云南省文山州广南第十中学2024-2025学年高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

云南省文山州广南第十中学 2024-2025 学年高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 5}， = { || | < 4}，则 ∪ =( )
A. { | 4 < < 5} B. { | 2 < < 5} C. { | 4 < < 4} D. { | 2 < < 4}
2.已知复数 满足 (1 + ) = 1 + 3 (其中 是虚数单位)，则 =( )
A. 2 B. 2 + C. 2 D. 2+
3.过点 (4, 1)且与直线3 4 + 6 = 0垂直的直线方程是( )
A. 4 + 3 13 = 0 B. 4 3 19 = 0
C. 3 4 16 = 0 D. 3 + 4 8 = 0
4.点 (1,1)在直线 ： + = 1上，则 的最大值为( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
5.某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该
2 1 4
项任务的概率分别为 ， ， ，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为( )
3 2 5
8 7 2 1
A. B. C. D.
15 15 5 5
6.如图，在△ 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 = ， = 3 ，
点 为 中点，则 =( )
1 3
A. +
8 8
3 1
B. +
4 2
3 3
C. +
8 8
3 3
D. +
8 4
(3 1) + 4 , < 1
7.已知 ( ) = { 是定义在 上的减函数，则实数 的取值范围是( )
, ≥ 1
1 1 1 1 1 1
A. [ , ) B. [ , ] C. [0, ] D. (0, ]
8 3 8 3 3 3
8.已知函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，且其图象关于直线 = 1对称，若 ( ) = 0在[0,1]内有且只有一个根
1
= ，则 ( ) = 0在区间[0,2017]内根的个数为( )
2
A. 1006 B. 1007 C. 2016 D. 2017
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知直线 1： + ( 1) + 1 = 0，直线 2： + 2 + 2 = 0，则下列结论正确的是( )
A. 1在 轴上的截距为 1 B. 2恒过定点(0, 1)
2
C. 若 1// 2，则 = 1或 = 2 D. 若 1 ⊥ 2，则 = 3
10.已知 ， 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法错误的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 ⊥ ， ，则 ⊥ D. 若 // ， ⊥ ，则 ⊥
11.已知⊙ ： 21 +
2 2 + 2 = 0，⊙ 2：
2 + 2 2 4 + 1 = 0，则下列说法正确的有( )
A. 若(1, 1)在⊙ 1内，则 ≥ 0
B. 当 = 1时，⊙ 1与⊙ 2共有两条公切线
C. 当 = 2时，⊙ 1与⊙ 2的公共弦所在直线方程为2 10 + 1 = 0
1
D. ∈ ，使得⊙ 1与⊙ 2公共弦的斜率为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 4, )， = (1,2)，若 ⊥ ，则 = ______．
13.若过点 (2,1)作圆 2 + 2 = 1的切线，则切线方程为______．
14.在圆 ： 2 + 2 2 6 = 0内，过点 (0,1)的直线被该圆所截得弦 的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知两直线 1： + + 2 = 0和 2：3 2 + 1 = 0的交点为 ．
(1)直线 过点 且与直线 + 3 + 1 = 0平行，求直线 的一般式方程；
(2)圆 过点(1,0)且与 1相切于点 ，求圆 的一般方程．
16.(本小题15分)
某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，
第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．
区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]
人数 50 50 150
(1)表是年龄的频数分布表，求正整数 ， 的值；
(2)根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；
(3)现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交
流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
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17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = cos( 2 ) 2√ 3cos2 + √ 3．
2
(1)求函数 ( )的单调性；

(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( ) = √ 3， = √ 3， = 1，求△ 的面积．
2
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，∠ = ∠ = 90°， = 1， = √ 3， = 2，
∠ = 60°，∠ = 30°，且平面 ⊥平面 ，在平面 内过 作 ⊥ ，交 于 ，连 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
19.(本小题17分)
已知直线 ： = ，圆 ： 2 12 + 2 4 + 20 = 0．
(1)若直线 与圆 相离，求 的取值范围．
(2)若直线 与圆 交于 ， 两点，是否存在过点 (3,3)的直线 ′垂直平分弦 ？若存在，求出直线 ′的方程；
若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】 = 或4 3 5 = 0
14.【答案】2√ 5
15.【答案】解：(1)直线 与直线 + 3 + 1 = 0平行，故设直线 为 + 3 + 1 = 0，
+ + 2 = 0 = 1
联立方程组{ ，解得{ ．
3 2 + 1 = 0 = 1
∴直线 1： + + 2 = 0和 2：3 2 + 1 = 0的交点 ( 1, 1)．
又直线 过点 ，则 1 3 + 1 = 0，解得 1 = 4，
即直线 的方程为 + 3 + 4 = 0．
(2)设所求圆的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
1： + + 2 = 0的斜率为 1，故直线 的斜率为1，
( 1 )2 + ( 1 )2 = 2
(1 )2 + (0 )2 2由题意可得{ = ，
+1
= 1
+1
1
=
61
解得 = ，
6
25
{
2 =
18
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1 1 25
故所求圆的方程为( + )2 + ( + )2 = ．
6 6 18
化为一般式： 2
1 1 4
+ 2 + + = 0．
3 3 3
16.【答案】解：(Ⅰ)由题设可知， = 0.08 × 5 × 500 = 200， = 0.02 × 5 × 500 = 50，
(Ⅱ)根据频率分布直方图可得，平均年龄为 = ( 27.5 × 0.02 + 32.5 × 0.02 + 37.5 × 0.08 + 42.5 × 0.06 +
47.5 × 0.02) × 5 = 38.5，
0.3
估计中位数为：35 + = 35.75，
0.4
( )因为第1，2，3组共有50 + 50 + 200 = 300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
50
第1组的人数为6 × = 1
300
50
第2组的人数为6 × = 1
300
200
第3组的人数为6 × = 4
300
设第1组的1位同学为 ，第2组的1位同学为 ，第3组的4位同学为 1， 2， 3， 4，
则从六位同学中抽两位同学有：( , )，( , 1)，( , 2)，( , 3)，( , 4)，( , 1)，( , 2)，( , 3)，( , 4)，
( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 3, 4)，共15种可能．
其中2人年龄都不在第3组的有：( , )，共1种可能，
1 14
所以至少有1人年龄在第3组的概率为1 = ．
15 15

17.【答案】解：(1) ( ) = 2 √ 3(1 + 2 ) + √ 3 = 2 (2 )，
3
5
由2 ≤ 2 ≤ 2 + ，得 ≤ ≤ + ， ∈ ；
2 3 2 12 12
3 5 11
由2 + < 2 ≤ 2 + ，得 + < ≤ + ， ∈ ．
2 3 2 12 12
5 5 11
故 ( )在[ , + ]上单调递增，在( + , + ]上单调递减， ∈ ．
12 12 12 12
√ 3
(2) ( ) = 2 ( ) = √ 3，则sin( ) = ，
2 3 3 2
2
∵ ∈ (0, )，∴ = ，即 = ，
3 3 3
√ 3 1 1 5
由正弦定理得， = 即 = ，解得 = ，∴ = 或 ，
√ 3 2 6 6
2
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5
当 = 时， + > ，舍去，所以 = ，故 = ，
6 6 6
1 √ 3
∴ △ = = ． 2 4
18.【答案】解：(1)证明：在直角梯形 内过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则四边形 为矩
形，
在△ 中， = 2， = = 1，∠ = 60°，
则 = √ 2 + 2 2 60° = √ 3，
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
且平面 ⊥平面 ， 平面 ，
平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ；
(2)以 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系，
= √ 3，∠ = 30°，可得 = 3，
则 (0,0,0)， (3,0,0)， (0,0, √ 3)， (0, √ 3, 0)， ( 1, √ 3, 0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )， = (3,0, √ 3)， = (0, √ 3, √ 3)，
= 3 √ 3 = 0
由{ ，
= √ 3 √ 3 = 0
得 = (1, √ 3,√ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )， = ( 1,√ 3, √ 3)，
= √ 3 √ 3 = 0由{ ，
= + √ 3 √ 3 = 0
得 = (0,1,1)，
2√ 3 √ 42
< , >= = = ，
| || | √ 7×√ 2 7
∵二面角 是钝角，
∴二面角 的正弦值为√ 7．
7
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19.【答案】解：(1)圆 ： 2 12 + 2 4 + 20 = 0，即 ：( 6)2 + ( 2)2 = 20．
6 2|
因为直线 与圆 相离，所以 = > 2√ 5，
√ 2 1+
1
化简得2 2 3 2 > 0，解得 > 2或 < ，
2
1
故 的取值范围为：( ∞, ) ∪ (2,+∞)．
2
(2)若存在直线 ′垂直平分弦 ，则直线 ′必过圆心 ，
2 3 1
直线 的斜率 = = ， 6 3 3
因为直线 ′垂直平分弦 ，所以直线 的斜率为3．
结合(1)可得，当直线 的斜率为3时，直线 与圆 相离，与题设矛盾．
故不存在过点 (3,3)的直线 ′垂直平分弦 ．
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