第二章 方程（组）与不等式（组） 第3节 一元二次方程及其应用（含答案）

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第二章 方程（组）与不等式（组）
第3节 一元二次方程及其应用
考点分析
考点1 一元二次方程的定义和解(6年16考)
例1 一元二次方程 的一个解为 则
1.1 若关于x的方程( 是一元二次方程，则m的取值范围是 ( )
A. m≠0
1.2 若关于x的一元二次方程 的一个根为0，则k的值为 ( )
A. 0 B. 1 D. 1或
1.3 已知x= - 1 是一元二次方程 的一个根，则的值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
考点2 一元二次方程的解法
课标要求导航：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一
元二次方程.
例2 (1)下列方程不能用直接开平方法求解的是 ( )
(2)用配方法解一元二次方程 将它转化为 的形式，则a 的值为 ( )
A. - 2024 B. 2024 C. - 1 D. 1
(3)若 是一元二次方程 的根，则( )
A. - 2 B. 4 C. 2 D. 0
2.1 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则( )
A. 1 D. 1或
2.2 解方程.
.
考点3 一元二次方程的根的判别式
课标要求导航：会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
例3 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则m的值为____________.
3.1 关于x 的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是 ( )
3.2 若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为__________.
3.3 若 是关于x的方程 的解，则的值为____________.
例4 已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是 ( )
A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
考点4 一元二次方程的根与系数的关系
课标要求导航：了解一元二次方程的根与系数的关系.
例5 已知x ，x 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是__________.
5.1 设α，β是方程 的两个实数根，则 的值为____________.
5.2 已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x ，x ，且 求m的值.
考点5 一元二次方程的应用
课标要求导航：①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；②理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
例6 重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200 架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401 架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________.
6.1 “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023 年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000 元.已知市政府向该公司支付货款24 万元，求购买的这种健身器材的套数.
6.2 某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖. 如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售(根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价).第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出.如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元
达标训练
基础达标训练
1.一元二次方程 的解是 ( )
2.一元二次方程 的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为( )
3.下列方程中，有两个相等实数根的是 ( )
4.若关于x的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为 ( )
A. 2 B. - 2 C. 2或-2
5.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ( )
A. 20% B. 22% C. 25% D. 28%
6.如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为 在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门(由其他材料成)，则BC 长为 ( )
A.5 m 或6 m B. 2.5 m 或3 m C.5 m D.3 m
7.眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670 千克增长到了2023 年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为 ( )
8.若一元二次方程 无实数根，则实数c 的取值范围为_________.
9.已知m是方程 0 的一个根，则 的值为_________.
10.已知方程 的一个根为 则方程的另一个根为___________.
11.解方程:
(1) (2)
12.关于x的方程 有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)化简:
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13.等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为 ( )
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
14.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 ( )
15.规定：对于任意实数a,b,c有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【】★()=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围为 ( )
且m≠0 且m≠0
16.某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023 年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 ( )
17.若m,n 是一元二次方程的两个实数根，则 2) 的值为____________.
18.已知 ，则x的值为___________.
19.已知x ,x 是关于x的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若 ,且 k,x ,x 都是整数,求 k的值.
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20.请阅读下列叙述后，回答问题.
体重为衡量个人健康的重要指标之一，下表为成年人利用身高(公尺)计算理想体重(公斤)的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考.
女性理想体重 男性理想体重
算法① 身高×身高×22 身高×身高×22
算法② (100×身高-70)×0.6 (100×身高-80)×0.7
算法③ (100×身高-158)×0.5+52 (100×身高-170)×0.6+62
以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述：
(甲)有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同.
(乙)有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同.
对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确 ( )
A.甲、乙皆正确 B.甲、乙皆错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
参考答案
考点分析
【例1】 2 1.1 C 1.2 C 1.3 B
【例2】(1)C (2)D (3)D 2.1 C
2.2 解:(1)原式可化为
即 或
或
【例3】 3.1 B
3.2 6 解析：∵一元二次方程 的两根为m，n，
3.3 2019 解析:把 代入方程，得 即
则原式
【例4】 C
【例5】 14
5.1 -2 023 解析：∵α，β是方程 的两个实数根，
∴α
2024 = - 2023.
5.2 解:(1)证明:
∴ 无论 m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)∵ 方程 0的两个实数根为x
即
整理，得 解得
∴m的值为 或1.
【例
6.1 解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.
由题意，得解得(不合题意，舍去).
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为m 套.
由题意，得 240000,
整理，得 解得 (不合题意，舍去).
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
6.2 解：设第二周单价降低x元，则这周销售的销量为( 件.
由题意，得
整理，得 解得 则 (元).
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元.
达标训练
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C 6. C 7. B
8. 10.4
11.解:(
则 或 解得
12.解:(1)根据题意,得 解得
=-2.
13. C 解析: 解得
当等腰三角形的边长是3，3，7时， 不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是
14. B 解析：设原来的方程为
由题意，得 10,
∴原来的方程为 则为
15. D 16. B 17. 7 18. 3
19.解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，0，解得
∴ 整数k的值为2,3,4.
当 时，方程为 解得
当 或4时，此时方程解不为整数.
综上所述，k的值为2.
20. D解析：假设甲的叙述正确.设女性的身高为x公尺.根据题意，
得 整理，得
∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即甲的叙述错误；假设乙的叙述正确.设女性的身高为 y公尺.根据题意，得 解得 ∴当女性的身高为1.5
公尺时，使用算法②与算法③算出的理想体重会相同，∴假设成立，即乙的叙述正确.
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