+8000
∵-20＜0，∴x=100时，W最大值=8000.
∴每件售价定为100元时，每月的销售利润最大，最大利润8000元.
【解析】【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论；（2）设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.
24．（8分）已知：在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线都经过点．
（1）分别求k，m的值；
（2）若点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象与直线都经过点，
∴把的坐标分别代入和，
∴可得：，，
解得：，
（2）解：
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知：，，
∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，
∵点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线，
∴过点P作平行于y轴的直线为：，
又∵直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，
∴，，
∵点D在点C的上方，
∴可得：且，
如图，
∵直线与直线相交于两点分别为和，
∴观察图象，可得：的取值范围为．
【分析】（1）将A（2，2）分别代入和中，即可求出k、m值；
（2）由（1）知反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，过点P作平行于y轴的直线，可得此直线为，即得，，由点D在点C的上方，可得且，再求出直线与直线相交于两点分别为和，结合图象即可求解.
25．（8分）如图，在 中， ， . ， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，点 是线段 上的动点，连结 并延长分别交 ， 于点 ， .
（1）求 的长.
（2）若点 是线段 的中点，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 中，
（2）解：∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥AC，∠DMF和∠AMG是对顶角，
∴∠FDM=∠GAM，∠DMF=∠AMG，
∵点M是线段AD的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由DE∥AC，得 ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）求出 ，在Rt△ADC中，由三角函数得出 ；（2）由三角函数得出BC=AC tan60°= ，得出 ，证明△DFM≌△AGM（ASA），得出DF=AG，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
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