第二章 方程（组）与不等式（组） 第4节 一次不等式（组）及其应用（含答案）

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第二章 方程（组）与不等式（组）
第4节 一次不等式（组）及其应用
考点分析
考点1 不等式的性质
课标要求导航：结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.
例1 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是 ( )
1.1 不等关系在生活中广泛存在. 如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 ( )
1.2 已知,试比较的大小.
解:第一步
第二步
.第三步
问：
(1)上述解题过程中，从第_______步开始出现错误；
(2)错误的原因_____________________________________________________；
(3)请写出正确的解题过程.
考点2 一元一次不等式的解法
课标要求导航：能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
例2 解不等式 并在数轴上表示解集.
【思路点拨】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1解不等式，再在数轴上表示出来即可.
2.1 解不等式 并把解集在数轴上表示出来.
考点3 一元一次不等式组的解法
课标要求导航：能解数字系数的一元一次不等式组，会用数轴确定两个一元一
次不等式组成的不等式组的解集.
例3 写出满足不等式组 的一个整数解_________.
【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集.
3.1 解不等式组 时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是 ( )
3.2 不等式组 的解集为_________.
3.3 解不等式组:
考点4 确定不等式(组)中字母的取值范围(值)
例4 若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是 ( )
4.1 关于x的不等式 有正数解，m的值可以是__________.(写出一个即可)
4.2 关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是______________.
【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案.
4.3 若不等式组 的解集为x≥m，则m的取值范围是____________.
考点5 一元一次不等式(组)的应用
课标要求导航：能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单
的问题.
例5 近年来光伏建筑一体化广受关注. 某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.
(1)求修建1个A种，1个B种光伏车棚分别需投资多少万元；
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A 种光伏车棚时，可使投资总额最少 最少投资总额为多少万元
5.1 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500 元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/ kg，B种水果收购单价15元/ kg.
(1)求A，B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.
达标训练
基础达标训练
1.若则 ( )
2.已知 则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
3.不等式 的解集是 ( )
4.不等式组 的解集在数轴上表示为 ( )
5.下列不等式中，与 组成的不等式组无解的是 ( )
6.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是____________.
7. (1)解不等式组:
(2) 解不等式组: 并求出它的所有整数解的和.
8.为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩
高分提能训练
9.已知实数a,b满足，则下列判断正确的是( )
D
10.不等式组 的整数解有___________个.
11.对于实数a,b定义运算“※”为例如：，则关于x的不等式2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是___________.
12.刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A，B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A 种湘绣作品与2 件 B 种湘绣作品共需要700 元，购买2件A 种湘绣作品与3 件 B种湘绣作品共需要1200 元.
(1)求A 种湘绣作品和 B 种湘绣作品的单价分别为多少元
(2)该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000 元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件
冲刺满分训练
13.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200 元；购买甲种品牌毽子15 个和乙种品牌毽子10个共需325 元.
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5 倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大 最大利润是多少元
参考答案
考点分析
【例1】 C 1.1 A
1.2 解:(1)二.
(2)不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
(3).
【例2】 解:去分母,得,
去括号，得,
移项,得,
合并同类项,得,
系数化为1,得.
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
2.1:解:去分母,得
去括号，得,
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【例3】 -1(答案不唯一)
3.1 A 3.2
3.3 解:
解不等式①，得解不等式②，得
∴该不等式组的解集是
【例4】 A
4.1 0(答案不唯一) 解析：原不等式整理得 解得 2m.
∵原不等式有正数解,∴2 -解得 则m的值可以是0.
解析：解不等式4得
解不等式 得.
∵不等式组恰有3个整数解，即 .
4.3
【例5】 解：(1)设修建一个A 种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元.
根据题意，得 解得
答：修建一个A 种光伏车棚需投资3万元，修建一个 B 种光伏车棚需投资2万元.
(2)设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚(20-m)个.
根据题意,得m≥2(20-m),解得
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，
则 即.
∵1＞0,∴w随m的增大而增大.
又∵且m为正整数，∴当 时，w取得最小值，最小值为
答：修建A 种光伏车棚14 个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元.
5.1:解:(1)设A种水果购进x千克, B种水果购进y千克.
根据题意，得 解得
答:A种水果购进 1 000 千克,B 种水果购进500 千克.
(2)设A 种水果的销售单价为 m元/千克.
根据题意，得 解得
∴m的最小值为12.5.
答：A种水果的最低销售单价为12.5元/千克.
达标训练
1. D 2. A 3. D 4. A 5. A
7.解:(1)解不等式 2x,得.
解不等式 得
所以不等式组的解集为
(2)解不等式 得
解不等式 得 则不等式组的解集为
所以整数解为1，2，3，则整数解的和为6.
8.解：(1)设种植1亩甲作物需要 x 名学生，种植1亩乙作物需要y 名学生.
根据题意，得 解得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生.
(2)设种植甲作物 m亩，则种植乙作物(10-m)亩.
根据题意，得 解得m≥5,∴m的最小值为5.
答：至少种植甲作物5亩.
9. C 解析:
故选项 A 错误.
∵故选项 B 错误.
由 得;
由0得故选项 C正确,选项 D 错误.
10. 4
解析：由题知，.因为此不等式有且只有一个正整数解,∴，∴m的取值范围是
12.解：(1)设A 种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.
根据题意，得 解得
答：A种湘绣作品的单价为 300元， B种湘绣作品的单价为200 元.
(2)设购买A种湘绣作品m件，则购买 B种湘绣作品(200-m)件.
根据题意,得解得m≤100,
∴m的最大值为100.
答：最多能购买 A 种湘绣作品100件.
13.解：(1)设购买一个甲种品牌毽子需要x 元，一个乙种品牌毽子需要y元.
根据题意，得解得
答：购买一个甲种品牌毽子需要15 元，一个乙种品牌毽子需要10元.
(2)设购买m个甲种品牌毽子，则购买 个乙种品牌毽子.
根据题意，得 解得
又∵m和 均为正整数，∴m 可以为60,62,64.
当m=60时, 当m=62时,当m=64时，
∴学校共有3种购买方案，
方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子.
(3)方案(元);
方案(元);
方案(元).
∴在(2)的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10 个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元.
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