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人教版九年级上册期末命题趋势预测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则＝（ ）
A．±1 B．1 C．0 D．－1
5．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽度的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，点A，B，D在上，且于点C，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
7．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s甲2＝3，s乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
8．以原点为中心，把点逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点.连接 ，当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若方程是一元二次方程，当m满足条件 ．
12．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
13．一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
15．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推铅球的成绩是 .
16．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到二次函数的图象，若函数的图象与一次函数的图象有4个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
18．（9分）在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式，并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
20．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值.
21．（9分）如图，已知∠BAC=30°，把△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置，使得点D，A，C在同一直线上．
（1）△ABC旋转了多少度
（2）连接CE，试判断△AEC的形状；
（3）求 ∠AEC的度数．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内一点，给出如下定义：过点A作AB⊥y轴于点B，作正方形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的⊙A的“友好正方形”．
（1）如图1，若点A的坐标为（1，1），则⊙A的半径为 ．
（2）如图2，点A在双曲线y= （x＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，试判断点C与⊙A的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，若点A是直线y=﹣x+2上一动点，正方形ABCD为⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围．
23．（9分）已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作交CE的延长线于点F，若，，求AF的长．
24．（9分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，4），且与直线y＝－ x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标.
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人教版九年级上册期末命题趋势预测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，A符合题意；
B、是一元一次方程，不是一元二次方程，B不符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，C不符合题意；
D、是一元三次方程，不是一元二次方程，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得树状图：
∴两人同坐1号车的概率为：；
故答案为：C．
【分析】根据树状图列举出所有等可能结果，找出两人同坐1号车的情况数，然后利用概率公式计算即可.
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线解析式为，
即，
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则＝（ ）
A．±1 B．1 C．0 D．－1
【答案】D
【解析】【解答】将x=0代入可得：k2-1=0，
解得：k=±1，
∵一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1，
∴k=-1，
故答案为：D.
【分析】先将x=0代入方程求出k的值，再利用一元二次方程的定义可得k-1≠0，求出k≠1，再求出k的值即可.
5．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽度的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 设小路的宽为，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设小路的宽为，再根据“小路分成的四块小试验田的总面积为”列出方程即可.
6．如图，在中，点A，B，D在上，且于点C，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵，，
∴AC=BC=AB=12，
∵，
∴OB=OD=13，
在Rt△OBC中，OC=，
∴CD=OD-OC=13-5=8，
故答案为：C.
【分析】利用垂径定理可得AC=BC=AB=12，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
7．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为s甲2＝3，s乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【答案】C
【解析】【解答】解：A.因为s甲2＞s乙2，所以甲的跳远成绩比乙稳定，故本选项错误，不符合题意；
B.了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误，不符合题意；
C.一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是，故本选项正确，符合题意；
D.可能性是1%的事件在一次试验中有可能会发生，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定可判断A；根据抽样调查适宜的条件可判断B；找出出现次数最多的数据可得众数，求出中间两个数据的平均数可得中位数，据此判断C；根据可能性的意义可判断D.
8．以原点为中心，把点逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由图可知：；
故答案为：A.
【分析】先建立平面直角坐标系，定点A（3，0），然后确定点A逆时针旋转90°得到点B，根据位置写出坐标即可.
9．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点.连接 ，当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
≤AB，当ABM三点共线时取等号，
当 B，A，M三点共线时， 最大，
则直线 与对称轴的交点即为点 .
由 可知， ，
对称轴
设直线 为 .
故直线 解析式为
当 时，
.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，抛物线的对称轴为x=1，根据三角形三边的关系得 ≤AB，当A、B、M三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时， 最大.求出点M的坐标即可.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作AB⊥PP'交AB于点D.
由旋转的性质可知， AP = AP'，∠PAP'= 120° .
∴PP' = 2PD，∠APD= 30° .
∴当线段PD最短时， 线段PP′取得最小值.
∵P为 BC边上一动点， D为线段AB上一点，
∴当AP⊥BC时， 线段AP最短.
在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠C= 30° .
∴AP =AC＝2.
∵∠APD= 30°，
∴AD =AP＝1.
∴PD=
∴PP' =
故答案为：B.
【分析】作AB⊥PP'交AB于点D，得到线段PD最短时， 线段PP′取得最小值，然后根据直角三角形中30°角的性质，求出AP和AD，最后根据勾股定理求解即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若方程是一元二次方程，当m满足条件 ．
【答案】
【解析】【解答】∵方程是一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m≠1.
故答案为：m≠1。
【分析】根据一元二次方程二次项系数不能为0，即可得出答案。
12．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：连接OA
∵在中，半径垂直弦于点D，
∴
∵OC=3
∴OA=OC=3
在Rt△AOD中，
∴CD=3-1=2
故答案为：2
【分析】连接OA ，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
13．一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
【答案】50
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
故答案为：．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，利用垂径定理可得，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，且，再求解即可.
15．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推铅球的成绩是 .
【答案】
【解析】【解答】令函数式 中，y=0，
，
解得x1=10，x2=-2（舍去）.
即铅球推出的距离是10m.
故答案为：10.
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.
16．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到二次函数的图象，若函数的图象与一次函数的图象有4个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解： 二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到二次函数，
∵ 函数 ，
∴的图象如图所示，
由图可知当直线位于l1和l2之间时有4个交点，
当y=0时，解得x1=1，x2=3，
即l1过(1.0)，代入得b=-1，
抛物线向上翻折部分解析式为，
令，则，即x2-3x+b+3=0，
∵有一个交点，
∴，解得：，
∴ 实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】先求出y1的解析式，然后画出y2的图象，借助图象可得当直线位于l1和l2之间时有4个交点，然后分别求出临界值即可解题.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．
特级柑橘的售价(元/千克) 14 15 16 17 18
特级柑橘的日销售量(千克) 1000 850 900 850 800
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为 千克；
（2）按此市场调节的规律来看，若特级柑橘的售价定为16.5元每千克，估计日销售量，并说明理由．
（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘只售完好的柑橘，且售价保持不变，求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000
（2）解：设特级柑橘的售价为 元 / 千克，日销售量是 千克，
由表格可知， 是 的一次函数，设 ，把 ， 代入得：
，
解得 ，
，
当 时， ，
特级柑橘的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克；
（3）解：∵12天内售完这批特级柑橘，
，
解得 ，
设该公司每日销售该特级柑橘的利润为 元，
根据题意得： ，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为 元 ，
答：该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润是6750元
【解析】【解答】解：（1）由图可知，完好的柑橘的总重量为 （千克），
故答案为：9000；
【分析】（1）由统计图可得柑橘损坏率在0.1左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，进而根据柑橘损坏率可得答案；
（2）由待定系数法得到日销售量y与销售单价x的函数关系式，再令单价为16.5即可求得答案；
（3）由12天内售完这批特级柑橘，可得特级柑橘的售价x≤19，设该公司每日销售该特级柑橘的利润为W元，根据每天的销售数量乘以当天每千克柑橘的利润=总利润建立出函数关系式，进而根据二次函数性质即可求出答案．
18．（9分）在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
【答案】（1）解：∵函数（，且m，n为实数），
函数图象的对称轴为
（2）证明：令，则，
即，
m，n异号，
∴，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知
，
.
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式可得对称轴；
（2）令y=0，可得(x+1)2=，由m、n异号可得>0，则一元二次方程有两个不相等的实数根， 据此证明；
（3）由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，则2q-(p+q)=6m<0，据此可得m的范围.
19．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式，并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6），
则，
解得：，
∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝2，顶点为（1，﹣2），
令y＝0，则x＝0或2，
∴抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0）
图象如图所示：
（2）由图象知，当y＜0时，x的取值范围为0＜x＜2；
（3）y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
由平移的性质，把图象向右平移3个单位后的函数解析式为：y＝2（x﹣1﹣3）2﹣2＝2x2﹣12x+30，
∴平移后图象所对应的函数关系式为y＝2x2﹣12x+30．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标，在平面直角坐标系中画出抛物线即可；
（2）结合图象得出当0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，即可得出答案；
（3）先把抛物线的解析式化为顶点式，再根据平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后图象所对应的函数关系式，即可得出答案.
20．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值.
【答案】（1）解：设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4
∴x1＝﹣4，x2＝2
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
（2）解：令x＝0，可得y＝4
∴C(0，4)
∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC＝×6×4＝12
（3）解：如图：作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y＝kx+b
∴
解得：
∴AC解析式y＝x+4
设P(t，﹣ t2﹣t+4)则D(t，t+4)
∴PD＝(﹣t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣t2﹣2t＝﹣(t+2)2+2
∴S△ACP＝PD×4＝﹣(t+2)2+4
∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4
【解析】【分析】（1）设y＝0， 解关于x的一元二次方程，即可解答；
（2）令x＝0， 求出抛物线与y轴交点的坐标，然后求出AB长，计算△ABC的面积即可；
（3）作PD⊥AO交AC于D ，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设 P(t，﹣ t2﹣t+4)，则D(t，t+4) ，根据S△ACP =S△APD+S△CPD，建立函数关系式，根据二次函数的性质求最大面积即可.
21．（9分）如图，已知∠BAC=30°，把△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置，使得点D，A，C在同一直线上．
（1）△ABC旋转了多少度
（2）连接CE，试判断△AEC的形状；
（3）求 ∠AEC的度数．
【答案】（1）解：∵点D，A，C在同一直线上，
∴∠BAD=180°-∠BAC=180°-30°=150°，
∴△ABC旋转了150°；
（2）解：根据旋转的性质，可知AC=AE，
∴△AEC是等腰三角形；
（3）解：根据旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=150°，AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-∠CAE）÷2=（180°-150°）÷2=15°．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，利用补角性质即可解题；
（2）根据旋转后的对应边相等即可解题；
（3）利用旋转的性质得出 ∠CAE=∠BAD=150°，AC=AE， 进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可算出答案.
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内一点，给出如下定义：过点A作AB⊥y轴于点B，作正方形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的⊙A的“友好正方形”．
（1）如图1，若点A的坐标为（1，1），则⊙A的半径为 ．
（2）如图2，点A在双曲线y= （x＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，试判断点C与⊙A的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，若点A是直线y=﹣x+2上一动点，正方形ABCD为⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图2中，
∵A（2， ），∴O A=
∵AC=2 = =
∴O A＜A C，
∴点C在⊙A外．
（或如图，利用勾股定理直观分析：∵OB＜BC，AB=AB，∴O A＜A C也可以）
（3）解：如图3中，
∵点A是直线y=﹣x+2上一动点，直线与坐标轴是夹角为45°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴点C（0，2），
∴当AC＜OA时，正方形ABCD在⊙A内部，
∵AC=OA时，点A（1，1），
∴m＜1时，AC＜OA，
∵m=0时，正方形不存在，
∴m＜1且m≠0时，正方形ABCD在⊙A内部
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接OA．
∵A（1，1），AB⊥y轴，
∴AB=OB=1，∠ABO=90°，
∴OA= = = ，
∴⊙A的半径为 ．
故答案为 ；
【分析】（1）如图1中，连接OA．在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA即可．（2）求出⊙A的半径以及AC的长，即可判断，当AC=OA时，点C在⊙A上，当AC＞OA时，点C在⊙A外，当AC＜OA时，点C在⊙A内．（3）由题意可知点C（0，2），根据AC＜OA，即可即可问题，注意m≠0．
23．（9分）已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作交CE的延长线于点F，若，，求AF的长．
【答案】（1）证明：，过圆心，
，且，
，
（2）证明：连接，
设，则，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得，所以；
（2）连接BE，设，则，利用角的运算求出，即可得到 ；
（3）过点作于点，在上截取，连接，利用勾股定理求出EG和CE的长，再利用三角形的面积公式可得，最后将数据代入求出即可。
24．（9分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，4），且与直线y＝－ x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标.
【答案】（1）解：由直线y=- x+1可知A（0，1），B（-3， ），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得： ，
解得： ，
则二次函数的解析式是： ；
（2）解：设N（x， ），
则M（x，- x+1），P（x，0）.
∴MN=PN-PM
=
=
= ，
则当x=- 时，MN的最大值为
（3）解：连接MC、BN、BM与NC互相平分，
即四边形BCMN是平行四边形，
则MN=BC，
即 ，
整理得：x2+3x+2=0，
解得：x=-1或x=-2.
所以，y=4或4.5，
故当N（-1，4）（-2，4.5）时，BM和NC互相平分.
【解析】【分析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）四边形BCMN是平行四边形，则BC=MN，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标.
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