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北师大版九年级上册期末模拟示范卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ）
A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝0
2．用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）．
A． B．4 C． D．8
3．如图，与的形状相同，大小不同，是由的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（ ）
A．横坐标和纵坐标都乘以2 B．横坐标和纵坐标都加2
C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2
4．在中，，，，为边一点且，若过点作直线截，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
5．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到720吨，若平均每年的增长率是x，则可列方程（）
A．500(1+2x)=720 B．500(1+x)=720
C．500(1+x)=720 D．720(1+x)=500
8．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（ ）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
9．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相同，设为x.则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，点P是 中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB=6；BC=8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
12．如图，直线 与双曲线 交于 ， ，直线AB交x轴于 ，下列命题：① ；②当 时， ；③若 为线段AB的中点，则 ，其中正确的命题有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．
14．已知一元二次方程的两根为，，则 .
15． 如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A'的坐标为 ．
16．某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐，则甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为 ．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为．
（1）若围成的花圃面积为，求的长．
（2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
20．（6分）已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程一实数根为-3，求实数的值.
21．（9分）某校为了解七、八年级学对生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理描述和分析部分信息如下：
a．七年级成线频数分布直方图：
b．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
c．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人，并写出表中m的值 ；
（2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（3）已知样本中成绩在50－60分的学生，其中有两名女生，若从这6人中随机选2人，求选到的两个人是一男一女的概率．
22．（9分）如图一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使的值最小，若存在请直接写出的最小值，若不存在请说明理由．
23．（9分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
（1）在图中画出△DEF；
（2）点E是否在直线OA上？为什么？
（3）△OAB与△DEF 位似图形（填“是”或“不是”）
24．（9分）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；
（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1= ，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数 的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（9分）小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为 的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转， 的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF.
（1）（探究发现）
在三角板旋转过程中，当 的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图 所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系： .
（2）（拓展思考）
在三角板旋转过程中，当 的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图 所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：▲，并证明你的结论；
（3）（创新应用）
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当 的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长.
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北师大版九年级上册期末模拟示范卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ）
A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝0
【答案】D
【解析】【解答】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断.有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程.
2．用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）．
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：
即
故答案为：B
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
3．如图，与的形状相同，大小不同，是由的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（ ）
A．横坐标和纵坐标都乘以2 B．横坐标和纵坐标都加2
C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：△O A1B1∽△OAB，
∵O(0，0)，A(2，1)，B(1，3)，B1点的坐标为(2，6)，A1(4，2)
∴横坐标和纵坐标都乘以2
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，结合点的坐标求解即可。
4．在中，，，，为边一点且，若过点作直线截，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G
则△ADE∽△ABC，△BDG∽△BAC，过D作∠ADF=∠C交AC于点F
∵∠A=∠A
∴△ADF∽△ACB
同理，作∠BDH=∠C交BC于H
则△BDH∽△BCA
∴满足这样条件的直线可作4条
故答案为：C
【分析】作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G，根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
5．若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵-1>-2，即
故答案为：C
【分析】将点A，B坐标代入反比例函数解析式可求出y1，y2值，再比较有理数的大小即可求出答案.
6．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵a∥b∥c，
∴，，，，
故答案为：D.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
7．某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到720吨，若平均每年的增长率是x，则可列方程（）
A．500(1+2x)=720 B．500(1+x)=720
C．500(1+x)=720 D．720(1+x)=500
【答案】B
【解析】【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2=720；
故答案为：B．
【分析】设平均每月增率是x，根据 一月份的总产量 ×（1+增长率）2=三月份的产量，列出方程即可.
8．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（ ）
A．平行线的性质 B．相似三角形的判定
C．位似图形 D．旋转
【答案】C
【解析】【解答】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质及旋转的概念逐项判断即可。
9．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】【解答】解：设原菜地的长为 ，则原矩形菜地的宽
由题意得：
解得： ， （不合题意，舍去）
故答案为：B
【分析】设原菜地的长为 ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.
10．九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相同，设为x.则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设每月增长率为x，
根据题意得：10（1+x）2＝12.1.
故答案为：C.
【分析】设每月增长率为x，根据增长率公式列出方程即可.
11．如图，点P是 中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB=6；BC=8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【解析】【解答】解：连接BP
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB=∠ABC=∠PNB=90°
∴四边形MBNP为矩形
∴BP必过MN的中点O，且BO=
∴当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小
根据勾股定理AC=
即当BP⊥AC时， = AB·BC= AC·BP
即 ×6×8= ×10BP
解得：BP=4.8
∴BO最小为 =2.4
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据矩形的判定可知四边形MBNP为矩形，从而得出BP必过MN的中点O，且BO= ，根据垂线段最短可得当BP⊥AC时，BP最小，即BO最小，利用勾股定理求出AC，然后利用三角形的面积公式求出BP，从而求出结论.
12．如图，直线 与双曲线 交于 ， ，直线AB交x轴于 ，下列命题：① ；②当 时， ；③若 为线段AB的中点，则 ，其中正确的命题有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线 上，
∴x1y1=x2y2=m2+1，
∴ ，①符合题意；
∵当x1＜x＜x2时，直线y=kx+b在双曲线 上方，
∴当 时， ，②符合题意；
∵M（t，s）为线段AB的中点，
∴ ，
当 时，
即 ，
此时， ，
∴ ，
把C（x0，0）代入y=kx+b得kx0+b=0，
解得 ，
∴x1+x2=x0，
∴ ，所以③符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数上的点横纵坐标之积相等，可得x1y1=x2y2，整理即可判断①；
结合函数图象一次函数在反比例函数上的的部分可对②进行判断；
根据线段的中点公式可得 ，联立反比例函数和一次函数整理后得一元二次方程 ，根据根与系数关系可得 ，由此可得 ，由一次函数与x轴的交点可得 ，由此可判断③．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3
∴
解得：k=±6
∵k>0
∴k=6
故答案为：6
【分析】根据反比例函数中系数k的几何性质即可求出答案.
14．已知一元二次方程的两根为，，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为
∴，
故答案为：2．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
15． 如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A'的坐标为 ．
【答案】（2.5，﹣3）
【解析】【解答】∵ △A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），
∴点A'的坐标为（-5×，6×），即（2.5，-3），
故答案为：（2.5，-3）.
【分析】利用位似图形的性质及点坐标的定义列出算式求出点A'的坐标即可.
16．某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐，则甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画出树状图如图.
一共有8种等可能性，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的可能性有2种，
∴甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为，
故答案为： .
【分析】先画出树状图，再数出所有等可能性数与符合条件的等可能性数，求出比值即可.
17．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有实数根，
解得：
解分式方程，得
关于y的分式方程的解是正数，
且
解得a>-4，且
a得取值范围为-4
所有满足条件的整数a的值有-3，-1，0，1，2，
所有满足条件的整数a的值之和为-1，
故答案为：-1.
【分析】先根据根的判别式得到解得解分式方程得到再根据y>0且不等于1解得a>-4，且进而求出a的值，从而求解.
18．已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
【答案】2或6或
【解析】【解答】解：根据题意，
三角形相似有两种情况
当时
解得BE=2或6
当时
解得
综上，BE=2或6或
故答案为：2或6或
【分析】根据题意分析图，由相似三角形的性质易证得BE的长为2或6，特别容易忽略第二个三角形相似的情况；题中说与以、、为顶点的三角形相似，因为直角已定，另两组角对应相等有两种情况，故对应线段成比例也有两种情况。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为．
（1）若围成的花圃面积为，求的长．
（2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设垂直于墙的边长为，根据题意得，
则，
解得，，
当时，；当时，．
墙可利用的最大长度为，舍去，
答：的长为．
（2）解：不能围成这样的花圃．
理由：依题意可知，
即，
，
∴方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
【解析】【分析】（1）设垂直于墙的边长为，根据题意得，根据“ 花圃面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）先根据“ 花圃面积为 ”列出方程，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可.
20．（6分）已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程一实数根为-3，求实数的值.
【答案】（1）解：，，，方程有实数根，
，
；
（2）解：若方程一实数根为，则，
，
，.
经检验：两个解都符合题意，
∴m的值为或.
【解析】【分析】（1）此方程是关于x的一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数a，一次项的系数b，常数项c，然后根据方程有实数根，可得根的判别式b2-4ac的值不定不为负数，从而列出不等式，求解即可；
（2）根据方程根的定义，将x=-3代入原方程可得关于字母m的方程，再利用配方法解方程得出m的值，最后根据（1）中m的取值范围检验即可得出答案.
21．（9分）某校为了解七、八年级学对生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理描述和分析部分信息如下：
a．七年级成线频数分布直方图：
b．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
c．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人，并写出表中m的值 ；
（2）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两名学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（3）已知样本中成绩在50－60分的学生，其中有两名女生，若从这6人中随机选2人，求选到的两个人是一男一女的概率．
【答案】（1）23；77.5
（2）解：甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（3）解：∵样本中成绩在50－60分的学生有6人，女生有2人，
则男生有4人，画树状图如下：
∵共有30种等可能的结果，选中一男一女的有16种情况，
∴选中一男一女的概率为=．
【解析】【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，
七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m==77.5；
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义，结合表格中的数据计算求解即可；
（2）根据 在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分， 计算求解即可；
（3）先画树状图，再求出 共有30种等可能的结果，选中一男一女的有16种情况， 最后求概率即可。
22．（9分）如图一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使的值最小，若存在请直接写出的最小值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象过点，代入解析式得：
解得：，
∴一次函数解析式为：，
点C在直线AB上，，
∴点C（2，6），
∵点C在反比例函数图像上，
∴，
∴；
（2）解：过点C作CE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴CE∥PF，
∴∠ECD=∠FPD，∠AED=∠PFD，
∴△CED∽△PFD，
∴，
∵，
∴CP=2PD，
∴CD=CP+PD=2PD+PD=3PD，
∵EC=6，
∴，
∴PF=2，
∵点P在上，
∴，
解得x=6，
∴点P（6，2），
设CP解析式为：，过C、P两点，代入坐标得：
，
解得，
∴CP解析式为：，
当y3=0时，，
∴点D（8，0）
∴S△OPC=S△DOC-S△POD=；
（3）
【解析】【解答】解：（3）作点C关于y轴对称点C′（-2，6），连结C′P ，
∵CQ=C′Q，
∴，
当C′P交y轴于Q，的值最小，
∴．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△CED∽△PFD，则，而， 利用S△OPC=S△DOC-S△POD，即可求解；
（3）作点C关于y轴对称点C′（-2，6），连结C′P ，得出，当C′P交y轴于Q，的值最小，利用勾股定理求得结果。
23．（9分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．
（1）在图中画出△DEF；
（2）点E是否在直线OA上？为什么？
（3）△OAB与△DEF 位似图形（填“是”或“不是”）
【答案】（1）解：如图所示：△DEF，即为所求；
（2）解：点E在直线OA上，
理由：设直线OA的解析式为：y＝kx，
将A（3，2）代入得：2＝3k，
解得：k＝ ，故直线OA的解析式为：y＝ x，
当x＝6时，y＝ ×6＝4，
故点E在直线OA上
（3）解：△OAB与△DEF是位似图形． 故答案为：是．
【解析】【分析】（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；（2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；（3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．
24．（9分）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；
（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？
【答案】（1）设y1=k1x，∵函数经过点（10，8），
∴8=10k1，k1= ，
∴y1= x；
（2）设y2= ，∵函数经过点（10，8），
∴8= ，k2=80，
∴y2= ；
（3）令y2=1.6，则 =1.6，x=50，
∴50min后学生才能回教室.
【解析】【分析】（1） 药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例 ，故设 y1=k1x， 然后将点（10，8）代入计算出k1的值，从而求出y1与x1的函数关系式；
（2） 燃烧后，y与x成反比例 ，故 设y2= ， 将点（10，8）代入即可算出k2的值，从而求出y2与x2的函数关系式；
（3）将 y2=1.6 代入（2）所求的函数解析式，即可算出对应的自变量的值，从而求出从消毒开始， 到学生能返回教室的时间。
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1= ，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数 的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程x2﹣14x+48=0，得：x1=6，x2=8．
∵OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8．
∴A（6，0），B（0，8）．
（2）解：如图所示，过点D作DE⊥x轴于点E．
在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理得：AB=10．
∴ ．
∵sin∠1= ，∴∠OBA=∠1．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE．
在△AOB与△DEA中，∵∠OBA=∠1，AB=AD，∠OAB=∠ADE，
∴△AOB≌△DEA（ASA）．∴AE=OB=8，DE=OA=6．∴OE=OA+AE=6+8=14．
∴D（14，6）．
∵反比例函数 的图象经过点D，∴k=14×6=84．
（3）存在．点N的坐标为（4，11）或（16，20）．
【解析】【解答】解：（3）如答图所示，可能存在两种情形：
如图所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，
①当AB：AM1=2：1时，
过点M1作M1E⊥x轴于点E，
易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，
∴ ，即
∴AE=4，M1E=3．
过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，
∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11．
∴N1（4，11）．
②当AB：AM2=1：2时，同理可求得：N2（16，20）．
综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．
【分析】（1）先利用因式分解法求出一元二次方程的解即可得到点A、B的坐标；
（2）先利用勾股定理求出AB，再根据，sin∠1= ，可得∠OBA=∠1，然后利用“ASA”证明△AOB≌△DEA，可得AE=OB=8，DE=OA=6，再利用线段的和差可得OE的长，即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）分两种情况，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
26．（9分）小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为 的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转， 的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF.
（1）（探究发现）
在三角板旋转过程中，当 的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图 所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系： .
（2）（拓展思考）
在三角板旋转过程中，当 的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图 所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：▲，并证明你的结论；
（3）（创新应用）
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当 的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长.
【答案】（1）
（2）结论： |
理由：在DC上截取 ，连接AH，如图 ，
， ，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
≌ ，
，
，
.
（3）①当MA经过BC的中点E时，由（1）（2）可知：设 ，则 ， .
在 中， ，
，
.
②当NA经过BC的中点G时，由（1）（2）可知：设 ，则 ， ，
， ，
由勾股定理得到： ，
，
.
【解析】【解答】解： （1）结论： .
理由：延长FD至G，使DG=BE ，连接AG，如图① ，
∵ABCD 是正方形，
， ，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
，
≌ ，
，
，
即： .
故答案为： ；
【分析】（1）EF=DF+BE，理由：延长FD至G，使DG=BE ，连接AG，如图①，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△GAF ≌△EAF，可得EF=GF ，从而得出GF=DF+DG=DF+BE，即可得解；
（2）EF=DF-BE，理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②， 证明△ADH≌△ABE， 再证明△HAF≌△EAF，可得HF=EF，由DF=DH+HF可得EF=DF-BE，即得结论 ；
（3） 分两种情况：①当MA经过BC的中点E时，②当NA经过BC的中点G时 ，利用勾股定理分别解答即可.
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