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浙教版九年级上册期末焦点热题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是不可能事件的为（ ）．
A．打开电视机的新闻频道，它正在播新闻
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
C．掷一枚硬币，正面向上
D．早晨太阳从西方升起
2．如图，是的直径，，则（ ）
A．35° B．55° C．70° D．75°
3．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
4．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是线段上黄金分割点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线 交 轴于点 ，交过点 且平行于 轴的直线于另一点 ，交 轴于 ， 两点（点 在点 右边），对称轴为直线 ，连接 ， ， ．若点 关于直线 的对称点恰好落在线段 上，下列结论中错误的是（ ）
A．点 坐标为 B．
C． D．
9．如图，在线段 上有一点 ，在 的同侧作等腰 和等腰 ，且 ， ， ，直线 与线段 ，线段 分别交于点 ，对于下列结论：① ∽ ；② ∽ ；③ ；④若 ，则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
10．已知AD，BE，CF分别为△ABC的三条高，连结DE，DF， ∠ABC=45°，∠ACB=60° ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 ．
12．若，则a的值为 ．
13．已知点、、为抛物线上的点，则 ．
14．如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
15．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m.
16． 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点.
（1）求与的函数关系式；
（2）直接写出当时，x的取值范围；
（3）点C为一次函数图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求n的值.
19．（9分）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米.设，矩形的面积为.
（1）可表示为 ；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由.
20．（9分）为了更好落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，我县一中学定于每周四下午进行兴趣课“走班制”，开设了5类兴趣课（每位学生均选其一）：A.音乐；B.体育；C.美术；D.信息技术；E.演讲.为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求此次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若“E”类兴趣班中有2名男生和3名女生，从中随机抽取2名参加县级演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
21．（9分）如图，在中，，D为AB上的一点，交AC于点E.
（1）如图1，由题意可得：；
（2）如图2，将图1中的逆时针旋转到，连结BF、CG.求证：；
（3）如图3，将图1中的逆时针继续旋转到，且，连结与AC相交于点H，连结，与交于点O，若，，求AO的长.
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，
C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，过点B作BC的垂线，分别交射线 ， 于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AB＝AF；
（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．
23．（12分）如图，四边形是圆的内接四边形，，将绕点旋转至．
（1）证明：点，，三点共线；
（2）若，圆的半径为，求弦的长；
（3）如图，若，试探究弦，，之间的数量关系，并证明．
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浙教版九年级上册期末焦点热题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，是不可能事件的为（ ）．
A．打开电视机的新闻频道，它正在播新闻
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
C．掷一枚硬币，正面向上
D．早晨太阳从西方升起
【答案】D
【解析】【解答】A、“打开电视机的新闻频道，它正在播新闻”是随机事件，则此项不符题意；
B、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，则此项不符题意；
C、“掷一枚硬币，正面向上”是随机事件，则此项不符题意；
D、“早晨太阳从西方升起”是不可能事件，则此项符合题意；
故选：D
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐项判断即可得．
2．如图，是的直径，，则（ ）
A．35° B．55° C．70° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】∵∠D=35°，所以∠BOC=2∠D=70°
故答案为：C.
【分析】由于AB是圆的直径，∠D=35°根据圆周角的定理，可以求出圆心角∠BOC=70°
3．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数表达式求出对称轴和顶点坐标.然后分情况讨论，当时，最小值在顶点处取得；当时，最小值在处取得；当时，最小值在处取得；把x的值代入，得到关于b的方程，求解即可。
4．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、∵ 该图形是由△AOB按顺时针旋转90°可得，∴A符合题意；
B、∵该图形是由△AOB成轴对称所得，∴B不符合题意；
C、∵该图形是由△AOB按逆时针旋转90°可得，∴C不符合题意；
D、∵该图形是由△AOB按逆时针旋转90°后再成轴对称可得，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用图形旋转和成轴对称的性质分析求解即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由图，∵点的坐标为 ，位似比为2，
∴点B的对应点的坐标为（2，4）.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形和位似比的定义，由OD=2OB和图象，每个顶点的横坐标和纵坐标都×（-2）.
6．已知是线段上黄金分割点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵是线段上黄金分割点 ， ，
∴
∵AB=2，
∴
故答案为：AB=2.
【分析】根据定义，若点是线段上黄金分割点，，那么，黄金比.
7．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
对称轴为.
a=1>0，抛物线开口向上，
所以点到对称轴距离越远，对应的函数值越大.
∵A到对称轴距离：；B到对称轴距离：；C到对称轴距离：；
∴.
故答案为：B.
【分析】求出抛物线的对称轴，根据点到对称轴的距离以及抛物线的开口方向即可判断函数值的大小.
8．如图，抛物线 交 轴于点 ，交过点 且平行于 轴的直线于另一点 ，交 轴于 ， 两点（点 在点 右边），对称轴为直线 ，连接 ， ， ．若点 关于直线 的对称点恰好落在线段 上，下列结论中错误的是（ ）
A．点 坐标为 B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A
∴A(0，4)
对称轴为直线 ，AB∥x轴，
B(5，4)，
故A选项不符合题意；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE=4，AB=5，
AB∥x轴，
∠BAC=∠ACO，
点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∠ACO=∠ACB，
∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB=5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得EC=3，
C(8，0)，
∵对称轴为直线
D(-3，0)，
∵在Rt△ADO中，OA=4，OD=3，
AB=AD
故B选项不符合题意；
设 ，
将A(0，4)代入得4=a(0+3)(0-8)
，
故C选项不符合题意；
OC=8，OD=3，
∴OC·OD=24
故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由抛物线 交 轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知 ，再结合平行线的性质得出 ，故AB=BC，从而可得AB=AD，过点B作BE 轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则可得点C坐标，然后由对称性可得点D坐标，则 的值可计算，由勾股定理可得AD的长，可得抛物线的表达式，根据以上计算或推理，对各选项进行分析即可．
9．如图，在线段 上有一点 ，在 的同侧作等腰 和等腰 ，且 ， ， ，直线 与线段 ，线段 分别交于点 ，对于下列结论：① ∽ ；② ∽ ；③ ；④若 ，则 .其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴∠ACD= ，∠ECB =∠EBC= ，∠ACD=∠EBC.
∴DC∥EB
∴ ∽ ，故①正确；
∵ ∽ ，∴
∵由①得∠ACD=∠ECB，∴∠ACD+∠DCE =∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∴ ∽ ，故②正确；
∵ ∽ ，∴∠CBD=∠FEG，又∵∠FGE=∠CGB，∴ ∽ ，
∴ ， ∴ ，故③正确；
∵∠DAC=∠CEB=90°，AC=AD， BE=CE，
∴△ADC和△BCE是等腰直角三角形，
∴CD= AC= AD，CB= CE， ∠1=∠2=45°，∠DCE=90°，∠ACE=∠DCB=180°-45°=135°，
∴CD：CA=CB：CE= ，
∴△BDC∽△EAC
∴∠3=∠4，∠5=∠6，
又∵∠6+∠7=45°，∴∠5+∠7=45°，
又∵∠8=90°，
∴在△EFB中，∠EFB=180°-∠8-（∠5+∠7）=45°，
在△EFB和△BEA中，
∵∠1=∠2=45°，∴∠DCE=90°=∠CEB，
∴DC∥EB，∴∠7=∠3=∠4，∠FEB=∠BEF，
∴△EFB∽△EBA，
∴EB：EF=AE：EB，
又∵∠5=∠5
∴△EFC∽△ECA，
∴∠EFC=∠ECA=180°-∠2=135°，
∴∠BFC=∠EFC-∠EFB=135°-45°=90°.
∴∠DFC=180°-∠CFB=90°=∠DCG
又∵∠3=∠3
∴△DFC∽△DCG，
∴DC：DF=DG：DC，即DC2=DF×DG
又∵CD= AD
∴（ AD）2=DF×DG，即2AD2=DF·DG.故④正确。
故答案为：A。
【分析】根据两顶角相等的两等腰三角形其底角也相等得出∠ACD=∠EBC，进而根据同位角相等，二直线平行得出DC∥EB，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ∽ ，故①正确；很容易判断出 ∽ ，根据相似三角形对应边成比例得出，进而根据等式的性质，由∠ACD=∠ECB得出∠ACE=∠DCB，根据两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 ∽ ，故②正确；根据相似三角形对应角相等由 ∽ ，得出∠CBD=∠FEG，故可以判断出 ∽ ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，即 ，故③正确；首先判断出△ADC和△BCE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定方法很容易判断出△BDC∽△EAC，根据相似三角形对应角相等得出∠3=∠4，∠5=∠6，进而判断出△EFB∽△EBA，根据相似三角形对应边成比例得出EB：EF=AE：EB，再判断出△EFC∽△ECA，推出∠EFC=∠ECA=180°-∠2=135°，然后又判断出△DFC∽△DCG，推出DC：DF=DG：DC，即DC2=DF×DG，又CD= AD，整体代入即可得出结论2AD2=DF·DG.故④正确。
10．已知AD，BE，CF分别为△ABC的三条高，连结DE，DF， ∠ABC=45°，∠ACB=60° ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠BCF=45°，
∴△ABD和△BCF都是等腰直角三角形，
∵，∠FBD=∠ABC，
∴△BFD∽△BCA，
∴，
∴DF=AC，
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAD=∠CBE=60°，
∴，∠ECD=∠BCA，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴DE=AB，
设AD=a，
∴AB=a，AC=a，
∴=.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知△ABD和△BCF都是等腰直角三角形，又等腰直角三角形性质可得，∠FBD=∠ABC，根据相似三角形判定得△BFD∽△BCA，相似三角形性质得DF=AC，同理可得DE=AB，设AD=a，根据勾股定理得AB=a，AC=a，代入计算即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵3把钥匙中只有1把能打开甲锁，
∴ P(恰好能打开甲）=。
故答案为：。
【分析】直接根据概率计算公式，即可得出答案。
12．若，则a的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：1．
【分析】利用“”可得，再求出a的值即可.
13．已知点、、为抛物线上的点，则 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：抛物线解析式为，
该抛物线的对称轴是直线，
又点和关于直线对称，
，
，
把代入抛物线的解析式得，．
故答案为：3
【分析】根据二次函数对称轴公式可求得抛物线的对称轴是直线，结合“点、”可知点和关于直线对称，进而可求得的值，然后把p点代入二次函数计算即可求解。
14．如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
【答案】60
【解析】【解答】∵∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°× =60°，
故答案是：60．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
15．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m.
【答案】0.2
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m，
∴，
解得：CD=0.2m.
故答案为：0.2.
【分析】由垂直的概念可得∠ABO=∠CDO=90°，证明△ABO∽△CDO，利用相似三角形的性质就可求出CD.
16． 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，即BC⊥AC， 根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得结论；
（2） 连接OC， 根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据二直线平行，同位角相等得 ∠AOD=∠B=70°， 进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案；
（3）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理算出BC的长，根据垂径定理得AE=CE，进而根据三角形的中位线定理可得OE的长，最后根据DE=OD-OE即可算出答案.
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点.
（1）求与的函数关系式；
（2）直接写出当时，x的取值范围；
（3）点C为一次函数图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求n的值.
【答案】（1）解：把点代入得，，
∴；
把点代入中，得
∴，
把点A、B分别代入中，得，
解得，
∴；
（2）或
（3）解：∵点C为一次函数图象上一点，∴，
将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点，
把代入，得，
解得
所以n的值为1或-1
【解析】【解答】解：（2）观察图象可知，当时，x的取值范围是或；
【分析】（1）将A（1，-5）代入y1=kx-7中可求出k的值，然后将B（3，t）代入求出t的值，得到点A、B的坐标，然后代入y2中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在二次函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）设C（n，2n-7），根据点的平移规律可得C′（n+2，2n-3），代入二次函数解析式中求解可得n的值.
19．（9分）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米.设，矩形的面积为.
（1）可表示为 ；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）36-3x
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是108
（3）解：能
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米.
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴米，
则可表示为：36-3x，
故答案为：36-3x；
【分析】（1）由题意可得BF+(3AB-3)=13，化简可表示出BF；
（2）根据矩形的面积公式可得w与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）令（2）中的w=96，求出x的值即可.
20．（9分）为了更好落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，我县一中学定于每周四下午进行兴趣课“走班制”，开设了5类兴趣课（每位学生均选其一）：A.音乐；B.体育；C.美术；D.信息技术；E.演讲.为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求此次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若“E”类兴趣班中有2名男生和3名女生，从中随机抽取2名参加县级演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）解：此次调查的学生人数：（人）
∴类别的人数为：（人），
（2）解：
（3）解：树状图如图，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：
【解析】【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数，进而求出D的人数，据此可补全条形统计图；
（2）利用C的人数除以总人数，然后乘以360°可得所占扇形圆心角的度数；
（3）画出树状图，找出总情况数以及抽到1名男生和1名女生的情况数，然后根据概率公式进行计算.
21．（9分）如图，在中，，D为AB上的一点，交AC于点E.
（1）如图1，由题意可得：；
（2）如图2，将图1中的逆时针旋转到，连结BF、CG.求证：；
（3）如图3，将图1中的逆时针继续旋转到，且，连结与AC相交于点H，连结，与交于点O，若，，求AO的长.
【答案】（1）
（2）证明：将逆时针旋转到，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：同法（2）可得：，
则：，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵逆时针旋转到，
∴，，即，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2） 根据旋转的性质可得AD=AF，AE=AG，∠DAF=∠CAG，由（1）知，则，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）同法（2）可得△BAD′∽△CAE′，则∠AE′C=∠AD′B，推出A、O、D′、E′四点共圆，由圆内接四边形的性质可得∠OAD′=∠OE′D′，由平行线的性质可得∠AED′=∠ACB=90°，根据旋转的性质可得AD′=AD=6，∠AE′D′=∠AED=90°，进而得到∠AOD′=90°，由相似三角形的性质可得∠BAD′=∠CAE′=90°，利用勾股定理可得BD′，然后根据等面积法进行计算.
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段BC上一动点（不与点B，
C重合），作射线AD、AB，将射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，过点B作BC的垂线，分别交射线 ， 于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AB＝AF；
（3）用等式表示线段AC，BD与BE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：证明：如图
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠1= 45°，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF= 90°，
∴∠2= 45°，
∵射线AB绕点A顺时针旋转90°得到射线 ，
∴∠BAF= 90°，
∴∠3= 45°=∠2，
∴AB=AF．
（3）解：BE+BD=2AC．
证明：∵射线AD、AB分别绕点A顺时针旋转90°，得到射线 ， ，
∴∠DAE=∠BAF= 90°，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠3，AB=AF，
∴△DAB≌△EAF ，
∴BD=EF，BF=BE+BD，
在Rt△ABC中，AB= AC，在Rt△ABF中，BF= AB，
∴BF=2AC，
∴BE+BD =2AC．
【解析】【分析】（1）根据旋转的特性补全图形即可；
（2）根据旋转得到∠DAE=∠BAF=90°，∠AFB=∠ABF=45°，即可求出答案；
（3）借助（2）的结论判断出△AEF≌△ADB，得出EFBD，再利用勾股定理求出BF=AB，AC=AB，即可得出结论。
23．（12分）如图，四边形是圆的内接四边形，，将绕点旋转至．
（1）证明：点，，三点共线；
（2）若，圆的半径为，求弦的长；
（3）如图，若，试探究弦，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，
，
绕点旋转得到，
，
，
点，，三点共线；
（2）解：设圆心为点，连接，，
绕点旋转得到，
，
四边形是圆的内接四边形，
所对的圆周角为，
所对的圆心角为，
即，
圆的半径为，
，
，
，
；
（3）解：弦，，之间的数量关系为．
证明如下：连接，作，的垂直平分线，并延长交于点，过点作交于点，
四边形是圆的内接四边形，
点是圆心，
绕点旋转得到，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
点，，三点共线，
是直径，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得，再根据旋转性质可得，则，即点，，三点共线，即可求出答案.
（2）设圆心为点，连接，，根据旋转性质可得，再根据圆内接四边形性质可得所对的圆周角为，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，作，的垂直平分线，并延长交于点，过点作交于点，根据圆内接四边形性质可得点是圆心，再根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，在中，根据勾股定理可得，再根据勾股定理进行边之间的转换即可求出答案.
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