中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版九年级上册期末攻克薄弱卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
2．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c 的值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形
4．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
送餐距离 小于等于3公里 大于3公里
占比
送餐费 4元单 6元单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ）
A．元 B．元 C．5元 D．元
6．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
8．如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，.则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；⑧；④；其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
10．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.在下列结论中：
① ；②OA OC=OB OD；③OC G=OD F1；④F=F1，正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 .
12．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的顶点在原点，直角边在轴上，，反比例函数的图象分别交边于点，连接，若，，则的值为 ．
13．如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，．则 ．
14．已知a、b是方程的两根，则代数式 ．
15．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是 ．
16．如图，点P把线段AB分成两部分，且BP、AP、AB、BP是成比例线段．如果AB＝1，那么BP＝ ．
17．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
18．如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的解为 .
20．（6分）如图，和均为等腰三角形，且，，．
（1）求证：；
（2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积．
21．（9分）
（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，，若，，则 ；
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中，，点C到AB的距离为10，，且．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？
22．（9分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）请直接写出不等式 的解集，
（3）点P是x轴上的一点，若 的面积是6，求点P的坐标．
23．（9分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
（3）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，CD⊥AB于点D，CD=3。点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动过点P作PQ∥AB交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E。设点P的运动时间为t秒。
（1）求线段PQ的长。(用含t的代数式表示)
（2）当点E落在边AB上时，求t的值。
（3）当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围。
25．（9分）综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC= - ，BD= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长.
26．（9分）如图1，已知在 中， ， cm， cm.点 由 出发沿 向点 匀速运动，同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s.以 为边作平行四边形 ，连接 ，交 于点 .设运动的时间为 （单位 ）（ ）.解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版九年级上册期末攻克薄弱卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴V与t满足反比例函数关系．
故答案为：A.
【分析】基本关系：总量=日运量×时间，据此列式求解．
2．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c 的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】因为x2-8x+c=0，
所以x2-8x=-c，所以x2-8x+16=-c+16，
即(x-4)2=-c+16，
又因为(x-4)2=4c，
所以-c+16=4c，
解得c=，
故选：D.
【分析】先对x2-8x+c=0进行配方可得(x-4)2=-c+16，结合已知条件(x-4)2=4c，列出等式关系-c+16=4c，解方程求出c的值即可.
3．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵（tanB-）（2sinA-）=0
∴或
解得：或
∵∠A，∠B均为锐角
∴∠B=60°或∠A=60°
①当∠B=60°或∠A=60°，此时三角形是有一个角为60°的三角形
②当∠B=60°且∠A=60°，此时三角形为等边三角形
故答案为：D
【分析】根据题意可得或，即或，根据特殊角的三角函数值可得∠A，∠B均为锐角，分情况讨论即可求出答案.
4．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，的值即为该气体的质量，
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两该气体的质量相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．
故答案为：A
【分析】根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据反比例函数图象上点的坐标特点并结合图像可知丙气体的质量最多，甲气体的质量最少，乙、丁两气体的质量相同。
5．某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
送餐距离 小于等于3公里 大于3公里
占比
送餐费 4元单 6元单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ）
A．元 B．元 C．5元 D．元
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得该快递员十二月份平均每单送餐费是4×70％+6×30％=4.6（元），
故答案为：A
【分析】根据加权平均数的计算方法结合表格数据，进而即可求解。
6．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：A．
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，其中找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把缩小为原来的，得到，
∵点A的坐标为，
∴点的坐标为或，
即点坐标为或，
故答案为：B.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-就可得到点A′的坐标.
8．如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，.则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：B，D正确，不符合题意；
∵，
∴，C错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断B、C、D.
9．如图，平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；⑧；④；其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，所以结论①正确；
②∵，，
∴，
∴，所以结论②正确；
③∵△和等高，且，
∴，
∴，所以结论③错误；
④假设，
∴，即，
∵，
∴和共线，
但点是的中点，则与不共线，
∴假设不成立，即和△不相似，所以结论④错误.
综上所述：正确的结论有①②.
故答案为：B.
【分析】①由平行四边形的性质可得，，，由点是的中点，可得，利用平行线的性质可证，可得，据此判断即可；②
，，可得，据此判断即可；③由△和等高，且，可得，据此判断即可；④若，可得，即，由题意知BF与CD不平行，据此判断即可.
10．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.在下列结论中：
① ；②OA OC=OB OD；③OC G=OD F1；④F=F1，正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；
∴ ，
由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，
∴OA OC=OB OD，故②正确；
由杠杆平衡原理，OC G=OD F1，故③正确；
∴ 是定值，
∴F1的大小不变，
∴F=F1，故④正确.
综上所述，说法正确的是①②③④.
故答案为：D.
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；
根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；求出F的大小不变，判断出④正确.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，∴ ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再整体代入通分后的式子计算即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的顶点在原点，直角边在轴上，，反比例函数的图象分别交边于点，连接，若，，则的值为 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：设OB=m，
点D在反比例函数 的图象上，
AD=2BD，
，
解得k=16，
故答案为，16.
【分析】设OB=m，得到进而得到由得到求出k的值，从而求解.
13．如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，．则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先根据菱形的性质得到，进而结合题意求出OA和AD，再运用勾股定理即可求出OD，从而根据锐角三角形定义即可求解。
14．已知a、b是方程的两根，则代数式 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】先根据一元二次方程的根代入得到，进而得到，从而结合题意即可求出代数式的值。
15．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】6或16或21
【解析】【解答】解：，
x2-9x+14=0，
（x-7）（x-2）=0，
x-7=0或x-2=0，
所以x1=7，x2=2，
∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，
∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，
∴这个三角形的周长为6或16或21．
故答案为：6或16或21．
【分析】先求出方程的解，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
16．如图，点P把线段AB分成两部分，且BP、AP、AB、BP是成比例线段．如果AB＝1，那么BP＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：设BP=x，则AP=1-x，
由题意可知：，
∴，即，
∵x＞0，
解得：，
故答案为：．
【分析】设BP=x，则AP=1-x，由BP、AP、AB、BP是成比例线段，可得，据此即可求解.
17．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
②当在的延长线上时，如图
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.
18．如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 ；的面积与的面积差为 .
【答案】-4；1
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的解为 .
【答案】（1）解：∵关于x的方程有实数根.
∴
，
解得：.
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵m取最大整数，
∴，
∴原方程为，
解得：，
故答案为：.
【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可；
（2）根据（1）中m的取值范围得出m的最大值，从而可得原方程，再利用直接开平方法解方程即可.
20．（6分）如图，和均为等腰三角形，且，，．
（1）求证：；
（2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，且相似比为
∴ 与 的面积比为 ．
∵ 的面积为9，
∴ 的面积为4．
【解析】【分析】（1）利用已知易证，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE，，可推出∠BAD=∠CAE，可证得△BAD∽△CAE，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ACE的面积.
21．（9分）
（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，，若，，则 ；
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中，，点C到AB的距离为10，，且．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？
【答案】（1）4
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
∴四边形ADHB是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=10，
∵BE=6，
∴HE=4，
∵∠B=∠DEF=90°，
∴∠BFE=∠DEH，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BFE∽△HED，
∴，
∴，
∴BF=3，
∴
=8×10 -
=55；
（3）解：过点C作EFAB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，
则FB=EH=10，
由（1）知△ECD∽△FBC，
∴，
∴EC=5，
设ED=x，则CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，
∴
=10×(2x+5)-
==61
解得：，
∴ED=2，
∴CD=．
【解析】【解答】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∵∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠CPB，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∵AP=2，PC=2DP，
∴，
∴BC=4；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ADP=∠CPB，证明△ADP∽△BPC，然后结合AP=2，PC=2DP以及相似三角形的性质进行计算；
（2）过点D作DH⊥BC于H，则四边形ADHB是矩形，DH=AB=8，BH=AD=10，由同角的余角相等可得∠BFE=∠DEH，证明△BFE∽△HED，根据相似三角形的性质可得BF，然后根据S四边形ADEF=S四边形ADHB-S△BFE-S△DHE进行计算；
（3）过点C作EF∥AB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，则FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，根据相似三角形的性质可得EC=5，设ED=x，则CF=2x，HD=10-x，HA=2x-3，然后根据S四边形ABCD=S矩形BFEH-S△BFC-S△CED-S△AHD=61结合矩形、三角形的面积公式可得x，再利用勾股定理进行计算.
22．（9分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）请直接写出不等式 的解集，
（3）点P是x轴上的一点，若 的面积是6，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点 、 是一次函数 与反比例函数 图象的交点．
∴将 代入 ，得 ，
即反比例函数表达式为： ，
将 代入 ，得 ，
∴点B坐标为 ，
将 、 代入 中，得
解得
即一次函数表达式为 ．
（2）解：当 或 时，kx+b＜ ，
∴不等式kx+b＜ 的的解集为： 或 ．
（3）解：如图，直线AB交x轴于点C，连接AP、BP，
∵点C是直线AB与x轴的交点，
∴由 ，解得 ．
即点C坐标为 ，
∵点P是x轴上的一点，设点P坐标为 ，
∴ ，△ABP=S△ACP+S△BCP
∴ ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【解析】【分析】 (1) 利用待定系数法可求得反比例函数函数解析式，然后将点 代入反比例函数解析式可求n得值，再将A，B坐标代入一次函数解析式即可求解；
(2)结合函数图象可直接得出结论；
(3)首先求出直线与x轴交点C的坐标，连接AP、BP，设点P坐标为 ，然后结合A，B，P坐标利用 S△ABP=S△ACP+S△BCP即可求出结果。
23．（9分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
（3）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？
【答案】（1）解：
或
解得：
（2）解：
则
所以
（3）解：设道路的宽应为x米，
由题意得，．
整理得：
解得x=1或x=19．
经检验：不符合题意，舍去，取
答：道路的宽应设计为1米．
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）设道路的宽应为x米，根据题意列出方程，再求解即可。
24．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，CD⊥AB于点D，CD=3。点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动过点P作PQ∥AB交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E。设点P的运动时间为t秒。
（1）求线段PQ的长。(用含t的代数式表示)
（2）当点E落在边AB上时，求t的值。
（3）当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围。
【答案】（1）解：∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．
∴ ，即 .
∴ .
（2）解：当点E落在边AB上时，如图①.
图①
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
．
．
在Rt△APE中，∠APE=90°， ，
∴ ．
∴ ．
∵PQ∥AE，EQ∥AP，∴四边形AEQP是平行四边形.
∴ ，即 .
解得 .
（3）解：0图②
【解析】【分析】（1）易证 △PQC∽△ABC，进而得，即可得到答案；
（2）根据勾股定理，得 AD=4，从而得 ，进而得，根据平行四边形的性质，列出关于t的方程，即可求解；
（3）求出当EQ过点D时，t的值，结合底（2）小题t的值，即可得到答案.
25．（9分）综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.
（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC= - ，BD= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长.
【答案】（1）证明：∵∠ A=40°，∠ B=60°，
∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵∠A ∠B ∠ACB，∴ △ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ ACB，∴ ∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，
∴ ∠ACD=∠ A=40°，∴ △ACD为等腰三角形.∴ ∠DCB=∠ A=40°，
∠CBD=∠ ABC， ∴ △BCD∽△BAC，∴ CD是△ABC的完美分割线.
（2）解：①如图3所示，
当AD=CD时，∠ACD=∠ A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②如图4所示，
当AD=AC时，∠ACD=∠ ADC= ，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③如图5所示，
当AC=CD时，∠ADC=∠ A=48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，
∴这与∠ADC>∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意.
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°.
（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，AC=2，∴AC=AD=2.
∵△BCD∽△BAC，∴
，解得BC=
写成：BC= 或者BC= ，所有结果没化简均不扣分
【解析】【分析】（1）首先由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据∠A、∠B、∠ACB的度数的关系即可判断出△ABC是否为等腰三角形，由角平分线的定义求出∠ACD、∠BCD的度数，然后根据相似三角形的判定定理解答即可；
（2）分①AD=CD，②AD=AC，③AC=CD三种情况， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， 由相似三角形的性质可得∠BCD=∠A，最后由角的和差关系求解即可；
（3）首先由等腰三角形的性质可得AC=AD=2，然后由相似三角形对应边成比例就可求出BC的值.
26．（9分）如图1，已知在 中， ， cm， cm.点 由 出发沿 向点 匀速运动，同时点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 cm/s.以 为边作平行四边形 ，连接 ，交 于点 .设运动的时间为 （单位 ）（ ）.解答下列问题：
（1）用含有 的代数式表示
（2）如图1，当 为何值时，平行四边形 为矩形？
（3）如图2，当 为何值时，平行四边形 为菱形？
【答案】（1）5-t
（2）当 ANME是矩形时，MN⊥AB，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：t= ，
∴当t= 时， ANME是矩形；
（3）当 ANME是菱形时，EN⊥AM，AO=OM=5-t，
则△ANO∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得，t= ，
∴当t= 时， ANME为菱形；
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm.
∴由勾股定理得：AC= =10cm，
∵点M由C出发沿CA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴CM=2tcm，
∴AM=AC-CM=10-2t，
∵四边形AEMN为平行四边形，
∴AO= AM=5-t；
故答案为：5-t；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=10cm，由题意可得CM=2tcm，AM=AC-CM=10-2t，利用平行四边形的性质可得AO= AM，即可求解；
（2）根据矩形的性质可求出MN∥BC，可证△AMN∽△ACB， 根据相似三角形的性质求出t值即可；
（3）由菱形的性质可得EN⊥AM，AO=OM=5-t， 可证△ANO∽△ACB， 根据相似三角形的性质求出t值即可 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
