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苏科版九年级上册期末提优抢分卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．7
2．如图，在中，点C在上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
4．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
5．石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
6．下列说法错误的是（ ）.
A．在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100.
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件.
C．调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用全面调查.
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
7．一元二次方程x2－8x－1=0配方后为（ ）
A．(x－4)2=17 B．(x＋4)2=15
C．(x＋4)2=17 D．(x－4)2=17或(x＋4)2=17
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15° B．28° C．29° D．34°
9．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于（ ）
A．72.5° B．75° C．80° D．60°
10．如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为 .
12．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
13．如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．
14．如图， ， ， 为⊙ 上的点．若 ，则 ．
15．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
16．关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0，则m= ．
17．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
18．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）“石头、剪子、布“是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头““剪刀““布“3种手势中的1种，其中“石头“赢“剪子“，“剪子“赢“布“，“布“赢“石头“，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次出“石头“的概率为 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率．
20．（6分）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连结，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
21．（9分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为 ，a＝ ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
22．（9分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求的长．
23．（9分）如图，为的直径，点、在上，与交于点，，．连接、．求证：
（1）；
（2）四边形是菱形．
（3）若平分交于点，，，求的长度．
24．（9分）已知：整式 ，整式 ，整式 ．
（1）求A+B的值；
（2）分解因式：A+B；
（3）若 ，求x的值．
25．（9分） 在平面直角坐标系中，给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形此时称图形为图形关于点的“二次变换图形”已知点．
（1）若点，直接写出点关于点的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点关于点的“二次变换图形”与点重合，求点的坐标；
（3）若点，半径为已知长度为的线段，其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在上或内，直接写出点的纵坐标的取值范围．
26．（9分）已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
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数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得一元二次方程的一次项系数是-2，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意即可得到一次项系数，进而即可求解。
2．如图，在中，点C在上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，所对的圆心角是，所对的圆周角是，
．
故答案为：C.
【分析】同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的两倍，据此求解。
3．今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
由题意得：为的中点，
则、、三点共线，，
，
设圆的半径为，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
这根圆柱形木材的半径为10．
故答案为：C
【分析】如图，连接、，根据垂径定理可得，设圆的半径为，结合图像，在中运用勾股定理计算即可求解。
4．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：白球出现的概率为：；红球出现的概率为：；黄球出现的概率为：，
∵试验中该种颜色的球出现的频率稳定在附近，
∴该球的颜色最有可能是黄球，
故答案为：B.
【分析】根据概率公式求出每种颜色球的出现概率，再根据频率估计概率，结合图像，随着抽取次数的上升，某种颜色的球出现的频率稳定在附近，则该球出现的概率为0.2，最后对比进行判断即可求解。
5．石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】A
【解析】【解答】解：∵石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15
∴则三年后这五位小讲解员的年龄16，17，17，15，18，
∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差．
故答案为：A．
【分析】根据平均数，中位数，众数以及方差的意义，平均数一组数据相加求和后除以数据的个数；中位数是一组数据中排在中间位置的数，如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小，据此进行判断即可求解。
6．下列说法错误的是（ ）.
A．在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100.
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件.
C．调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用全面调查.
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
【答案】C
【解析】【解答】解：
A：随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100，说法正确，不符合题意
B：“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件，说法正确，不符合题意
C：调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故说法错误，符合题意
D：在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
故答案为：C
【分析】了解统计的基本概念，样本容量、事件的可能性、全面调查和抽样调查、频率等。
7．一元二次方程x2－8x－1=0配方后为（ ）
A．(x－4)2=17 B．(x＋4)2=15
C．(x＋4)2=17 D．(x－4)2=17或(x＋4)2=17
【答案】A
【解析】【解答】x2－8x－1=0，移项，得x2－8x=1，配方，得x2－8x+42=1+42，即（x－4）2=17.
故答案为：A.
【分析】配方法是根据完全平方公式：，进行的.
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15° B．28° C．29° D．34°
【答案】B
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2=28°．
故选：B．
【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
9．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于（ ）
A．72.5° B．75° C．80° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=BC=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°，
又∵ OD⊥AB ，
∴∠DOB=30°，
∵∠DAB=∠DOB=15°，
∴ ∠OAD =∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由 ∠OAD =∠OAB+∠DAB即可求得答案.
10．如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= = ，
∵ CD AB= AC BC，
∴y= ，
∵y的最大值为2，此时x=2 ．
故B符合题意.
故答案为：B．
【分析】连结BC，则∠ACB=90°，又勾股定理可求得BC的长，再由三角形的面积公式可求出y与x的函数关系式，进而可得y的最值，进而可得函数图象.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为 .
【答案】40°
【解析】【解答】根据扇形的面积计算公式可得： =π，解得：n=40°，即圆心角的度数为40°.
【分析】根据扇形面积=可列方程求解.
12．设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方根与系数的关系得到，，进而代入求值即可求解。
13．如图所示，四边形为正方形，在等腰中，，若绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H，直线与直线相交于点P，则点P运动的路径长度是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设AC与EP相交于点O
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ADC=∠BAD=90°，∠CAD=45°
∵绕点A顺时针旋转，D、B的对应点分别为F、H
∴AH=AF，∠HAF=90°
∵AC=AE，AD⊥CE
∴∠DAE=∠CAD=45°
∴∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠HAF
∴∠CAH=∠EAF
∴△EAF≌△CAH（SAS）
∴∠AEF=∠ACH
∵∠AOE=∠COP
∴∠CPE=∠CAE=90°
∴点P在CE为直径的圆D上运动，点P开始在C处，结束在A处
∴
故答案为：π
【分析】设AC与EP相交于点O，根据正方形性质可得AB=AD，∠ADC=∠BAD=90°，∠CAD=45°，再根据旋转性质可得AH=AF，∠HAF=90°，再根据全等三角形判定定理可得△EAF≌△CAH（SAS），则∠AEF=∠ACH，再根据角之间的关系可得∠CPE=∠CAE=90°，则点P在CE为直径的圆D上运动，点P开始在C处，结束在A处，再根据弧长公式即可求出答案.
14．如图， ， ， 为⊙ 上的点．若 ，则 ．
【答案】50°
【解析】【解答】∵∠AOB=100°，
∴∠ACB= ∠AOB =50°，
故答案为：50°．
【分析】根据圆周角的性质可知：∠ACB= ∠AOB =50°。
15．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
【答案】16
【解析】【解答】解：如图
连接OA，过O点作 ，垂足为H，交 于点C
∵ 的直径为52cm
∴OA=OC=26cm
∵ ，且过O点
∴OC垂直且平分AB
∴AH=24cm
根据勾股定理
得OH=10cm
∴CH=OC-OH=26-10=16cm
所以水的最深为16cm
【分析】连接OA，过O点作 ，垂足为H，交 于点C，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。
16．关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0，则m= ．
【答案】-2
【解析】【解答】解 ;把x=0代入(m-2)x2+3x+m2-4=0得，m2-4=0 ，解得m=±2 ,
又∵方程(m-2)x2+3x+m2-4=0时关于x的一元二次方程，
∴m-2≠0 ,
∴m≠2 ,
∴m=-2 .
故答案为 ：m=-2 .
【分析】根据方程根的概念;把x=0代入(m-2)x2+3x+m2-4=0得，m2-4=0 ，解得m=±2 ；又根据一元二次方程的定义得出m≠2 ,从而得出答案。
17．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
【答案】8π
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角为360°÷6=60°，则正六边形的每一个内角为180° -60°=120° .
∴三条弧所对的圆心角为120° .
∴三条弧的长度之和为（cm).
故答案为： 8π
【分析】先求出正六边形的每一个内角，然后根据弧长公式，即可得到三条弧的长度之和.
18．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵x1、x2分别是该一元二次方程的根
△=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
又∵x1+x2=m x1·x2=2m-1
又∵ x12+x22=7
∴（ x1+x2）2- 2x1·x2=7
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得 m2-4m-5=0
解得 m1=-1 m2=5
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（ x1-x2）2= x12+x22-2x1·x2=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=m、x1·x2=2m-1，然后将x12+x22=7变形为（ x1+x2）2- 2x1·x2=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）“石头、剪子、布“是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头““剪刀““布“3种手势中的1种，其中“石头“赢“剪子“，“剪子“赢“布“，“布“赢“石头“，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次出“石头“的概率为 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求乙赢的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙赢的有3种，
则乙赢的概率是＝．
【解析】【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
【分析】（1） “石头““剪刀““布“ 共有3种等可能的手势，其中能出石头的只有一种等可能的情况，从而直接根据概率公式求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
20．（6分）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连结，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明，再结合是的半径，即可得到是的切线；
（2）先利用勾股定理求出OD的长，再结合，求出CE的长，最后求出AC的长即可。
21．（9分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为 ，a＝ ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【答案】（1）100；30
（2）解：补全频数分布直方图为：
（3）解：样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
【解析】【解答】解：（1），
所以样本容量为100；
B组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
【分析】（1）用A组的频数除以所占的百分比，得出样本容量，在计算B组数所占的百分比，得出a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160厘米的频率，在利用样本估计总体和利用频率估计概率求解即可。
22．（9分）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝（∠AOP+∠POB）＝×130°＝65°；
（3）解：由（2）得，∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴的长＝的长＝＝23π．
【解析】【分析】（1）连接OB，由等边对等角可得∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，由对顶角相等∠APO＝∠CPB，从而得出∠APO＝∠CBP， 由垂直的定义可得∠AOP＝90°，从而得出∠CBP+∠ABO＝ ∠OAP+∠APO=90°， 即得∠CBO＝90°， 根据切线的判定定理即证；
（2） 由三角形外角的性质可得∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°， 即得∠AOB=∠POB+∠AOP=130°，根据圆周角定理即可求解；
（3）根据弧长公式进行计算即可.
23．（9分）如图，为的直径，点、在上，与交于点，，．连接、．求证：
（1）；
（2）四边形是菱形．
（3）若平分交于点，，，求的长度．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（3）解：如下图，连接，过点作于点，
∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，由直线平行判定定理可得，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，再根据联系判定定理即可求出答案.
（3）连接，过点作于点，根据圆周角定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，则，在中，根据勾股定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，在中，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
24．（9分）已知：整式 ，整式 ，整式 ．
（1）求A+B的值；
（2）分解因式：A+B；
（3）若 ，求x的值．
【答案】（1）解：∵整式 ，整式 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，
，
因式分解，得 ；
（3）解：∵整式 ，整式 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
【解析】【分析】（1）由整式 ，整式 ，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知， ，因式分解即可得出答案；
（3）由整式 ，整式 ，得出C-B的值，代入即可得出x的值。
25． （9分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，得到图形，再将图形关于直线对称，得到图形此时称图形为图形关于点的“二次变换图形”已知点．
（1）若点，直接写出点关于点的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点关于点的“二次变换图形”与点重合，求点的坐标；
（3）若点，半径为已知长度为的线段，其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在上或内，直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）点关于点的“二次变换图形”的坐标
（2）解：分析可知点在轴的下方，如图，过点作轴于点，过点作轴交于点，
设点的纵坐标为，
由知，
，
，
由题意可知，点与点关于直线对称，
解得，
（3）
【解析】【解答】解：(1)如图，过点作轴于点，
，
由旋转可知，，
，
，
，
，
，
点关于点的“二次变换图形”的坐标；
(3)由知，
若点在上，则
解得舍或；
线段，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
若其关于点的“二次变换图形”上的任意一点都在及其内部，如图，可知点是一个临界点，
连接 ，
是等边三角形，
过点作轴于点，则，，
，，
，
由对称性可知，另外一点的坐标为，
的取值范围为：．
【分析】(1 )根据题意画出图形，过点A'作A' D⊥xc轴于点D，可得△AOP≌△PDA'，可求出点A'的坐标，进而可得点A"的坐标；
(2)分析可知点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A'的坐标，列方程可解得答案；
(3)由(2) 可知，点A"的坐标，由A关于点P的“二次变换图形”在O上且不与点A重合可得出点 A"的坐标，由线段AB= 1，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在O及其内部，找到临界点B"，可得出B"的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围.
26．（9分）已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，根据等弧所对的圆周角相等得∠BPC=∠BPD，据此即可得出结论；
（2）∠DCP＝α，根据圆周角定理证明∠BAD＝∠PAD，连接OD，利用SAS证明△DFE≌△DFP，可得DP＝DE，再永AAS证明△CEH≌△DEH，可得CE＝DE，进而可以解决问题；
（3）连接EG、CO，利用SAS证明△AEF≌△APF，可得EF＝PF，再利用SSS证明△AEG≌△APG，可得∠AEG＝∠APG＝90°，利用等角对等边证明BO＝BG，设半径为r，HC＝a，用AAS证△CHO≌△BGE，可得HC＝BE＝a，根据S△AOG＝30，可得EG＝，然后在Rt△EBG中利用勾股定理即可解决问题．
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