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北师大版八年级上册期末核心考点专练卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．2
2．要使二次根式有意义，x的值不可以取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．如果两个角相等，那么它们是对顶角
C．直角三角形的两锐角互余
D．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等
6．等腰三角形的一个底角为，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．， B．，或，
C．， D．，或，
7．如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．一个装有进水管和出水管的容器，开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图，则8分钟时容器内的水量（单位：升）为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
9．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
10．如图所示，在中，，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．625 B．600 C．175 D．25
11．如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 ．
14．已知，则－abx的算术平方根是 ．
15．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠的度数是 ．
16．若a，b为实数，且，则的值 ．
17．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
18．如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，点D、E分别是直线 、y轴上的动点，则 的周长最小值是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知点 ，解答下列各题：
（1）若点 在 轴上，试求出点 的坐标；
（2）若 ，且 轴，试求出点 的坐标.
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由.
（2）求四边形ABCD的面积.
21．（9分）在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
请解答下列问题：
（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；
（2）此次竞赛中8（2）班成绩的中位数a为 分；
（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：
平均数（分） 中位数（分） 方差
8（1）班 m 90 n
8（2）班 91 a 29
请分别求出m和n的值，并从稳定性方面比较两个班的成绩．
22．（9分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km？
23．（9分）已知一次函数 ，当 时， ；当 ， .
（1）在所给坐标系中画出一次函数 的图象：
（2）求k，b的值；
（3）将一次函数 的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
24．（9分）如图，在中，，是边上的一点，连接并延长到点，连接、，平分交于点．
（1）若，，求；
（2）给出下列三个关系：①；②；③．选取两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，写出这个真命题（用序号表示）；
（3）证明（2）的结论．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点.
备用图
（1）直线的解析式为 ；直线的解析式为 .
（2）横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围.
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
26．（9分）在 中， 与 的平分线相交于点P．
（1）如图①，如果 ，求 的度数；
（2）如图②，作 外角 ， 的角平分线，且交于点Q，试探索 ， 之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段 ， 交于点E若 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求 的度数．
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北师大版八年级上册期末核心考点专练卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】A、∵-2是有理数，不是无理数，∴A不符合题意；
B、∵1是有理数，不是无理数，∴B不符合题意；
C、∵是无理数，∴C符合题意；
D、∵2是有理数，不是无理数，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．要使二次根式有意义，x的值不可以取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】根据题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
∴x不可以取2，
故答案为：A.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值取值范围，再求解即可.
3．在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及∠A+∠B－∠C＝0，求出∠C的度数即可得到答案。
4．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①当a＞0时， a＜0，函数y＝ ax（a≠0）的图象过原点且经过二、四象限，y＝2x＋a的图象经过一、二、三象限，C符合选项；
②当a＜0时， a＞0，函数y＝ ax（a≠0）的图象过原点且经过一、三象限，y＝2x＋a的图象经过一、三、四象限，没有符合选项；
故答案为：C.
【分析】分类讨论：当a＞0时， a＜0，②当a＜0时， a＞0，再利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
5．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．如果两个角相等，那么它们是对顶角
C．直角三角形的两锐角互余
D．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵三角形的一个外角大于任何一个内角是假命题，∴A不符合题意；
B、∵如果两个角相等，那么它们是对顶角是假命题，∴B不符合题意；
C、∵直角三角形的两锐角互余是真命题，∴C符合题意；
D、∵如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等是假命题，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形外角的性质、对顶角的性质、余角的定义、全等三角形的判定方法和真命题的定义逐项分析判断即可.
6．等腰三角形的一个底角为，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．， B．，或，
C．， D．，或，
【答案】B
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的顶角为70°时，
三角形的底角为（180°-70°）÷2=55°，
此时三角形的另外两个角分别是55°，55°；
②当等腰三角形的底角为70°时，
三角形的顶角为180°-70°×2=40°，
此时三角形的另外两个角为70°，40°，
综上，另外两个内角的度数分别是，或，，
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当等腰三角形的顶角为70°时，②当等腰三角形的底角为70°时，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出另两个角即可.
7．如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
8．一个装有进水管和出水管的容器，开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图，则8分钟时容器内的水量（单位：升）为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【解析】【解答】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为20÷4=5升，
设出水管每分钟的出水量为a升，
由函数图象，得20＋8（5－a）=30，
解得：a=，
∴8分钟时容器内的水量为20＋4（5－）=25升.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象求出进水管的进水量为5升，出水管的出水量为升，再根据8分钟时容器内的水量为20＋4（5－），即可得出答案.
9．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
【答案】A
【解析】【解答】解：用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例可以是：a＝﹣3，
∵（﹣3）2＞4，但是a＝﹣3＜2，
∴A符合题意．
故答案为：A．
【分析】先求出（﹣3）2＞4，但是a＝﹣3＜2，再求解即可。
10．如图所示，在中，，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．625 B．600 C．175 D．25
【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
则S=AC2=225+400=625，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AB2+BC2=AC2，再求解即可。
11．如图，在 中， 的平分线相交于点E， 边的垂直平分线相交于点D.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°- ，
∵BE，CE分别 ，
∴
∴
∵ 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= =5，
∵ ，
∴ ，
∴BH= ，则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= = ．
故答案为：B．
【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH= ，即可得BF= ，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF= ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵点的坐标为，
∴点A其关于轴对称的点的坐标为（3，-4） .
故答案为：（3，-4） .
【分析】关于轴对称的点的坐标特征为：纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此解答即可.
14．已知，则－abx的算术平方根是 ．
【答案】
【解析】【解答】根据题意可得，
解得：x=2，
∴，
∴a+3=0，b-2=0，
解得：a=-3，b=2，
∴-abx=-（-3）×2×2=12，
∴－abx的算术平方根是，
故答案为：.
【分析】先利用二次根式有意义的条件求出x的值，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用算术平方根的计算方法求解即可.
15．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：∠ACE=45°，∠B=30°，
∴∠CDB=∠ACE-∠B=45°-30°=15°，
∴∠=180°-∠CDB=180°-15°=165°，
故答案为：165°.
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠CDB=∠ACE-∠B=45°-30°=15°，再利用邻补角求出∠的度数即可.
16．若a，b为实数，且，则的值 ．
【答案】2
【解析】【解答】∵，
∴a+=0，b-2=0，
∴a=，b=2，
∴，
故答案为：2.
【分析】利用非负数之和为0的性质可得a+=0，b-2=0，求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可.
17．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的值为5，
故答案为：5.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再根据题干中的定义求出的值为5即可.
18．如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，点D、E分别是直线 、y轴上的动点，则 的周长最小值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，此时三角形CDE的周长最小，
∵直线y＝x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∵点C是OB的中点，
∴C( ，0)，
∴OG= ，BG= ，
∴ ，
由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，
△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，
∵在Rt△BFG中，FG= ，
故答案为： .
【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，此时三角形CDE的周长最小.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知点 ，解答下列各题：
（1）若点 在 轴上，试求出点 的坐标；
（2）若 ，且 轴，试求出点 的坐标.
【答案】（1）解：由题意可得：2+a =0，解得：a=-2， 则-3a-4=6-4=2， 所以点P的坐标为(2,0)；
（2）解：根据 轴，可得点P的横坐标为5，则-3a-4=5，解得a=-3，则2+a=-1，故点P 的坐标为（5，-1）.
【解析】【分析】(1)因为点 在 轴上，则点P的纵坐标为0，则列出等式即可解决问题；(2)根据 轴，可得点P的横坐标为5，结合题意，列出等式即可解决问题.
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由.
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：∠D是直角.理由如下：
连接AC.
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理得AC2=202+152=625.
又∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°.
（2）解：四边形ABCD的面积= AD DC+ AB BC= ×24×7+ ×20×15=234.
【解析】【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出AC2，再求出CD2+AD2的值，就可得到 AC2=CD2+AD2，利用勾股定理的逆定理就可求出∠D的度数。
（2）根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和，然后利用三角形的面积公式就可求出四边形ABCD的面积。
21．（9分）在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
请解答下列问题：
（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；
（2）此次竞赛中8（2）班成绩的中位数a为 分；
（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：
平均数（分） 中位数（分） 方差
8（1）班 m 90 n
8（2）班 91 a 29
请分别求出m和n的值，并从稳定性方面比较两个班的成绩．
【答案】（1）解：∵8（2）班有2人达到A级，且A等级人数占被调查的人数为20%，
∴8（2）班参赛的人数为（人）
∵8（1）和8（2）班参赛人数相同，
∴8（1）班参赛人数也是10人，
故8（1）班C等级人数为（人）．
补全图形如图：
（2）90
（3）解：（分），
，
∵8（1）班的方差大于8（2）班的方差，
∴从稳定性看8（2）班的成绩更稳定．
【解析】【解答】解：（2）∵8（2）班A级占20%，B级占70%，
∴8（2）班的中位数位于B级，即中位数为90．
故答案为90．
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比求出总人数，再求解即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法求解即可；
（3）利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
22．（9分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km？
【答案】（1）360
（2）解：根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h．
根据题意，得 2(x＋2x)＝360，解得x＝60．
2×60＝120，所以a＝120．
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇．
（3） 解：快车速度为120 km/h，到B市后又回到A市的时间为（h）．
慢车速度为60 km/h，到达A市的时间为360÷60＝6（h）．
如图：
当0≤x≤3时，
设AB的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
解得：
∴AB的解析式为：y＝－120x＋360(0x≤3)．
当3＜x≤6时，
设BC的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
解得：
∴函数的解析式为：y1＝120x－360(3＜x≤6) ．
设OC的解析式为：
由图象得：，；代入得：
解得：
∴OC的解析式为：y2＝60x(0x≤6)．
当0≤x≤3时，
根据题意，得y2－y＝20，即60x－(－120x＋360)＝20，
解得x＝，．
当3＜x≤6时，
根据题意，得y2－y1＝20，即60x－(120x－360)＝20，
解得x＝，－2＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或h两车相距20km．
【解析】【解答】（1）由题意得：A市和B市之间的路程是360 km；
【分析】（1）根据函数图象直接求出A、B两市之间的距离即可；
（2）根据题意列出方程2(x＋2x)＝360，再求解即可。
（3）先求出直线AB，直线BC和直线AC的解析式，再分类讨论，结合“ 两车相距20km ”列出方程求解即可。
23．（9分）已知一次函数 ，当 时， ；当 ， .
（1）在所给坐标系中画出一次函数 的图象：
（2）求k，b的值；
（3）将一次函数 的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
【答案】（1）函数图象如图所示，
（2）将x=1，y=-1；x=-1，y=-5分别代入一次函数解析式得：
，解得 ；
（3）由（2）可得，一次函数的关系式为y=2x-3.
一次函数y=2x-3的图象向上平移2个单位长度，
可得y=2x-1，
令y=0，则 ；令x=0，则y=-1，
∴与x轴，y轴的交点坐标分别为 和（0，-1）.
【解析】【分析】 （1）依据两对对应值作为点的坐标，即可在所给坐标系中画出一次函数y=kx+b的图象；
（2）将已知的两对x与y的值代入一次函数解析式，即可求出k与b的值；
（3）依据一次函数图象平移的规律，即可得到新的函数及其图象与x轴，y轴的交点坐标．
24．（9分）如图，在中，，是边上的一点，连接并延长到点，连接、，平分交于点．
（1）若，，求；
（2）给出下列三个关系：①；②；③．选取两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，写出这个真命题（用序号表示）；
（3）证明（2）的结论．
【答案】（1）解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）=50°
∵
∴∠ABF=∠ABC－∠FBC=30°
∵平分
∴∠BAF==40°
∴∠AFD=∠BAF＋∠ABF=70°；
（2）解：①③，结论：②
（3）证明：延长AF交BC于点G
∵，平分
∴∠BAF=∠CAF，AG⊥BC，即∠AGC=90°
∴∠FAD＋∠ACG=90°
∵
∴∠ECD＋∠ACG=90°
∴∠FAD=∠ECD
∵∠ADF=∠CDE，AD=CD
∴△ADF≌△CDE
∴AF=CE
∵∠BAF=∠CAF，∠FAD=∠ECD
∴∠BAF=∠ACE
∵AB=CA
∴△BAF≌△ACE
∴．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质及三角形内角和解答即可；
（2）根据题意得出命题即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质证明解答即可。
25．（9分）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过点的直线交轴正半轴于点，交轴于点，，直线交轴负半轴于点.
备用图
（1）直线的解析式为 ；直线的解析式为 .
（2）横坐标为的点在线段上（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式并直接写出相应的的取值范围.
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：点在上，且横坐标为，.
轴，点的纵坐标为.
代入直线，得，解得.
.
.
即与之间的函数关系式为.
（3）解：①如图1，当时，有，，，
图1
，解得..
②如图2，当时，有，的长等于点的纵坐标，
图2
.，
解得.
点的横坐标为..
③如图3，当时，有，
图3
.
，.
过点作于点，
.，即.
同理可得.
.
点与点的纵坐标相同，.
，解得.
.
点的横坐标为.
.
综上所述，在轴上存在点的坐标为或或，使为等腰直角三角形.
【解析】【解答】解：（1）∵OB＝OC，
∴设直线AB的解析式为y＝-x+n，
∵直线AB经过A（-1，3），
∴1+n＝3，
∴n＝2，
∴直线AB的解析式为y＝-x+2，
设直线AD为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AD为：.
故答案为：y＝-x+2；.
【分析】（1）先设出函数解析式，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）点P在AB上，且横坐标为m，可得P（m，-m+2）.可得点E的纵坐标为-m+2.求解，可得.从而可得函数解析式；
（3）分三种情况讨论：①如图1，当∠FPE＝90°时，有PF＝PE，PF＝-m+2，；
②如图2，当∠PEF＝90°时，有EP＝EF，EF的长等于点E的纵坐标；
③如图3，当∠PFE＝90°时，有PF＝EF，再利用等腰直角三角形的性质与方程思想解题即可.
26．（9分）在 中， 与 的平分线相交于点P．
（1）如图①，如果 ，求 的度数；
（2）如图②，作 外角 ， 的角平分线，且交于点Q，试探索 ， 之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段 ， 交于点E若 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求 的度数．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵点P是 和 的平分线的交点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵外角 ， 的角平分线交于点Q，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴
；
（3）解：延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E= ∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
= ∠ABC+ ∠MBC
= （∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB的度数，最后利用三角形的内角和求出∠P即可；
（2）根据角平分线的定义可以得到 ， ，再根据平角的定义可以得到 ， ， 最后利用角的运算及等量代换即可得到答案；
（3）参照（2）中的结论可以得到∠A与∠Q之间的关系，再利用角的运算分类讨论即可。
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