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华师大版九年级上册期末考前重点提分卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，4） C．（3，） D．（4，）
2．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
4．据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AD与BC相交于点O，，E，F分别是OC，OD的中点，连接EF，若，，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
11．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为(4，0)，y轴上有点B(0，3)点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（ ）
A． ≤OP≤ B．2≤OP≤4
C． ≤OP≤ D．3≤OP≤4
12．在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若 ，则 .
14．如图，在中，，，则 ．
15． 如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a的值是
16．如图，和表示两根直立于地面的木桩，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M，已知，则点M离地面的高度 ．
17．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为 ．（单位：m）
18．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
20．（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜MN如图所示，MN与墙面AB所成的角为∠MNB＝118°，房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小慧坐在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D．
（1）求∠CMD的度数．
（2）能看到的最远处到她的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
21．（9分）如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家的地比馨雨家的地多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）若馨雨家今年收获了800斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每天可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜，馨雨家能赚多少元？
22．（9分）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；
（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
23．（9分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上的动点，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M，连接OM．
（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）求证：AM⊥DF；
（3）当CD=AF时，试判断△MOF的形状，并说明理由．
24．（9分）如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C.
（1）求k.
（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
（3）若反比例函数y2＝ 与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值范围.
25．（9分）在矩形中，，.点是边上的一点（与端点、不重合）
（1）如图1，当时，联结交于点，求线段的长度；
（2）如图2，当时，求四边形的面积；
（3）如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点.设，，求关于的函数关系式，并写出定义域.
26．（9分）如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足.
（1）若点是的中点，求的长和的值.
（2）若是等腰三角形，求的长.
（3）若，点是射线上的点，满足，直接写出的长.
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华师大版九年级上册期末考前重点提分卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA'，则点的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，4） C．（3，） D．（4，）
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作AB⊥x轴于点B，A'B'⊥y轴与点B'
∵A（4，3）
∴OB=4，AB=3
∴OB'=4，A'B'=3
∵点A'在第四象限
∴A'（3，-4）
故答案为：C
【分析】作AB⊥x轴于点B，A'B'⊥y轴与点B'，由题意可得OB=4，AB=3，根据旋转性质可得OB'=4，A'B'=3，再根据第四象限的点的坐标特征即可求出答案.
2．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 设平均每次降价的百分率为x
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
3．在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、P的值为0.5，故选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，的值可能发生变化，故选项不符合题意；
C、当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定，故选项不符合题意；
D、试验次数越多，在附近摆动，并趋于稳定，故选项符合题意.
故选：D.
【分析】大量反复试验的时候，某个事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小有可能发生.
4．据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设增长率为，
依题意，得：．
故答案为：D．
【分析】基本关系：初量×（1+增长率）n=末量，其中n为期数，据此列一元二次方程。
5．如图，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵，即，解得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：B．
【分析】正切就是对边与邻边的比值，先解直角三角形ACD，再解直角三角形ABD，据此求解。
6．如图，AD与BC相交于点O，，E，F分别是OC，OD的中点，连接EF，若，，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
【分析】证明，根据相似三角形的性质，结合中位线求解即可。
7．如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴，本选项结论不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
8．如图，四个完全相同的小球，分别写有1，2，3，4，将其放入袋子里，充分搅匀，随机将小球分成数量相同的两部分，则写有奇数的小球刚好分在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：随机将小球分成数量相同的两部分，
∴确定一部分的同时，另一部分也确定，
共有1，2；1，3；1，4三种分法，
其中奇数恰好分一起的有一种，
∴，
故答案为：C．
【分析】 由题意知确定一部分的同时，另一部分也确定，共有1，2；1，3；1，4三种分法，其中奇数恰好分一起的有一种，然后利用概率公式计算即可.
9．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，，过点D作于A，如图，
∵，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接OD，CE，过点D作于A，由矩形的性质及勾股定理求出OD，再利用矩形的对角线相等即可得解.
10．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由可证，利用相似三角形的性质即可求解.
11．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为(4，0)，y轴上有点B(0，3)点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（ ）
A． ≤OP≤ B．2≤OP≤4
C． ≤OP≤ D．3≤OP≤4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，在y轴上取点B'（0，-3），连接B'C， B’A，
∵B（0，3）A（4，0），∴OB'=OB=3，OA=4， ∴AB'=5， ∵点P是BC的中点， ∴OP=B'C ，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度的最小值为5-2=3；
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度的最大值为5+2=7；
∴≤OP≤.
故答案为：A.
【分析】如图，在y轴上取点B'（0，-3），连接B'C， B’A，利用勾股定理求出AB'=5，根据三角形中位线定理，可得OP=B'C，当点C在线段B'A上时，求出B'C的长度的最小值， 当点C在线段B'A的延长线上时，求出B'C的长度的最大值，从而求出OP的范围.
12．在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若 ，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴ = .
故答案为： .
【分析】由比例的性质“如果，那么”可求解.
14．如图，在中，，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点D作，交于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点D作，交于点G进而根据平行线分线段成比例结合题意即可得到，，进而得到，，再结合题意运用比例的性质即可求解。
15． 如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a的值是
【答案】2
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
解得 ，
故答案是：2
【分析】先根据最简二次根式的定义得到，进而解一元一次方程即可求解。
16．如图，和表示两根直立于地面的木桩，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M，已知，则点M离地面的高度 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，再证明即可求解。
17．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为 ．（单位：m）
【答案】9
【解析】【解答】解：如图，
BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴，即，
∴DE=9．
即旗杆的高度为9m．
故答案为：9
【分析】先证明△ACB∽△DCE，然后利用相似三角形的性质列出比例式，然后将数据代入计算求出DE的长即可。
18．如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 .
【答案】3≤m≤7
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接QM、CM，
∴QM是△APB的中位线，CM是斜边上的中线，
∴，，
在中，，
∴，
∴CM=5，
∵点P是平面内一个动点，
∴点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴C、Q、M可以三点共线，
∴CM-MQCQCM+MQ，
∴3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7.
【分析】取AB的中点M，连接QM、CM，根据三角形中位线定理得QM=2，根据勾股定理算出AB的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CM=5，由点P是平面内一个动点，故点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，进而可得C、Q、M可以三点共线，根据三角形三边之间的关系可得答案.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴.
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠ABF=∠DFE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得∠DFE=∠ABF，然后根据三角函数的概念进行计算.
20．（6分）在学过平面镜成像知识后，小慧在房顶安装一平面镜MN如图所示，MN与墙面AB所成的角为∠MNB＝118°，房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小慧坐在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D．
（1）求∠CMD的度数．
（2）能看到的最远处到她的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】（1）解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°-∠MNB＝180°-118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN-∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°；
（2）解：在Rt△CMD中，CD＝CM tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
答：能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
【解析】【分析】（1）连接MC，过点M作HM⊥NM于点M，由题意得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，根据二直线平行，同旁内角互补可得∠NMC的度数，根据垂直的定义及角的和差可得∠CMH的度数，从而即可求出∠CMD的度数；
（2）在Rt△CMD中，根据正切函数的定义，由CD＝CM tan56°即可算出答案.
21．（9分）如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家的地比馨雨家的地多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）若馨雨家今年收获了800斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每天可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜，馨雨家能赚多少元？
【答案】（1）360
（2）解：设田埂的宽度为，
由题意得：，
解得，
当时，，不符题意，舍去，
答：田埂的宽度为．
（3）解：设每斤西瓜应降y元，则每天可销售斤西瓜，
由题意得：，
解得，
当时，售价为，不符题意，舍去，
当时，售价为，符合题意，
则售完所有的西瓜，馨雨家能赚（元），
答：售完所有的西瓜，馨雨家能赚800元．
【解析】【解答】解：（1）由题意，馨望家地的面积是，
故答案为：360．
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）设田埂的宽度为，根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设每斤西瓜应降y元，则每天可销售斤西瓜，根据题意列出方程，再求解即可。
22．（9分）某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；
（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；
（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？
【答案】（1）解：600-5×5
=600-25
=575（棵）
答：每棵橙子树的产量是575棵
（2）解：设应该多种x棵橙子树，依题意有
（100+x）（600-5x）=60375，
解得x1=5，x2=15（不合题意舍去）．
答：应该多种5棵橙子树
（3）解：设增种m棵树，果园橙子的总产量为（100+m）（600-5m）=-5（m-10）2+60500，
故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个
【解析】【分析】（1）先求出多种5棵橙子树，平均每棵树少结橙子的个数，再用600减去平均每棵树少结橙子的个数即为所求；（2）可设应该多种x棵橙子树，根据等量关系：果园橙子的总产量要达到60375个列出方程求解即可；（3）根据题意设增种m棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量，再配方即可求解
23．（9分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上的动点，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M，连接OM．
（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）求证：AM⊥DF；
（3）当CD=AF时，试判断△MOF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=45°
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（SAS）
（2）证明：由①中△AED≌△DFC，
∴∠EAD=∠FDC，
∵∠ADM+∠FDC=90°，
∴∠ADM+∠EAD=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DF
（3）解：△MOF是等腰三角形，
理由是：∵AD=CD，CD=AF
∴AD=AF
∵AM⊥DF，
∴DM=FM，
∵∠DOF=90°，
∴OM= DF=FM，
∴△MOF是等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据DE=CF和正方形的性质，证明△AED≌△DFC； （2）由△AED≌△DFC得出∠EAD=∠FDC，然后利用等角代换可得出∠AMD=90°，得出了结论． （2）利用等腰三角形三线合一得：DM=FM，再由直角三角形斜边中线可得结论．
24．（9分）如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C.
（1）求k.
（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
（3）若反比例函数y2＝ 与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值范围.
【答案】（1）解：一次函数y1＝x+4的图象过A（﹣1，a），
∴a＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝ 得，
k＝﹣3；
（2）﹣3＜x＜﹣1
（3）解：若反比例函数y2＝ 与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，
即，方程 ＝x+4有实数根，也就是x2+4x﹣k＝0有实数根，
∴16+4k≥0，
解得，k≥﹣4，
∵k≠0，
∴k的取值范围为：k≥﹣4且k≠0.
【解析】【解答】解：（2）由（1）得反比例函数 ，由题意得，
，解得， ， ，
∴点B（﹣3，1）
当y1＞y2，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时，
自变量的取值范围为：﹣3＜x＜﹣1；
【分析】 （1）把点A坐标代入一次函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，再代入反比例函数关系式可求出k的值；
（2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点B的坐标，再根据图象可得出当y1>y2时，x的取值范围；
（3）若反比例函数 y2＝ 一次函数y1=x+4的图象总有交点，就是x2+4x-k=0有实数根，根据根的判别式求出k的取值范围．
25．（9分）在矩形中，，.点是边上的一点（与端点、不重合）
（1）如图1，当时，联结交于点，求线段的长度；
（2）如图2，当时，求四边形的面积；
（3）如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点.设，，求关于的函数关系式，并写出定义域.
【答案】（1）解：四边形是矩形，，，
，，.
又，.
在中，，，，
，.
（2）解：，，.
.
，，
又，
，，.
，四边形的面积为.
（3）解：过点作交于点，则
四边形是矩形，.
，，.
...
，，，
，.
，，，
，，.
.即.
整理得，（）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质结合勾股定理得 ，再根据平行线分线段成比例计算；
（2）根据两个角相等证 和 ，利用相似三角形的性质计算；
（3） 过点作交于点 ，根据平行截相似得 ，根据两角相等得 ，利用相似三角形的性质计算。
26．（9分）如图，矩形中，，，点是射线上的动点，点是射线上的动点，满足.
（1）若点是的中点，求的长和的值.
（2）若是等腰三角形，求的长.
（3）若，点是射线上的点，满足，直接写出的长.
【答案】（1）解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
当点E为的中点时，
，
∴，
∴；
过点F作，，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i当点E在线段上时，F在线段上时，
设，则，，，且()
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：；
ii同理：当点E在射线上时，F在线段上时，
设，则，，，
方法类似：只有当BF=BE时，成立，如图所示：
∴，
解得：；
iii当点E在射线上时，F在射线上时，
设，则，，，，
①当时，如图所示：
∴，无解，不存在；
②当时，如图所示：
过点F作FG⊥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
不符合题意，舍去；
③当时，过点E作，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，不符合题意；
综上可得：当或9时，是等腰三角形；
（3）解：的长为或3.2
【解析】【解答】解：（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点下方时，过点B作BG⊥PE，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，
同理解得：，故不存在；
当点E、F在点B右侧时，点P在点下方时，过点E作，
∵，
∴，，
设，
则 ，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点E、F在点B右侧时，点P在点上方时，过点E作，
同理解得：，故不存在；
综上可得：的长为或.
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC=6，利用勾股定理可得BD，当点E为AB的中点时， AE=BE=4，AE=DF=4，则BF=6，过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，则△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，根据相似三角形的性质可得EH、FG，利用勾股定理求出BH，然后求出FH，再根据三角函数的概念进行计算；
（2）当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8-x，DF=x，BF=10-x，①当BE=BF时，无解；②当BF=EF时，过点E作EH⊥AB，证明△FBH∽△DBA，根据相似三角形的性质可得BH，然后表示出BE、AE，据此可求出x的值；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，证明△ABD∽△GBE，然后根据相似三角形的性质可得x；同理可求出当点E在射线AB上时，F在线段BD上，对应的x的值；当点E在射线AB上时，F在射线BD上时， 同理求解即可；
（3）当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，则DF=AE=6，BE=2，设AP=x，则PE=，证明△EBG∽△EPA，根据相似三角形的性质可得BG、EG，然后表示出PG， 根据三角函数的概念可得x的值，进而可得DP；点P在射线点上方时，过点B作BG⊥PE，同理可得PA的值；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，同理求解即可.当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，同理求解即可.
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